Векторы на тензор

Дальнейшее обобщение состоит в том, что всем этим трем величинам присваивается название тензоров с указанием ранга в соответствии с показателем степени, т. е. скаляр будет тензором нулевого ранга, вектор — тензором первого ранга и тензор — тензором второго ранга (тензоры могут быть и более высоких рангов — третьего и т. д.). [c.365]

Внешнее произведение. Произведение двух векторов, матриц или тензоров, ранг которого выше, чем ранги сомножителей. Например, для двух векторов (тензоров первого ранга) оно представляет собой произведение вектор-столбца и вектор-строки, результатом которого является матрица (тензор второго ранга). Возбужденное состояние. Состояние системы с энергией выше основного (низшего энергетического) состояния. [c.459]

Здесь ба(к) — единичный а-й собственный вектор тензора J i (k), или вектор поляризации тыв (к) — собственное значение тензора J (k), которое, как известно из теории колебаний кристаллической решетки Бравэ, имеет смысл массы колеблющихся атомов, умноженной на квадрат частоты чис.тю з нумерует три акустические ветви колебаний к — волновой вектор. Подставляя (38.15) в (38.14), получим [c.328]

По сравнению со скаляром и вектором тензор — величина более высокого ранга. Подобное введению тензора образование понятий мы уже встречали среди чисел. В области целых чисел надо сопоставить значения г = 1, 2, 3,.. с числами у = 2, 4, 6.. ., что обозначается таким образом у — 2х или [c.363]

По отношению к векторам тензор является оператором. При действии тензора на вектор получается другой вектор [c.443]

Что касается потоков Л и I, то они могут рассматриваться либо как скаляры — тензоры нулевого ранга, если имеется в виду только их абсолютная величина, или модуль, либо как векторы — тензоры первого ранга, если имеются в виду их модуль и направление одновременно. [c.154]

В трехмерном эвклидовом пространстве физическая величина, которую можно представить в виде тензора ранга V, имеет 3 компоненты скалярную величину можно рассматривать как тензор нулевого ранга, а вектор — как тензор первого ранга. Как правило, скалярные величины (тензоры нулевого ранга) обозначены курсивом (так, а — скаляр) произвольные векторы (тензоры первого ранга) — жирным курсивом [о — вектор с компонентами Оа (а = 1, 2, 3)] тензоры второго и более высокого ранга обозначены рубленым шрифтом [например, Т — тензор второго и более высокого ранга, его компоненты (а, р = 1, 2, 3)]. [c.261]

Теперь задача заключается в том, чтобы выразить потоки через тензоры, входящие в выражение (11.4.39). Поскольку С — обычный (полярный) вектор, а / — аксиальный, или псевдовектор (т. е. / не меняет знака при отражении координат), функции Р и Ь являются соответственно вектором, тензором и псевдотензором кроме того, они выражаются в виде линейных комбинаций градиентов, входящих в соотношение [c.336]

Сокращение Div обозначает не только дивергенцию, так как величины, стоящие внутри фигурных скобок, являются тензорами (второго порядка). Например, конвективная плотность потока импульса представляет собой произведение векторов pv и v. Таким образом, три составляющие (по трем осям) первого вектора должны быть рядами умножены на три составляющие второго вектора. Следовательно, получим 3-3 = 9 составляющих. Теперь запишем это произведение [c.71]

Таким образом, тензор Т можно определить тремя векторами 1 , 1з-Координаты 1, Уз зависимо переменного вектора V являются также гомогенными (однородными) линейными функциями координат х, у, г независимо переменного вектора г. Эту зависимость можно представить следующим образом [c.364]

Понятия производного тензора и дивергенции можно представить наглядно. Рассмотрим в векторном поле v (г) скоростей потока жидкости элемент объема жидкости вокруг точки Рд, заданной локальным вектором Гд + Дг. Скорость находящейся здесь частицы с локальным вектором г - Аг в соответствии с определением производного вектора равна [c.366]

Алгебра векторов и тензоров Неплохая Спец. Нет Хорошая Неплохая Неплохая Отличная [c.251]

Представим тензоры П, Г, и векторы (П, 197)—(П, 199), через осредненные величины. Тензоры представим в виде суммы нормальных и касательных напряжений, как это делается для однофазного потока причем касательные составляющие считаем пропорциональными величинами [c.155]

В подмножестве ПЛ/1 для ДОС/ЕС допускается использование одно-, двух- и трехмерных массивов. Одномерному массиву соответствует вектор, двухмерному — матрица и трехмерному — тензор. [c.254]

В качестве потоков принято 1г = — поток вязких напряжений в сплошной фазе (тензор) /xl=f, 2, — поток силы механического взаимодействия между фазами (вектор) /х2 = дТ — поток тепла внутри несущей фазы (вектор) /хз = д2 — поток тепла внутри дисперсной фазы (вектор) /х, +3 = ] — диффузионный поток А-го комнонента в фазе 1 (вектор) /х, я+ +з = ]2 — диффузионный поток А-го компонента в фазе 2 (вектор) — интенсивность теплообмена (контактного) между фазами (скаляр) 7у,г+1 = 1 , — скорость г-й химической реакции в фазе 1 (скаляр) /у, лг+г+1 =/<2г) — скорость г-й химической реакции в фазе 2 (скаляр) 1у,21 +кА = 1к(т — поток А-го компонента через границу раздела фаз в направлении 1 -> 2 (скаляр) /к, 2Л +я+й+1 = / (21) — поток к-то компонента через границу раздела фаз в направлении 2- 1 (скаляр). [c.58]

Перечислим движущие силы 2 = — приведенный тензор скоростей деформаций несущей фазы (тензор) X, = (у — 2) X X (х]/7 1 — ><2/ 2) — движущая сила, возникающая из-за скоростной неравновесности между фазами, т. е. из-за несовпадения у и Уз (вектор) Х =—V7 l/7 l — приведенный градиент температуры в несущей фазе (вектор) . Уд— приведенный градиент температуры в дисперсной фазе (вектор), Хк+з = — [( 1 )1 — Р1 ]/7 1-приведенный градиент химического потенциала А-го компонента в несущей фазе (вектор) Х +,с+з — [( (1.2 )2 — 2к]1 2 — приведенный градиент химического потенциала А-го компонента в дисперсной фазе (вектор) 1 = 1Т —1// 1) — движущая сила, возникающая из-за температурной неравновесности между фазами, т. е. из-за несовпадения и (скаляр) = — приведенное [c.58]

Из сказанного выше следует, что в пределе при ej, s , Sg -> О допустимо пользоваться уравнениями гидромеханики псевдоожиженного слоя, в которых вид тензора напряжений i-й фазы совпадает с видом тензора напряжений идеальной жидкости, а вектор теплового потока q<=0. [c.169]

Первые слагаемые в правых частях уравнений (1.9) и (1.10) равны притоку импульса соответствующей фазы через поверхность 5 VI и V2 — соответственно скорости несущей и г-фазы вторые и третьи слагаемые — воздействию внешних поверхностных и массовых сил, приходящихся на соответствующую фазу и характеризуемых соответственно тензорами 01 , Ог и векторами и причем ая =0 пятые слагаемые представляют изменение импульса соответствующей фазы за счет фазовых переходов. В последнем слагаемом в уравнении (1.9) выражения в первой и второй квадратных скобках представляют изменение импульса г-фазы за счет перехода кристаллов из группы в группу при их росте и растворении, выражение в третьей квадратной скобке характеризует изменение импульса г-фазы непосредственно за счет фазовых переходов, где v i1 характеризует скорость или импульс массы, претерпевающей превращение [c.18]

Из кинематики деформируемых сред известно, что этот предел существует и является первым инвариантом тензора скоростей деформаций (он называется дивергенцией вектора скорости у сплошной среды) /р = а, (11у у = а Уу, или в декартовой системе координат [c.67]

Следуя терминологии, принятой в Transport Phenomena , в данно11 книге тензоры обозначены светлыми греческими буквами (а. т, е и т. д.), векторы— полужирными латинскими буквами А, В, v и т. д.), скалярные величины—светлыми буквами Р, [J, Т и т. д.). Тензорно-векторные операции умножения обозначаются различными типами скобок, например (А-В)—это скаляр, [АхВ]—вектор, — тензор. [c.405]

При операциях сложения или вычитания форме скобок, заключающих внутри себя эти операции, не придается никакого особого значения. Таким образом, величины (о-1с) и (а т) являются скалярами, величины [ Хгс1 и [т- ] — векторами, а величина а т) представляет собой тензор второго ранга. Величину ( —1с) можно выразить и в виде [г —и ] или в виде (г —ю в зависимости от того, какой способ записи удобнее. Заметим, что скаляры формально можно считать тензорами нулевого ранга, а векторы — тензорами первого ранга. [c.650]

Пусть Оу - векторное представление, описьйающее симметрию полярного вектора (тензора первого ранга). Тензор ранга г преобразуется как произведение компонент г векторов, и его трансформационные свойства поэтому описываются тензорным представлением 2)/=... X X Оу. Интересующие нас физические характеристики кристалла описываются тензорами, симметричными относительно перестановок некоторых индексов. Наиболее употребительные тензоры приведены в табл. 6.1 [c.140]

Ферроэлектрики. Это — наиболее исследованный класс ферроиков. Как видно из табл. 6.3, макроскопической переменной, описывающей ферро-электрические переходы, является полярный вектор - тензор первого ранга. Поскольку вектор преобразуется по представлению с размерностью не выше трех, любой собственный ферроэлектрический переход должен описываться одним из двенадцати типов термодинамических потенциалов, отвечающих кристаллографическим точечным /-группам ( 14). ЦРБИ этйхтрупп приведены в 14. [c.151]

В обобщенном законе Дарси фильтрационные свойства среды определяются и задаются не одной константой, а в общем случае тремя главными значениями тензора проницаемости или тензора фильтрационных сопротивлений. Это обстоятельство является отражением того факта, что в анизотропных средах векторы скорости фильтрации и градиента давления в общем случае не направлены по одной прямой, а значения проницаемости и фильтрационного сопротивления могут изменяться для различных направлений. Поэтому понятия проницаемости и фильтрационного сопротивления, как скалярных характеристик среды, нуждаются в обобщении на случай анизотропных сред. Проницаемость для анизотропных сред определяется как тензорное свойство в заданном направлении. Понятие тензорного свойства в заданном направлении для тензора kjj определяется следующим образом если физические свойства среды задаются тензором второго ранга и справедливы уравнения (2.23), то под величиной К, характеризующей тензорное свойство в заданном направлении, понимают отношение проекции вектора-TIW на это направление к длине вектора gradp, направление которого совмещено с заданным (рис. 2.4). Из данного определения величины К непосредственно следует и вид его аналитического выражения [c.46]

Подобным же образом выражается и второе слагаемое четвертого уравнения системы (6-50), для которого сокращение Grad также начинается с большой буквы G, потому что оно обозначает не вектор градиента скалярного пространства, а тензор градиента векторного пространства (пространства скоростей). [c.71]

Однако чтобы можно было равным образом с помощью гомогенного линейного отношения сопоставить значения I = 2, 4, 6,.. . со значениями у = 1, 2, 3,.. ., т. е. чтобы частное у/х можно было выразить числом , необходимо ввести новую величину V — дробное число. Поэтому Грассманн определил тензор Т как дробь, получающуюся в результате деления векторов V и г. [c.363]

Если пренебречь слагаемым ЕАг (а это можно сделать но его сравнительной велпчпне), то получится уравнение движения рассматриваемого элемента жидкости, состоящее из выражения для конвективного потока и произведения производного тензора D на изменение локального вектора Аг. [c.366]

Здесь /у,- - поток массы из / фазы в г фазу за счет фазовых переходов Х,- -тензор напряжения в 1-й фазе Л,,- - сила межфазного взаимодействия, отнесенная к единице объема смеси /, - вектор массовых сил, дейсгвующих в г-й фазе. [c.60]

Правило знаков. Переменные ей/ могут быть скаляром, вектором и тензором. В случае энергетических связей произведение а = е/, представляющее энергию, вычисляется как внутреннее тензорное произведение и является скалярной величиной, положительной, отрицательной или равной нулю. Последнее свойство используется для информационного усиления энергетических связей. С физической точки зрения важно указать направление передачи энергии от одного элемента ФХС к другому, преобразование ее из одного вида в другой, отличить источник энергии от стока и т. д. Для этого вводится правило знаков. Связь между двумя элементами А и В снабжается полустрелкой вида [c.27]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология