Аппроксимация многочленами

При аппроксимации зависимостей, заданных графически в виде лекальных кривых, использовано важное свойство [30] ортогональных многочленов, заключающееся в том, что если в интервале (—1, 1) значения Xi, выбрать равными корням многочлена Чебышева Г (X), т. е. положить [c.166]

Рассмотрим непосредственно программу аппроксимации одномерного массива произвольно расположенных точек Xi, у, ортогональными многочленами Чебышева с автоматическим выбором такой степени старшего полинома, чтобы получаемая погрешность не превосходила наперед заданную. Подразумевается, что все идентификаторы объявлены в начале программы. По мере описания программы будут даваться комментарии, которые в самой программе могут быть опущены. [c.168]

Для представления одномерных характеристик лучше применять интерполяцию, так как она является первичной в том смысле, что сама используется при аппроксимации. Если располагать узловые точки чаще на участках с большой кривизной и реже на участках с малой кривизной, то массив исходных данных при интерполяции может быть не больше массива коэффициентов аппроксимации, даже если принять во внимание, что для каждой точки задаются два числа, определяющих ее координаты. Однако с точки зрения быстродействия аппроксимация ортогональными многочленами Чебышева является предпочтительной. [c.180]

U2, йз) линейна относительно коэффициентов, например при использовании для аппроксимации многочленов. [c.320]

Система уравнений (11—43) значительно упрош ается и сводится к линейной, если аппроксимирующая функция f х, а , 2,. .., з) линейна относительно коэффициентов, например при использовании для аппроксимации многочленов. [c.320]

Важная особенность аппроксимации ортогональными функциями заключается в том, что добавление новых членов a +i, Ф ,1 не меняет ранее вычисленных коэффициентов. При т = п многочлен совпадает с интерполяционным многочленом. [c.165]

Аппроксимация экспериментальных данных произвольной линейной зависимостью. Выше уже отмечалось, что нормальная система линейных уравнений в случае многочленного приближения иногда бывает плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Это означает, что между отдельными уравнениями системы имеется слабо выраженная линейная зависимость, т. е. одно уравнение может быть заменено линейной комбинацией других с некоторой поправкой. С увеличением порядка системы, т. е. с ростом степени аппроксимирующего полинома в силу разброса ко- [c.328]

Аппроксимируем плотность распределения р (0) отрезком ряда по многочленам Чебышева—Эрмита. Причем для аппроксимации р (0) используется по возможности меньшее число членов ряда [26]. [c.186]

Аппроксимация экспериментальных данных многочленами. Предположим, что последовательность экспериментальных точек (xj, i/j) (i = 1, 2,. .., п) необходимо приблизить многочленом степени тп п [c.320]

Основная трудность многочленной аппроксимации по методу наименьших квадратов заключается в решении нормальной системы уравнений. Поскольку коэффициентами системы являются суммы аргументов в соответствующих степенях, то при высокой степени многочлена они могут иметь значительный разброс по абсолютной величине, в силу чего система может быть плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Поэтому решение таких систем итерационными методами без соответствующего преобразования редко бывает успешным, поскольку для них, как правило, не выполняются условия сходимости (стр. 258). [c.321]

Рис. 9. Схема выравнивания яркости изображения путем аппроксимации яркости исходного изображения многочленом типа В +... + k x + к

Уточнение аппроксимирующей зависимости. После вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома по одному из представленных методов может оказаться, что отклонения расчетной и экспериментальной зависимостей будут все же более значительными, чем это желательно. В этом случае целесообразно изменить степень полинома при многочленном приближении и повторить вычисление коэффициентов, т. е. попытаться подобрать полином наилучшего приближения. Иногда целесообразнее улучшить распределение погрешности путем введения дополнительного коэффициента в полученную полиномиальную аппроксимацию или воспользоваться экономизацией многочлена с помощью полиномов Чебышева. [c.325]

Использование для расчетов конвективной теплоотдачи методики предыдущего параграфа затруднено из-за большой глубины камеры в поршне и невозможности аппроксимации ее рельефа предлагаемыми многочленами. Поэтому в данном случае целесообразно использовать иной подход. [c.123]

Операции, выравнивающие яркость изображений ОК. Как уже указывалось, в светотеневых картинах ОК наряду с низкой контрастностью изображений дефектов, их зашумленностью есть и другая нежелательная особенность наличие неравномерной яркости, вызванной значительной вариацией радиационной толщины ОК. Эти вариации приводят к затемнению важных деталей изображения. Неравномерную яркость, как уже было показано, можно устранить или уменьшить путем высокочастотной фильтрации изображений. Кроме того, разработаны и другие методы, устраняющие эту нежелательную особенность. Рис. 9 иллюстрирует один из этих методов, заключающийся в том, что выравнивание по яркости светотеневой картины достигается путем аппроксимации яркости исходного изображения многочленом типа [c.96]

Предполагалось, что выражения с дробными показателями степеней являются аппроксимацией уравнений, содержащих многочлен в знаменателе, соответствующих закону действующих поверхностей, т. е. [c.171]

Используется программа дйя линейной аппроксимации табулированных функций многих переменных, заданных сеткой узлов произвольной формы, обобщенным многочленом вида [c.13]

Для определения характера этой нелинейности последовательно перебирают степени аппроксимирующих многочленов (от первой до третьей, четвертой или пятой и т. д.), останавливаясь на той, которая обеспечивает наилучшую аппроксимацию. Удобнее всего эту процедуру проводить с помощью ЭВМ. Измерив в данном растворителе для каждого стандарта характеристические вязкости [т)] (при тех же температурных условиях, при которых проводилась калибровка по молекулярной массе), легко построить универсальную зависимость удерживаемых объемов от логарифма произведения М [т] - Эта зависимость, как и молекулярно-массовая, может оказаться и линейной, и нелинейной. В зависимости от этого определится и степень аппроксимирующего ее полинома [c.197]

Относительно последнего пункта заметим, что квадратичную аппроксимацию функций д (у) и к х — у) можно производить любым из большого числа методов приближения функций. Обычно применяются приближения многочленами и метод наименьших квадратов, причем используются как ортогональные, так и неортогональные функции. [c.214]

В работе [33] изучены особенности этого метода при распространении его на анализы по ИК спектрам поглощения. Метод алгебраической коррекции фона был создан и применялся в анализах по спектрам поглощения в УФ и видимой областях спектра. Обычно для анализов в этих областях спектра, используется один спектральный интервал, сравнимый по величине с ширинами полос, используемых для анализа. При анализе многокомпонентных смесей по ИК спектрам поглощения аналитические полосы могут лежать в разных частях спектрального диапазона, размеры которого в сотни раз превосходят ширины полос в этой области. Это приводит к тому, что число используемых спектральных интервалов становится сравнимым с числом определяемых компонентов. В каждом спектральном интервале коррекцию фона необходимо проводить своим собственным аппроксимирующим многочленом. Аппроксимация фона в различных спектральных интервалах одним многочленом принципиально возможна, но из-за вероятных разрывов фона при переходе от одного интервала к другому потребовался бы алгебраический многочлен очень высокого порядка с числом членов, значительно превышающим число членов при кусочной аппроксимации фона. [c.269]

Использование аналитических полос в местах с наименьшим поглощением в спектрах мешающих примесей, характер спектра которых известен (в противном случае использовался метод линейного программирования, см. следующий раздел), позволяет надеяться на возможность аппроксимации фона в пределах каждой аналитической полосы многочленами небольшого порядка, что в свою очередь позволяет использовать небольшое число наиболее надежных отсчетов пропусканий в пределах этих полос. [c.269]

Вид ортогональных многочленов при аппроксимации зависимостей, заданных дискретным множеством точек, может быть различным. В частности, они могут быть получены из линейнонезависимой последовательности 1, х, х методом ортогонализа-ции Грама — Шмидта [30J. Однако с целью сокращения времени лучше использовать многочлены, которые могут быть вычислены по рекуррентным формулам, что благоприятно сказывается, кроме того, и на точности вычислений. Нами были избраны из числа известных ортогональные многочлены Чебышева первого рода [c.165]

GOMMENT Операторы 11—17 определяют значение коэффициента аппроксимации А[П ], формула (4.26). Значения ортогональных многочленов для всех Q + 1 точек определяются по первым двум и рекуррентной формуле (4.24) [c.169]

Основу всех методов локальной линеаризации составляют методы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, т.е. они так или иначе связаны с приближенным вычислением матричной экспоненты. В работе [95] предложено однополюсное дробно-рациональное приближение экспоненты в комплексной области. Известно, что неявные методы Рунге—Кутта при интегрировании линейной системы дифференциальных уравнений приводят к дробно-рациональной аппроксимации Падэ и, следовательно, трудоемки, так как фактически требуют обращения матричных многочленов. Неявные линейные многошаговые методы дают аппроксимацию ехр(Аг) главным корнем р(Аг) характеристического [c.146]

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - рещение системы линейных алгебраических уравнений (полезна для некоторых технологических расчетов) и аппроксимация данных степенным многочленом (полезна при градуиров1Ж измерительных устройств и офаботке экспериментальных данных). [c.469]

Для градуировки спектрометров могут использоваться те же приемы и способы, что и в других вариантах атомно-эмиссионного спектрального анализа. Однако с развитием вычислительной техники все шире используются статистические регрессионные методы аппроксимации градуировочньж зависимостей многофакторными математическими моделями различного вида. Некоторые из них были рассмотрены ранее (см. 14.2.1). Применяют также градуировочные характеристики полиномиального типа, в виде степенных многочленов и др. [c.416]

Анализ концентрационных зависимостей динамической вязкости проведен для аппроксимирующих многочленов степени п = 3-7. Повышение степени многочлена незначительно влияет на качественный характер зависимостей кроме области достаточно резкого изменения первой производной. Поэтому в качестве адекватной математической модели был принят полином 7-го порядка, обеспечиваюшдй в узловых точках наименьшую среднеквадратичную погрешность аппроксимации. [c.50]

Важный момент в методе прямых — выбор базисных функций, который определяет точность аппроксимации по пространственной координате. Поставленным требованиям удовлетворяют кусочно-полиномиальные функции, известные как 5-сплайны,-Аппроксимация некоторой зависимости при помощи сплайн-функций заключается в том, что ее область определения разбивается на подынтервалы при помощи ряда точек, называемых узлами сплайна. Узлы могут быть простыми или кратными кратные узлы возникают при совпадении двух и более-узлов. Они нумеруются в порядке неубывания 5ь 52,. .., 5,-,. ... Нормализованный В-сплайн порядка к принимает ненулевые значения только на к подынтервалах между узлами, например В/, 5(со)—г-й нормализованный 5-сплайн порядка к на последовательности узлов 5 — равен нулю вне интервала неотрицателен при со = 5 и со = 5/+ и строго положителен при < со <С 81+к. В любом подынтервале между узлами 5/ и 5/+1,. удовлетворяющими условиям 5г < со < 5/+1 5,+, фуНК-ция Бг, k, 5 (со) представляет собой многочлен степени к— 1. Если 81 — узел кратности к — V, то (1уВ1, и, терпит разрыв, а все- [c.104]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология