Область определения оператора

Оператор считается заданным, если указано не только правило или формула, с помощью которой он преобразует одну функцию в другую, но и то множество функций, на которое действует оператор. Это множество функций называется областью определения оператора. [c.13]

С одной особой точкой в бесконечности состоит в следующем [31 (1)]. Пусть I есть самосопряженный оператор, порождаемый в 2( операцией ( ) вместе с некоторыми граничными условиями. Подчиним функции из области определения оператора I при данном 7 > О дополнительным условиям у = у = Тогда оператор о индуцированный естественным образом оператором L на образовавшемся многообразии распадается в ортогональную сумму [c.12]

Покажем, например, как вывести теорему 11 из теоремы 14, приняв пока без доказательства, что область определения оператора плотна в Я и его дефектное число конечно, если А есть симметрический оператор с конечным дефектным числом. [c.45]

Согласно общей теории симметрических операторов, область определения оператора описывается формулой [c.83]

Таким образом, функции и(х) оператор ставит в соответствие функцию, равную среднему приращению и(х) на траекториях процесса за единицу времени. В область определения оператора входят все функции и, для которых математическое ожидание (3.4) конечно. Устремим б к нулю. В пределе время изменяется непрерывно, можно полагать, что и сам процесс сходится к предельному с непрерывными траекториями, соответствующий предел производящего оператора обозначим через si-. [c.321]

Область определения оператора Ф состоит пз таких функций и, для которых существует конечный предел [c.322]

Здесь = V е С(б ) В. ч(Х (т), т) = О, /=1,2 у(х, 0) = О - область определения оператора С(б ) — множество функций V = = у(х, т), имеющих в 0 непрерывные производные V, V, V. [c.172]

Вообще говоря, операторы могут иметь область определения более широкую, чем В(Ь). Пусть определены соответственно на банаховых пространствах [c.153]

Оператор А называется линейным, если для любого набора m функций щ (), U2 t).....Um t) ИЗ области определения U оператора и любых вещественных чисел ь ссг,. .., tm выполнено соотношение [c.48]

Функции f я g принадлежат множеству функций, на котором определен оператор А, и являются однозначными, конечными, непрерывными во всей области изменения переменных (их производные также непрерывные функции), нормированными функциями. В последующих задачах предполагается, что соответствующие функции удовлетворяют этим требованиям. [c.11]

Величина X > О во всей области изменения конверсии, за исключением гель-точки, где она обращается в нуль. Поэтому нарушение положительной определенности оператора (1У.81) происходит только на спинодали р = рсп- В случае р < рсп точке бифуркации Я1 = О отвечает образование бесконечной молекулы геля, чему математически соответствует появление асимметричных решений (1У.69). На [c.280]

Доказательство утверждения (в). Пользуясь обозначениями пункта (а), возьмем точку из области определения отображения Фи о о (если эта область непуста) и определим оператор Кт равенством [c.229]

При таком построении остается открытым вопрос, к каким именно точным функциям являются приближениями полученные оценки. И здесь дать более определенный ответ на вопрос можно не для всех, а только для так называемых ограниченных снизу (или сь рху) операторов, к числу которых, как правило, относятся операторы Гамильтона, в частности для атомных и молекулярных задач. Ограниченным снизу оператором А называется оператор, во всей области определения которого, т.е. для произвольной нормированной функции ф из этой области, справедливо соотношение [c.145]

То, что функции, на которых достигается равенство, существуют не для любого оператора А, можно убедиться на конкретном примере оператора импульса = -1д/дх, если в качестве области определения его рассматривать лишь функции из 8 (с интегрируемым квадратом модуля) как уже говорилось в гл. I, собственные функции в этом пространстве не содержатся (можно, однако, показать, что они могут быть определены как пределы некоторых последовательностей из 8 ). [c.145]

Выясним, яри каких ограничениях А есть оператор сжатия, для чего в качестве области определения его возьмем замкнутый шар 5 ( >, Л) с С и оценим величину [c.271]

Одноэлектронный супероператор — это функция, имеющая в качестве области определения и области значений операторную алгебру всех одноэлектронных операторов. Любой одноэлектронный супероператор р можно представить в виде р[Х] = где X пробегает все возможные одно- [c.55]

Рис. II.2, Области определения коэффициентов биполярного разложения (2.5) оператора кулоновского взаимодействия,

Если два оператора А и В имеют одну и ту же область определения-и одинаковым образом действуют на функцию, т. е. переводят ее в одну и ту же функцию, то это выражают р а в е н с т в о м [c.13]

Какие еще числа, кроме собственных, входят в спектр оператора Оказывается, число v не входит в состав спектра оператора А и называется обыкновенным, если оператор А — иЕ (где Е — единичный оператор) имеет обратный оператор А — vE) и этот последний является ограниченным. Число v принадлежит непрерывному спектру, если оператор А — иЕ имеет обратный оператор, но последний не является ограниченным. Поясним сказанное на примерах. Рассмотрим три разные оператора, связанные с одним и тем же формальным оператором. Оператор называют формальным, если его понимают в максимально широком смысле, то есть без каких-либо дополнительных ограничений области определения. В качестве примера формального оператора можно привести оператор двукратного дифференцирования, определяемый равенством D f x) = (f f/dx . [c.147]

При этом, разумеется, необходимо, чтобы все собственные числа оператора А лежали в области определения функции /(ж). [c.152]

Такое расщепление не всегда возможно например, при дозвуковом (докритическом) обтекании профиля его внешность представляет собой область определения решения корректной краевой задачи для эллиптического дифференциального оператора. Наоборот, при чисто сверхзвуковом обтекании область течения может быть разбита на подобласти определения решений корректных математических задач в определенной последовательности. Такая же возможность часто (но не всегда) возникает и при трансзвуковом обтекании тел. (Отметим, что задачи обтекания в силу нелинейности не всегда поддаются строгому анализу. Поэтому каждая отдельная задача предполагается корректной , если корректен хотя бы ее линейный аналог.) [c.52]

Не менее важным является определение операторов преобразований. Операторы изменяют одно состояние молекулы в другое, т. е. они могут рассматриваться как дискретные функции, областью определения и множеством значений которых являются состояния молекулы. Аргументами оператора являются описатели состояний, а значением функции служит описатель выходного состояния, т. е. операторы просто переводят одно состояние в другое. В органическом синтезе операторами являются химические реакции, которые изменяют структуру или функциональные группы, или то и другое одновременно. Преобразования для возможных состояний атомов хранятся в памяти ЭВМ. [c.427]

Оператор А будем считать действующим в гильбертовом пространстве г( )- Он определен на пространстве Соболева W2 R) и является самосопряженным. Обозначим.через Д(1) оператор А для случая плоского дна (й(л )= 1) он имеет ту. же область определения [c.315]

Тогда входящие в уравнения (20) и (21) производные от Ф могут быть выражены через производные от (р и производную Фу. Последняя же может трактоваться как значение определенного оператора N над парой /г), действующего по правилу в области О решается смешанная краевая задача для уравнения (18) с граничными условиями (19) и (22), после чего находится N = Ь). При этом М, очевидно, линеен относительно р, но нелинеен относительно к. [c.129]

Пусть в Яо задан замкнутый оператор О с плотной областью определения (О) и такой, что [c.18]

Теорема 3.2. Пусть а — замкнутая полуограниченная билинейная форма с вершиной а Существует действующий в пространстве Но самосопряженный оператор А а такой, что справедливо представление (3.14). Область определения Ф (А) плотна в а) относительно нормы ар [ ]) . В случае неотрицательной а справедлива и формула (3.15). [c.56]

Замечание 2. Понятие форм-суммы может быть обобщено следующим образом. Предположим, что задан оператор Я+ гз % (53) Э Э / ь - 5)/ Я- с плотной в Н-1- областью определения, неотрицательный относительно Яо, т. е. (5>/, /)я 0 (/ 6 Ф (53)). (Можно было бы рассмотреть и случай полуограниченности 3 6 ( /, /)я а (/, /)я (/ Е Ф (53)).) Построим в пространстве Я,, форму [c.62]

Перейдем к аккуратному изложению. Рассмотрим цепочку (1.41), вектор а Но и действующий в Но положительный, вообще говоря, неограниченный оператор S с плотными в Яо областями определения (S) и значения 9i (S) существует как оператор в Яо из 9i (S) в (S). Рассмотрим цилиндрические множества Ц [К б) в пространстве Я , где в качестве класса берется некоторая совокупность конечномерных подпространств /С с (S), удовлетворяющая требования 1—3 п. 4 при Я = Яо, а значит, и при Я = Я . Определим цилиндрическую меру у на алгебре С Ж, HJ) таких множеств формулой [c.93]

Следствие 2. Для любого положительного оператора 8 в Но с плотными областями определения и значения и любого а Н существует такое оснащение (1.41), что на (Я ) определена мера Уз.а- в самом деле, выберем ортонормированный в Я базис (е,-) 1 с с (5) и рассмотрим действующий в Я оператор О с диагональной матрицей ( /бд./) ,=,1, где ,->1. По оператору О согласно сказанному в гл. 1, 1, (1.19), можно построить цепочку (1.41) таким образом, чтобы для нее 0J = 0 . Тогда 01 = 0J) = [c.95]

Здесь Нт — область определения оператора Z, состоящая из функхдай [c.224]

При последующем рассмотрении будет показано, что на эти вопросы можно дать утвердительный ответ. С помощью надлежащего выбора области определения оператора А [формальный вид которого дается выражением (4.8.86)] можно доказать, что А — это так называемый инфииитезимальный производящий оператор (генератор) полугруппы операторов T t), которая обладает определенньп 1и свойствами непрерывности. Если не вдаваться в математические подробности, то это означает, что существует однопараметрическое семейство операторов T t), которые удовлетворяют полу-групповому свойству для кроме того, Г(0)=/, где I — единичный оператор. Это, разумеется, согласуется с тем результатом, который мы интуитивно ожидали, понимая оператор T t) как е . Свойства непрерывности означают, например, что для любой функции /из области определения полугруппы lim T(t)f=f [c.109]

Пусть Е тз. Р — вещественные банаховые нространства, Ь — линейный (возможно неограниченный) оператор с областью определения В Ь) Е и областью значений Я Ь) =Р. [c.153]

Подобно тому, как для задания функции необходимо указать область определения этой функции, для задания оператора не.рбходимо указать множество функций, к которым этот оператор может быть применен. [c.40]

Если в гильбертовом функциональном пространстве На, где определен оператор Л, найдется полная ортонормиро-ванная система функций (3.364), которая совпадает с собственными функциями соответствующей задачи Штурма— Лиувилля для уравнения теплопроводности (3.354), то приближенное-решение (3.362), найденное по методу Ритца с последующим переходом в область оригиналов, будет совпадать с я-й частичной суммой точного решения. [c.173]

PaiQ MOTpHM унитарные операторы, соответствующие замене переменных. Здесь может быть два случая замена пе)ремшных без изм1енения и с изменением области определения переменных. Первый случай — более частный, но вместе с тем и более простой. [c.15]

Примем его в качестве позитивного пространства Я+ и построим соответствующее ему сопряженное относительно Яц гильбертово пространство Я Пусть У — оператор изометрии, отвечающий цепочке Я гэ Яо гэ Я+. Сравнивая (1.17) с (1.19), заключаем, что = где — оператор J понимаемый как оператор в Яо с областью определения Я+ (мы воспользовались положительностью Jнl и теоремой о метрически равных операторах). Если, кроме того, О — положительный самосопряженный оператор, то Jиl = = О. В этом случае 0J = О и из (1.17) получаем (/, )н [c.18]

Справедливо следующее обобщение формулы (3.14). Пусть а — замкнутая секториальная форма, тогда для нее справедливо представление (3.14) с некоторым действующим в замкнутым оператором А, область определения которого плотна в % (а) относительно нормы ((Reap) i-]f [c.59]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология