Элементы симметрии. Пространственные группы

Мы продолжим обсуждение общих свойств симметрии в случае пространственной группы P2i/ (читается как Р-два-один-на-с или Р-два-один в нижнем индексе-на-с ). Точечная группа, соответствующая этой пространственной группе, получается путем превращения элементов симметрии пространственной группы в их эквиваленты в точечной группе. Например, в этом случае 2j выводится из оси вращения второго [c.372]

Рис. 11.17. а) Стереографическая проекция кристаллического класса — 42т] 6) элементы симметрии пространственной группы [56]. [c.61]

Из обозначений Шенфлиса без вспомогательных таблиц нельзя определить элементы симметрии пространственной группы. Обозначения же Германа — Могена содержат все, что необходимо для вывода полной симметрии данной группы тип решетки Бравэ и необходимый минимум элементов симметрии. [c.70]

Рассмотрим кристалл, физические свойства которого согласуются с наличием плоскости симметрии, оси 2-го порядка, центра симметрии и, как у любой замкнутой группы, операции идентичности. Порядок пространственной группы равен четырем. Если мы определим (или знаем) положение одного атома, элементы симметрии пространственной группы определят положение в общей сумме четырех эквивалентных атомов. Таким образом, необходимо определить положения атомов в четвертой части всего объема этой элементарной ячейки, в асимметрической ячейке, и можно быть совершенно уверенным, что элементы симметрии этой пространственной группы и трансляции решетки образуют оставшуюся часть структуры. Теперь становится очевидным, почему важно знать число 2 молекул, содержащихся в элементарной ячейке. (2 легко определяется из параметров решетки, молекулярного веса и плотности кристаллов,, как показано в следующем упражнении.) [c.35]

Элементы симметрии. Пространственные группы [c.59]

Так же как точечная симметрия уменьшает число переменных, необходимое для характеристики молекулы, так и элементы симметрии пространственных групп уменьшают объем элементарной ячейки, который нужно исследовать, чтобы установить расположение всех атомов. [c.35]

Любая точка кристалла, которая может быть занята молекулой (в общем случае любыми частицами, образующими кристалл), называется местом, и при определенных положениях какой-либо элемент симметрии пространственной группы проходит через место. Локальной группой (или сайт-группой) является точечная группа операций симметрии, которая оставляет место инвариантным. Таким образом, те места, которые не лежат на каком-либо элементе симметрии, имеют тривиальную локальную группу i. Локальная группа должна быть подгруппой как фактор-группы, так и точечной группы молекулы. [c.583]

На рис. 38 изображен участок структуры, имеющий пространственную группу Ртт. Один из элементарных параллелепипедов решетки на рисунке заштрихован. Если задать точку где-то внутри ячейки (точка г), ТО, размножив ее при помощи элементов симметрии пространственной группы, получим общую правильную систему точек. Число точек этой системы, приходящееся на один элементарный параллелепипед решетки, называется кратностью. Таким образом, в нашем [c.36]

Рис. 18. Элементы симметрии пространственной группы 1>2 (=

В символе Германна — Могена, как правило, перечислены не все элементы симметрии пространственной группы (сказанное относится также и к полному символу Германна — Могена, который не приводится в этой книге). Это отчетливо видно на примере пространственной группы P2i/ . В ней имеются также центры симметрии, которые без труда выводятся, но непосредственно не записываются в символе. Часто в одном направлении параллельно друг другу лежат различные оси симметрии (например, 2 и 2 ) или различные виды плоскостей симметрии. Из числа таких элементов симметрии в символе дается лишь один (целесообразно выбранный). [c.40]

ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ [c.54]

Совокупность всех элементов симметрии данной кристаллич. структуры иаз. ее пространственной группой. В 1890 Е. С. Федоров впервые доказал, что 32 видам симметрии (точечным группам) соответствует 230 пространственных групп симметрии, к-рые часто называют федоровскими. Результат размножения одной точки всеми элементами симметрии пространственной группы наз. правильной системой точек. [c.426]

Рассмотрим прежде всего генезис всех элементов симметрии пространственных групп низших сингоний из основных элементов т, w, t я отвлекаясь пока от самих тригонометрических функций, несущих эти элементы симметрии. [c.346]

На рис. 11.17, б изображены элементы симметрии пространственной группы О A2d. Цифры около горизонтальных чередующихся осей симметрии 2 и 2 , различающихся оперением стрелок, указывают высоту положения осей над плоскостью чертежа. Цифры около вертикальных осей показывают высоту положения виртуальных центров симметрии. Плоскости симметрии являются диагональными плоскостями скользящего отражения со сдвигом, равным /4-, стрелки показывают направления сдвигов. Размножая точку, взятую в частных или в общем положениях, можно найти координаты эквивалентных точек, которые приводятся в таблицах пространственных групп. Для рассматриваемой группы Did — J42d находим положения точек [c.62]

Симметрия проекции структуры зависит не только от симметрии кристалла, но и ОТ направления проектирования. Последнее имеет не меньшее значение, чем симметрия кристалла. Только центры инверсии кристалла дают центры симметрии на любой проекции кристалла. В остальных случаях наличие или отсутствие в проекции элементов симметрии, подобных элементам симметрии пространственной группы, целиком зависит от взаимной ориентации этих элементов и направления проектирования. Для того чтобы тот или иной элемент симметрии создал некоторую симметрическую закономерность в проекции, он должен быть расположен либо параллельно, либо перпендикулярно линии проектирования. Если рассмотреть последовательно все элементы симметрии пространственных групп, можно выявить общие правила, определяю- щие симметрию проекции. [c.363]

Изображение элементов симметрии пространственных групп подобно их изображению в точечных группах [20]. Главное различие состоит в том, что порядок, в котором записывают элементы симметрии пространственных групп, может быть очень важным, за исключением триклинной системы. Порядок элементов симметрии выражает их ориентацию в пространстве относительно трех координатных осей. В моноклинной системе особой осью является ось с или h. Для пространственной группы Р2 полный символ может быть Р112 или Р 1 в зависимости от этого выбора и использования последовательности аЪс. Эти два варианта называют первой установкой и второй установкой соответственно. Упорядочение символов для ромбической системы особенно важно. Элементы симметрии обычно записываются в порядке аЬс. Пространственную группу, принадлежащую к классу 2тт, соответственно представляют как Ртт2, причем особая ось совпадает с с. [c.426]

Определив, какие именно элементы симметрии пространственной группы расположены параллельно и перпендикулярно направлению проектирования, нетрудно сделать заключение о симметрии проекции в каждом конкретном случае. Коэффициенты G hk) для проекций являются структурными амплитудами отражений от плоскостей той зоны, ось которой совпадает с направлением проектирования. Поэтому соотношения между G (hk) с разными знаками у Л и fe, находясь в однозначном соответствии с симметрией проекции, в то же время совпадают с соотношениями между структур- ными амплитудами участвующих отражений. В частности, G(hk) вещественны во всех тех случаях, когда вещественны структурные амплитуды отражений соответствующей зоны (не обязательно — всех отражений вообще ). [c.363]

В большинстве случаев число молекул в элементарной ячейке п равняется числу асимметричных единиц п. Здесь мы рассмотрим частный случай макромолекулы, представляющей собой олигомер, состоящий нз идентичных субъединиц. Например, молекула с пятью субъединицами могла бы иметь симметрию j. Но эта симметрия никогда не будет соответствовать элементу симметрии пространственной группы, поскольку не существует пространственной группы с поворотной осью С 5. Следовательно, в состав асимметричной единицы должны входить все пять субъединиц. [c.359]

Из этого следут, что асимметричные оптически активные молекулы не могут кристаллизоваться в пространственных группах, содержащих центр силшетрии, зеркальные плоскости, плоскости скольжения или оси 4. (Оси порядка выше шести исключаются, поскольку они запрещены симметрией кристаллической решетки.) Действительно, если бы молекула занимала частное положение, то элемент симметрии пространственной группы являлся бы элементом симметрии ее точечной группы, а значит, она являлась бы лгезо-формой и не была бы асимметричной. Если бы молекула занимала общее положение, то элементы симметрии пространственной группы привели бы к возникновению энантио-морфной молекулы, в результате чего должен был бы образоваться рацемат. Это означает, что из 230 пространственных групп только 65 являются допустимыми для кристаллизации оптически активных веществ. Автор не может отыскать ни одного исключения из этого правила. Если бы оно было обнаружено (а это не кажется невероятным), то естественно было бы объяснить его неупорядоченностью структуры, например вращением молекул в кристалле при этом молекула может имитировать симметрию более высокую, чем ее собственная (см. стр. 57). Большинство оптически активных веществ кристаллизуется в пространственных группах P2j и P2j2i2i. Молекулы одного оптического изомера располагаются вдоль поворотной оси второго порядка (2j). [c.73]

Международный символ группы содерншт обозначения либо всех, либо минимального набора элементов, с помощью которого можно получить остальные элементы симметрии пространственной группы. Различные пространственные группы получаются комбинированием поворотных и винтовых осей симметрии 2 и 21 [c.61]

Однако пространственная группа кристалла отражается в симметрии этих свойств не полностью. Такие элементы симметрии, как винтовые оси и плоскости скользящего отражения, не могут проявить в них своей индивидуальности. Макроскопические свойства кристалла одинаковы по параллельным направлениям. Например, если кристалл обладает осью симметрии четвертого порядка, то независимо от того, является ли она простой или в1интавой, в обоих случаях в четырех направлениях, связанных поворотами на 90° вокруг оси, скорость роста граней кристалла, или пироэлектрические свойства, будут одинаковы и останутся неизменными при перемещении места наблюдения на любое расстояние вдоль оси. В отношении макросвойств кристалл ведет себя как непрерывная, а не дискретная анизотропная среда. Симметрия внешних свойств есть симметрия направлений. Элементы симметрии, которыми эта симметрия описывается, не распределяются в пространстве их можно считать пересекающимися в одной точке. Полезно поэтому рассмотреть точечную группу симметрии, сходственную той пространственной группе, которой обладает кристалл. Под этим термином понимается совокупность элементов симметрии, которая будет получена, если в пространственной группе уничтожить все трансляции, имеющиеся как в чистом виде, так и в сочетаниях с вращениями или отражениями. Иначе говоря, для получения точечной группы кристалла надо, во-первых, все элементы симметрии пространственной группы перенести (параллельно себе) так, чтобы они пересеклись в одной точке, во-вторых, заменить винтовые оси простыми того же порядка, а плоскости скользящего отражения — плоскостями зеркального отражения. [c.20]

Рнс. 16. Расположение элементов симметрии пространственной группы Р6 1ттс с учетом нахождения молекул в ротационной фазе (для упрощения несколько элементов симметрии опущено) [211]. Направление оси с перпендикулярно к плоскости рисунка сечения молекул представлены окружностями (сплошными — нижние сечения, штриховыми — верхние). [c.73]

Полная аналогия наблюдается и при изучении внутренней структуры кристалла. Если задана простраественная группа симметрии, то, взяв одну точку и повторяя ее в пространстве, получим бесконечную правильную систему точек. Если исходная точка находилась в общем положении, то и травильная система, получающаяся из нее, будет называться общей правильной системой. Если же исходная точка находилась в частном положении по отношению к элементам симметрии пространственной группы (например, располагалась в плоскости симметрии), то и правильная система будет частной. И здесь, следовательно, существует полная аналогия с общей и частной простой формой кристаллического многогранника. [c.35]

Правильные системы а, Ь, с я й (рис. 38) будут разными системами, потому что точки системы а не связаиы элементами симметрии и, в частности, трансляциями с точками системы Ь, с или й. Хотя все эти точки лежат на двойных осях, но оси эти разные. Они не выводятся одна из другой с помощью элементов симметрии пространственной группы. Их можно было бы и изображать различно (рис. 39). Указанная на рис. 38 и 39 пространственная группа содержит четыре системы осей второго порядка, параллельных единственной оси симметрии ромбо-пирамидального вида симметрии. Аналогом этого случая в учении о тридцати двух видах симметрии кристаллов будет случай ромботетраэдрического вида симметрии (рис. 40). Ни одна из поворотных осей этого вида симметрии не может быть совмещена элементами симметрии с другой его осью. В ромбо-пирамидальном виде симметрии нельзя совместить друг с другом с помощью элементов симметрии две его плоскости симметрии. [c.38]