Ортогональность и нормальные координаты

Существование несвязанных циклических координат вытекает из свойства ортогональности нормальных координат, что обсуждается в 4.6, где также вводится понятие циклического подпространства в виде бесконечно- [c.82]

Величины еа к 1) определяют матрицу Зп ХЗп с индексами к, а) и /, каждый из которых пробегает Зп значений. Равенства (1.16) означают, что эта матрица несингулярна и ортогональна. Такой набор может быть использован для определения преобразования (1.14). Новые координаты д, называются нормальными координатами. [c.12]

Уравнения движения жидкости в ортогональной системе координат получаются путем использования закона Ньютона (П.З) для каждой из осей координат. Вдоль оси х действуют следующие напряжения на поверхность йу дг, перпендикулярную оси х, отстоящую от начала координат на расстоянии х, — нормальное напряжение Ох на противоположную поверхность, находящуюся от начала координат на расстоянии хйх,— нормальное напряже- [c.86]

Если мы хотим сохранить действительные выражения для составляющих электрического дипольного момента и для нормальных координат, мы должны объединить два таких представления в одно двумерное представление, которое теперь уже не будет неприводимым. Теперь мы не можем больше ссылаться на теорему ортогональности, которая применима только к неприводимым представлениям. Тогда нам придется [c.229]

Матрицы О) и Ог полностью определяются исходным приближением Uq, а матрицы Ri и R2 находят в процессе согласования матриц потенциальной энергии. Ортогональные преобразования подобия с помощью соответствующих матриц R и О переводят диагональные матрицы Л] и Лг из соответствующих несовпадающих систем нормальных координат в такие системы координат, из которых при помощи обратных матриц собственных векторов УГ и УГ по формулам (77) и (77а) получают достаточно близкие матрицы / i и i/ 2 в одной и той же системе естественных координат. Другими словами, вместо диагональных матриц Л1 и Лг в уравнение (36) подставляют ортогонально подобные им матрицы. [c.370]

Если вековое уравнение выражено через ЗЫ — 6 координат д,-(которые выбраны так, что преобразование к нормальным координатам ортогонально), то для колебания 1, например, отношения д,-можно получить из уравнения [c.46]

При отсутствии обобщенных сил изменение системы во времени может быть представлено модами тепловой релаксации, что показано в 2.4. Эти моды представляют собой собственные решения, каждое из которых пропорционально экспоненциально убывающей функции времени. Свойство ортогональности релаксационных мод выводится в 2.5 одновременно с описанием соответствующих координат. Реакция системы в результате воздействия заданных тепловых сил выражается в замкнутом виде с помощью нормальных координат. При изложении материала особое внимание уделено важным частным случаям кратных и нулевых характеристических корней. Показано, что нулевые корни соответствуют стационарному тепловому потоку. [c.35]

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ [c.46]

Бесконечное вырождение. Циклическое подпространство. Предыдущие рассуждения показывают, что возможность разделения циклических и нециклических координат вытекает из свойств нормальных координат. Циклические координаты можно рассматривать как линейную комбинацию релаксационных мод вырождения с нулевыми характеристическими корнями Хз. Вследствие свойств ортогональности эта линейная комбинация не содержит релаксационных мод, соответствующих нециклическим координатам, для которых корни не равны нулю. [c.99]

Как и в плоском случае, задачу удобно решать, вводя естественную систему криволинейных ортогональных координат, совпадающих с линиями главных нормальных напряжений. [c.44]

На рис. 1 видно, что координата реакции соответствует асимметричному валентному колебанию устойчивой молекулы, но отлича- ется тем, ч то движение не должно быть гармоническим, поскольку мы находимся в максимуме потенциальной энергии, а не в минимуме. Симметричное валентное колебание представляет собой движение, ортогональное координате реакции. Это истинное нормальное колебание, поскольку оно происходит в минимуме энергии. В силу нашего исходного допущения два деформационных колебания также происходят в минимумах. Их нельзя показать напашем трехмерном рисунке. Однако рис. 2 демонстрирует поверхность потенциальной энергии для линейной симметричной молекулы XYj как функцию деформационной координаты и координаты симметричного валентного колебания. Координата реакции во всех точках, отличных от седловины, также соответствует колебанию несимметричной молекулы Н — СШ. Точечная группа теперь Соос, а координата реакции имеет симметрию 2. [c.17]

Существуют два ОСНОВНЫХ механизма появления энергии взаимодействия двух состояний различной симметрии и мультиплетности. Первый механизм — вибронное взаимодействие, часто называемое также взаимодействием Герцберга — Теллера. Оно представляет собой подмешивание к основному состоянию возбужденных состояний другой симметрии в результате несимметричных колебаний молекулы. Очевидно, что этот механизм является механизмом взаимодействия состояний, относящихся к различным типам симметрии. Теория взаимодействия Герцберга — Теллера уже была дана ранее, поскольку она представляет собой не что иное, как общую теорию возмущений для химических превращений. Однако колебаниями теперь являются нормальные колебания, которые ортогональны координате реакции. [c.503]

Ху — /-ТЫЙ ортогональный единичный характеристический вектор, выраженный в нормальной системе координат, или системе координат Л хТ—транспонированный вектор х - [c.274]

Ху — /-ТЫЙ ортогональный характеристический вектор единичной длины в нормальной системе координат, или системе координат Л [c.274]

Введенная система координат з, т]), естественно, не является единственно возможной. Преимущество ее перед обычно используемыми системами координат — декартовой, цилиндрической и сферической— состоит в том, что границы исследуемой области в координатах 3, 1 ) обычно являются плоскими или прямыми линиями. Система координат 5, 1 ) не является ортогональной подобные системы координат называют нормальными. При решении прямой задачи также используются координаты, в которых границы области переходят в плоскости или прямые линии, что достигается соответствующей нормировкой переменной у. [c.38]

В проведенном рассмотрении не принималось во внимание, что движение протонов может зависеть от колебания О—О. Энергетическая поверхность для обоих типов колебаний схематически представлена на рис. 126. Здесь, как это обсуждалось в разд. V. 12. Б, предполагается, что минимум энергии находится на линии О—О, а водородная связь описывается потенциальной функцией с двумя минимумами. В гармоническом приближении два нормальных колебания происходят в ортогональных нормальных координатах, каждое в своем минимуме потенциальной энергии. Из рисунка следует, что каждое из этих колебаний является смешанным и включает в себя как колебание атома кислорода, так и колебание протона. В большинстве работ этот факт не учитывался. Батуев [206] впервые обсудил его, Хаас и Хорниг [57] сделали попытку учесть этот эффект усреднением по всем различным расстояниям. Братоз и Хадзи [53] формально учитывали это взаимодействие, вводя коэффициенты [c.273]

Вообще говоря, для конечной цепи С(и/, () зависит от положения вьщеленной субцепи в цепочку. Вывод (11.10) и аналогичных корреляционных функций [для Л(0)А(Г)] проводится на основе подстановки Uj=/LBjpqp как функции от нормальных координат при использовании условий ортогональности и нормировки нормальных координат и закона равнораспределения энергии по классическим колебательным степеням свободы [30] [c.59]

Значение ср = onst соответствует эквипотенциальной поверхности (или эквипотенциальной линии на плоскости), т. е. поверхности или линии равного потенциала. Линии токов нормальны к эквипотенциальным линиям. На рис. 57 изображена такая сетка линий ф и 9, нормальных (ортогональных) друг к другу и образующих своеобразную, так называемую естественную систему координат. Для каждой конкретной геометрической формы, например, шара или цилиндра, в гидродинамике даются методы для построения линий ср и 4 [305]. Насколько применимо такое рассмотрение для реального случая При движении жидкости с сравнительно малой вязкостью возле твердой стенки вязкость сказывается только у поверхности твердого тела (в так называемом пограничном слое). На достаточно большом удалении от стенки вязкость не влияет, и течение жидкости принимает форму, близкую к потенциальному потоку. Напротив, вблизи стенки в пограничном слое благодаря силам вязкости возникают впхри. Таким образом, все течение можно разделить на две области движения — вихревого и невихревого (потенциального). В реальном потоке, конечно. [c.236]

Несмотря на это, существование точных квантовых чисел позволяет в некоторых случаях точно удовлетворить дополнительным условиям. Примерами могут служить вычисления Гилерааса и Ундгейма1) уровней 1 25 5 гелия. Поскольку в гелии имеет место точно связь Ресселя—Саундерса, то Ь должно быть антисимметричной функцией положения двух электронов. Это условие само делает его в точности ортогональным к нормальному состоянию, являющемуся симметричной функцией координат. Используя для состояния 1 водородные собственные функции с 2 = 2, а для состояния 25 функции с 2=1, получим собственную функцию (ненормированную) для состояния 2 3 [c.338]

Более строго, координата реакции ортогональна ко всем нормальным колебаниям, в ко. торых участвуют замещаемые атомы эти нормальные колебания имеют эффективно нулевой вес в координате реакции. [c.296]

При решении обратной задачи для сопел и каналов сложных криволине1Шых конфигураций, когда контуры являются многозначными функциями декартовых координат, удобнее вместо нормальных систем координат типа 5, т]) использовать ортогональные координаты, связанные с линиями тока. Известным примером ортогональных координат для потенциальных течений являются координаты 1 7, Ф, где Ф — потенциал скорости. [c.38]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология