Нормальные уравнения системы линейных

Для линейной зависимости типа у=кх- -Ь система нормальных уравнений способа наименьших квадратов имеет вид [21] [c.93]

Аппроксимация экспериментальных данных произвольной линейной зависимостью. Выше уже отмечалось, что нормальная система линейных уравнений в случае многочленного приближения иногда бывает плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Это означает, что между отдельными уравнениями системы имеется слабо выраженная линейная зависимость, т. е. одно уравнение может быть заменено линейной комбинацией других с некоторой поправкой. С увеличением порядка системы, т. е. с ростом степени аппроксимирующего полинома в силу разброса ко- [c.328]

Выполнение этой процедуры дает возможность составить систему, число уравнений которой равно числу неизвестных коэффициентов. Такая система носит название системы нормальных уравнений. Для линейной зависимости с одной переменной после дифференцирования и простейщих алгебраических преобразований имеем [c.35]

Полиномиальная модель очень удобна, так как позволяет улучшать аппроксимацию, повышая порядок полинома, приводит к линейной системе нормальных уравнений при определении коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов. [c.157]

В многомерном случае вектор оценок 0 определяется из системы линейных алгебраических уравнений, аналогичной системе нормальных уравнений для оценок МНК [23] [c.119]

Решение системы линейных нормальных уравнений (3.15) можно выполнить на ЭВМ по стандартной программе на базе метода Гаусса, включаемой обычно в набор стандартных программ, входящих в программное обеспечение ЭВМ. Решение дает следующие значения оптимальных параметров процесса в кодированной форме [c.77]

Для переопределенной системы линейных уравнений (8.55), записанной в матричной форме XA = Y, система нормальных уравнений примет вид [c.177]

Линейная стационарная система. Каноническая (нормальная) форма уравнений состояния имеет вид [c.298]

Движение каждой частицы системы в нормальных координатах удовлетворяет уравнению (П4. 12), а соответствующие колебания называются нормальными колебаниями. Для системы, состоящей из N частиц, число нормальных координат и нормальных колебаний равно числу колебательных степеней свободы, т. е. ЗЛ — 5 для линейной системы и ЗЛ — 6 для нелинейной системы. Корни векового уравнения, записанного в нормальных координатах (см. стр.973), являются частотами нормальных колебаний системы. При колебаниях частиц системы с частотой, соответствующей частоте одного из нормальных колебаний, каждая частица совершает простое гармоническое колебание в одной и той же фазе. Любое сложное колебание системы может рассматриваться как сумма нормальных колебаний с соответствующими амплитудами. [c.59]

Имеются клавиши, позволяюш,ие выполнять простейшие статистические расчеты (вычисление среднего и дисперсии). При наличии сменного модуля с библиотекой программ пользователя (ML-1) можно рассчитывать коэффициент парной корреляции, параметры уравнения линейной регрессии. Кроме того, ML-1 позволяет проводить вычисления с матрицами (до размера 9X9), находить решения системы линейных уравнений (не более 8), проводить вычисление с заданной точностью корней нелинейного уравнения, выполнять численное интегрирование, генерировать случайные числа с разным характером распределения (нормальным или равномерным) и т. д. [c.7]

Решение переопределенной системы линейных уравнений с помощью метода наименьших квадратов описано в разделе 9.2. Если анализируется одна конкретная смесь, систему (3.29) можно привести к системе нормальных уравнений [c.90]

Если в исследуемую функцию параметры входят линейно (независимо от того, как входят в нее переменные), то система нормальных уравнений (9.28) всегда линейна относительно неизвестных параметров и может быть легко решена. [c.222]

Для переопределенной системы линейных уравнений (9.33), записанной в матричной форме ХА = Y, система нормальных уравнений имеет вид [c.223]

Пассивный и активный эксперимент. Метод наименьших квадратов позволяет получить описание объекта по любым данным, лишь бы матрица системы нормальных уравнений была невырожденной. Если оценивание линейное, то расчет в принципе прост, хотя и громоздок. Поэтому с появлением ЭВМ возникла идея — получать математические описания технологических процессов, пользуясь в качестве исходных данных результатами нормальной эксплуатации процесса. [c.77]

Однако при решении системы нормальных уравнений необходимо считать с гораздо большей точностью (это — общая особенность решения систем линейных уравнений, здесь чаще всего нужна очень высокая точность расчетов). Поэтому расчет произведений и сумм, входящих в формулы (34.14), проводится с арифметической точностью , без округления. Тем важнее правильно округлить значения и к у — без этого расчеты окажутся чрезмерно (и ненужно) громоздкими. Дальнейшие расчеты (за исключением тех, в которых применяется метод наименьших квадратов) проводятся с тремя значащими цифрами. [c.193]

Коэффициенты которые согласно (10.19) пропорциональны минорам Дц - и могут быть найдены путем решения системы линейных уравнений (10.15), определяют форму колебания. Коэффициенты Ящ для данного /-Г0 нормального колебания определяют согласно [c.168]

Используемую в итерационном методе наименьших квадратов систему нормальных уравнений можно компактно записать в матричной форме. Система имеет единственное нетривиальное решение в том случае, если линейные уравнения независимы. Ранг матрицы коэффициентов такой же, как и размерность пространства образов. Поскольку число операций, требующихся при решении системы линейных уравнений, пропорционально п п — ранг матрицы), целесообразно размерность матрицы сводить к минимуму. [c.119]

В разд. 11.2 мы считали постоянными такие феноменологические коэффициенты, как вязкость и теплопроводность. Отсюда следует, что к состоянию покоя ниже критического значения числа Релея (рис. 11.1) применима линейная неравновесная термодинамика, в частности теорема о минимуме производства энтропии (разд. 3.4 и 7.9). Когда мы достигаем предельного состояния, производство энтропии резко изменяется с возникновением первой неустойчивой нормальной моды (разд. 11.10). Возникновение этой моды приводит к тому, что наклон кривой производства энтропии (Я[5]) в критической точке претерпевает разрыв (рис. 11.2), и это неудивительно, поскольку в критической точке возникает новый механизм вязкой диссипации, порождаемой конвекцией. Сама величина (Р[8]) не претерпевает разрыва, поскольку амплитуда критической нормальной моды в предельном состоянии остается бесконечно малой. Чтобы получить конечную амплитуду, следует рассмотреть значения й а, несколько превышающие ( а)с. При значениях й а, превышающих (Й2а)с, линейная термодинамика необратимых процессов более не применима к описанию системы. Появляется новая взаимосвязь, благодаря которой температурный градиент порождает конвективный поток. Эта связь, не содержащаяся в феноменологических законах, возникает из стационарных Уравнений для возмущений (разд. 3.3). [c.157]

Для смесей газов (при постоянном объеме) аддитивность показателей преломления (1,81) соблюдается с очень высокой степенью точности (до 2-10 ) [30] и служит надежной основой рефрактометрических методов газового анализа. В жидких системах линейная зависимость п У) во всем интервале концентраций от О до 100% редко соблюдается с высокой точностью, и правило аддитивности (1,81) обычно используется только для не очень точного определения состава нормальных смесей и смесей однотипных соединений. Однако в ограниченных пределах концентраций (до 10—20%) линейные уравнения обычно хорошо аппроксимируют зависимость показателя преломления от состава. В частности, для рефрактометрического анализа разбавленных растворов большое значение имеет уравнение [c.30]

Это система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, известная в математике как нормальная система. Общее решение ее имеет вид [c.235]

Циклические координаты. Решение уравнений для линейной системы с двумя степенями свободы (без трения). Нормальные колебания, их частоты и распределения. Нормальные координаты. Нормальные частоты как экстремумы отношения двух квадратичных форм. Разделение системы на парциальные системы [c.241]

Совместная плотность вероятности р (х) четырехмерного центрированного нормального марковского процесса х ( ) полностью определяется корреляционной матрицей = М [х t) х (0], элементы которой находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений, матричная запись которой имеет вид [c.446]

Глава посвящена рассмотрению принципов автоматизированной обработки информации, которую несет в себе топологическая структура связи ФХС. Смысловая емкость, информационная насыщенность и структурная организация диаграмм связи обеспечивают возможность построения эффективных формальных процедур (с реализацией их на ЦВМ) для преобразования диаграммы связи в другие эквивалентные формы математического описания системы. В главе будут рассмотрены автоматизированные процедуры распределения на диаграмме связи операционных причинно-следственных отношений, вывода в нормальной форме уравнений состояния ФХС, построения моделирующих алгоритмов ФХС, сигнальных графов сложных объектов и передаточных функций для отражения динамического поведения линейных систем. [c.184]

Очевидно, что при этих условиях главные напряжения связаны определенной зависимостью друг с другом. Для слипающихся материалов с линейной зависимостью ЛПН круг Мора может быть проведен через начало системы координат с касанием линии ЛПН (рис. 8.3). Результирующее максимальное главное напряжение называют напряжением лавинообразного движения а . Такая ситуация реализуется тогда, когда максимум нормальных напряжений при условии зарождающегося разрушения приходится на точку, в которой другие главные напряжения стремятся к нулю. Обычно это случается на поверхности типа арки или свода (см. рис. 8.11, б) в момент обрушивания. Напряжение лавинообразного движения поэтому играет важную роль при решении вопроса течет — не течет в цилиндрических и конических бункерах. Так как сг<. зависит от ЛПН, а она в свою очередь зависит от уплотняющего давления, то и оказывается функцией уплотняющего давления. Для сыпучего материала, в котором велики силы слипания между частицами, ЛПН соответствует уравнению (8.7-2), а при начинающемся разрушении имеет место следующее соотношение между главными напряжениями [c.228]

Вязкость структурированных жидкостей обычно высока и быстро возрастает даже при небольших увеличениях концентрации. Уравнение Эйнштейна неприменимо к таким системам зависимость 1] от ср перестает быть линейной. Аналогично ведут себя и системы с анизодиаметрическими частицами, т. е. частицами, имеющими форму, очень резко отличающуюся от сферической. Такие частицы при броуновском движении и вращении оказывают большее сопротивление потоку и сильнее нарушают нормальное течение жидкости. Эти системы не подчиняются также законам Ньютона и Пуазейля. Коэффициент вязкости Г) структурированных свободнодисперсных систем не является постоянной величиной и зависит от приложенного напряжения. Зависимость г] от Р приобретает характерный вид, показанный на рисунке 108, а. Такая аномалия вязкости структурированных дисперсных систем и систем с анизодиаметрическими (асимметричными) частицами связана либо с нару- [c.430]

Тогда как в обычных условиях флуктуация вызывает реакцию системы, которая возвращает ее в невозмущенное состояние, в точке образования новой структуры, напротив, флуктуации растут. Эта идея и лежит в основе классической теории устойчивости, основанной на анализе нормальных мод (см., например, работу [28]). При этом рассматриваются малые возмущения стационарного состояния, которые удовлетворяют линейным динамическим уравнениям. Временная зависимость каждого нормального колебания имеет вид ехр (о/, где (о — вообще говоря, комплексная величина (йг + гшь Тогда условие устойчивости означает, что для каждой нормальной моды [c.10]

Для этого (4.99) разлагают в ряд Тейлора и дифференцируют по параметрам полос поглощения, учитывая лишь первые производные. В результате таких операций получается система нормальных линейных уравнений относительно поправок к определяемым параметрам. После ее решения получают новые, более точные значения параметров, и таким путем вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность аппроксимации спектральной кривой. [c.180]

В программе для решения системы линейных уравнений используется стандартная процедура GORDAN (стр. 253). В процессе формирования нормальной системы вида (11—40) разбиение исходной системы на группы производится автоматически. Выходными данными являются В — вектор решения, Р — вектор отклонений экспериментальных и расчетных значений. [c.319]

В действительпости же ситуация резко осложняется тем, что в систему (1) обычно входят величины г, отличающиеся друг от друга в разных опытах и по скоростям различных процессов на порядки. Реальная ситуация состоит в том, что max rj /min rj 10 -1-10, в тех же примерно пределах могут изменяться величины С. Погрешность при определении больших г сопоставима со значениями малых г. Это приводит к очень плохой обусловленности системы нормальных уравнений в МНК даже для линейных относительно К систем. Фактически получается, что очень значительная часть информации не вносит никакого вклада в сумму квадратов, т. е. никак не учитывается в конкретных расчетах. [c.86]

Полученная система линейных алгебраических уравнений содескит столько уравнений,сколько в нее входит неизвестных параметров 7. Эту систецу припято называть системой нормальных уравнений. [c.12]

Сущность масс-спектрального анализа типов моноолефиновых углеводородов основана на том, что положение двойной связи в молекуле, а также наличие разветвления в углеводородном скелете влияют на характер распределения интенсивностей пиков характеристических осколочных ионов. Так, спектры моноолефинов нормального строения характеризуются образованием значительного количества ионов (С Н2 +1) с массами 43, 57, 71, 85 (2 43). В масс-спектрах моноолефинов с метильной группой у -углеродного атома с наибольшей вероятностью появляются перегруп-пировочные ионы тина (С Н2 ) с массами 42, 56, 70, 84 (242). В масс-спектрах структур К - СН=СН—К иики ионов этих типов менее интенсивны, а наиболее характерными являются ионы (С Н2 1) с массами 41, 55, 69, 83 (Х 1)- Учет взаимных наложений в масс-спектрах указанных характеристических сумм после решения системы линейных уравнений с учетом средней молекулярной массы исследуемой фракции позволяет определить относительное содержание трех следующих типов моноолефинов в продуктах крекинга парафинов К-СН=СН2 К-С (СНз)=СН2 К -СН = К и др. [194 ]. [c.75]

В связи с необходимостью точного аналитического описания многочисленных экспериментальных данных в широкой области параметров и удовлетворения условию равновесия сосуществующих фаз единое уравнение состояния содержит большое число коэффициентов (как правило, 50-60). Задача определения этих коэффициентов с математической точки зрения относится к числу некорректно поставленных задач даже в случае использования линейной системы нормальных уравнений, поскольку матрица системы плохо обусловлена и на результаты расчета существенно влияют ошибки округления. Поэтому при аналитическом описании опытньк данных целесообразно ограничиться минимально необходимым для надежной аппроксимации числом коэффициентов. [c.190]

Для расчета коэффициентов уравнения Редлиха — Кистера используется стандартная программа, включающая процедуры умножения матриц и нахождения обратной матрицы. Исходными данными являются N — число экспериментальных точек М — число неизвестных, А — матрица коэффициентов системы уравнений, включая столбец свободных членов. Решением нормальной системы уравнений является вектор X. Ее выходным параметром является массив А. Обращение к процедуре Р1221 производится только при включенном первом ключе на пульте управления. Для вычисления коэффициентов произвольной линейной зависимости достаточно заменить эту процедуру. При выключенном ключе вводится матрица коэффициентов переобусловленной системы уравнений и программа может быть использована в общем случае. [c.338]

При малых значениях 8о или малых временах процесса зависимость (3. 19) становится почти линейной При скорости релаксации системы к равновесию ю О параметры нормального распределения убывают во времени Зависимости, ана.ттогич-ные уравнению (3.19), могут быть получены и для других скалярных переменных, являющихся функциями времени. В уравнении КФП время формально может быть заменено скалярной переменной - температурой процесса. Тогда ео будет иметь смысл температурной релаксации функции распределения со- [c.49]

Положим в этой полной системе уравнений (2.2.1) — (2.2.4) нормальную к поверхности составляющую скорости и х,у) равной нулю. Тогда из уравнения (2.2.1) следует, что и(х,у) = = и у). При этом условии уравнения (2.2.1) и (2.2.3) исключаются, а уравнения (2.2.2) и (2.2.4) упрощаются. Оставшийся в уравнении (2.2.2) конвективный член иди1дх (перенос количества движения) можно опустить, так как и=и(у). Некоторым оправданием этого является условие малости скоростей потока, которое выполняется довольно часто. Кроме того, как и в последующем анализе пограничного слоя, пренебрегают эффектами вязкости и теплопроводности, обусловленными продольными градиентами параметров в направлении течения. Наконец, зависимость плотности от температуры р( ) принимается линейной [c.39]