Аппроксимация по способу

Известно несколько способов построения дискретных аналогов (разностной аппроксимации) производных. Наиболее распространенный способ основан на использовании метода разложения функций в ряд Тейлора. [c.383]

Применение описанного способа обеспечивает уменьшение объема работы не только благодаря тому, что оно приводит в точку, близкую к максимуму М, коротким путем, но еще и вследствие того, что для исследования изменений целевой функции достаточно линейной аппроксимации, а значит, выполнения небольшого числа опытов в соответствии с планом дробного факторного эксперимента. [c.33]

Настоящая книга в основном посвящена разработке модели ступени центробежного компрессора, которая является ключевой при создании модели компрессорной системы и позволяет рассчитать ее характеристики при сжатии реальных газов с различными термодинамическими свойствами для различных режимов работы и способов регулирования производительности. Особенно большое значение это имеет при проектировании центробежных компрессоров для химической и нефтеперерабатывающей промышленности, где используются смеси реальных газов произвольного состава. Для полученных алгоритмов разработана и отлажена на ЭВМ система процедур для расчета термических и калорических параметров реальных газов, которая используется при обработке опытных данных и математическом моделировании характеристик центробежных компрессоров. Приведены эффективные методы аппроксимации и интерполяции для использования опытных данных в математической модели. В виде отработанных программ они могут сразу применяться в расчетной практике. [c.4]

Чтобы эффективно использовать экспериментальные данные в математических моделях, необходимо представить их в аналитическом виде, позволяющем быстро и с достаточной точностью вычислить нужное значение параметра. Наиболее простым способом является аппроксимация опытных данных в виде многочлена степени п. Коэффициенты такого многочлена могут быть получены известным методом, предложенным Гауссом еще в 1794 г. [c.163]

Основные данные рассмотренных работ представлены в табл. 7. Как видим, улучшение точности описания процесса достигается двумя способами — подбором значений к), рассмотрением все более и более сложных кинетических моделей. При этом все большее значение играет прямое моделирование и численные исследования, позволяющие точно учитывать особенности процесса для кинетических моделей такого уровня сложности, когда аналитические аппроксимации становятся невозможными. [c.342]

Уравнения типа (У.9) относят к параболическим и, как и любые уравнения в частных производных, решают методом сеток. По этому методу всю область изменения г и а делят сеткой (рис. У-1). В узлах сетки рассматриваются функции дискретного аргумента (сеточные функции) на сетке производные заменяют отношением конечных разностей. Точность метода зависит от выбора сетки и способа аппроксимации производных. Координаты узла сетки в точке г/, очевидно, следующие [c.149]

В приведенном примере искомыми величинами являлись константы скорости и порядки реакций. Если же искомыми неизвестными являются энергии активации, то аппроксимация проводится аналогичным способом. Изложение велось, кроме того, в предположении, что в каждом слагаемом системы (XI.36) имеется по два неизвестных параметра. В случае, если в слагаемых системы до трех неизвестных параметров, применяется следующий прием фиксируется часть параметров из тех, которые входят в показатели степени (к примеру часть порядков реакций или часть энергий активации) таким образом, что оставшиеся параметры (основная часть) находятся изложенным выше способом. Используя найденные значения параметров, аналогично можно вычислить параметры первой группы, затем снова второй и т. д. [c.435]

Ранее отмечалось (см. гл. 4), что основу САПР составляют математические модели элементов, составляющих технологическую схему. Модели могут быть различными по точности, математическому описанию и способу представления. Это либо модели, основанные на уравнениях баланса и фундаментальных закономерностях процессов, либо соответствующие их аппроксимации в виде некоторого приближения. Очевидно, при проектировании желательно иметь модели, обладающие прогнозирующими свойствами (допускающими экстраполирование основных характеристик процесса). Такие модели достаточно сложны, и при их разработке широко используется модульный принцип (на основе различных способов доказательного программирования). Предметная область (или знания об отдельных процессах) обычно включает несколько важных аспектов, которые могут быть описаны различными способами и с различной точностью. Поэтому и модели отдельных процессов могут содержать набор модулей, соответствующих различным уровням иерархии описания процесса. Ясно, что такой набор модулей должен быть некоторым образом упорядочен. Положительным мо- [c.284]

Во всех рассмотренных моделях принимается режим полного вытеснения но взаимодействующим фазам. Модели между собой различаются способами аппроксимации движущей силы, распределение [c.416]

Следовательно, в методе наименьших квадратов порядок определения коэффициентов эмпирической зависимости задается критерием оценки аппроксимации (11—42). Для определения коэффициентов необходимо для конкретной функции записать выражение вида (11—42) и продифференцировать его по каждой из переменных. Полученная система уравнений решается обычными способами. [c.320]

В химической технологии ширу,".о распространены традиционные методы описания статических характеристик объектов экспериментально-статистическими методами с применением корреляционного и регрессионного анализов, когда функциональный оператор ФХС ищется в виде уравнения регрессии полиномиальной формы. К этой группе методов примыкают всевозможные способы обработки экспериментального материала путем аппроксимации и интерполяции. [c.82]

Метод стохастической аппроксимации. Наряду с рассмотренными методами корреляционного и регрессионного анализа весьма эффективным способом отыскания оценок коэффициентов уравнения регрессии (особенно в условиях дрейфа технологических характеристик объекта) является метод стохастической аппроксимации [5, 24]. [c.97]

Переходя к дискретным величинам, поставим задачу приближенного вычисления функции К ( ) по известным сигналам и I) и у ( ) на конечном промежутке наблюдения О Г. Разобьем отрезок [О, Т] па N частей с шагом А, так что Т=М . Число N выбирается из условий требуемой точности аппроксимации и устойчивости вычислительной процедуры. Один из возможных способов конечно-разностной аппроксимации функций и (1), у ( ) и К ( ) состоит в следующем [c.307]

Наиболее простой способ избежать вычислений производных состоит в аппроксимации частных производных разностными отношениями, т. е. в использовании приближенных формул [c.69]

Преимущества и недостатки метода Ньютона применительно к задаче оптимизации рассмотрены в работе [11, с. 268] остановимся на наиболее существенном недостатке. Метод Ньютона требует определения матрицы Якоби — левых частей системы уравнений (II, 8). В случае расчета стационарных режимов ХТС аналитическое определение матрицы Якоби обычно требует очень трудоемкой подготовительной работы. Конечно, положение изменится, когда будут созданы системы программ моделирования ХТС, использующие математический аппарат сопряженного процесса [1, с. 139], позволяющий вычислять требуемые производные. Однако, поскольку таких программ, полностью автоматизирующих аналитическое определение матрицы Якоби, пока еще нет, метод Ньютона с аналитическим вычислением производных применяется очень редко. В связи с этим ставится задача использования метода Ньютона с некоторой аппроксимацией матрицы Якоби. Наиболее простым способом получения аппроксимации матрицы Якоби является разностный. В этом случае элементы р матрицы J подсчитываются следующим образом [c.31]

Если строится аппроксимация к самой матрице Якоби [см. формулы (II, 103), (II, 104)] очень важно, чтобы матрицы В не становились вырожденными. В этом случае может оказаться целесообразным выбирать i из условия максимальности det Bj+i по абсолютной величине, а способ определения будет очень похож на способ определения вектора v, обеспечивающий максимум абсолютной величины детерминанта матрицы B +i в выражении (И, 69). Поэтому на данном вопросе мы остановимся очень кратко. Вынеся матрицу Bi в правой части равенства (II, 113) за скобку, и воспользовавшись правилом вычисления определителя произведения матриц и формулой (II, 75), придем к задаче (II, 77), в которой [c.45]

Первый подход состоит в том, что схему рассматривают как единое целое и пользуются поисковыми методами оптимизации. Проанализируем в связи с этим перспективы применения поисковых методов для оптимизации больших систем. Ранее вследствие трудностей получения аналитических выражений для производных часто применялись методы поиска нулевого порядка [11, с. 121], не требующие вычисления производных. В настоящее время [1071 общепринятым является использование квазиньютоновских методов первого порядка, причем в случае трудности получения аналитических выражений для производных используются их разностные аппроксимации. Однако, способ вычисления производных с помощью разностей имеет большие недостатки. Действительно, вычисление производных с помощью разностей потребует (г -Ь 1)-го расчета схемы (г — размерность вектора поисковых переменных), т. е. вычислительные затраты на определение производных в этом случае, растут пропорционально размерности задачи, и при больших г могут стать чрезмерными. Следующий недостаток — неточность расчета производных, которая может существенно исказить направления поиска, а следовательно, понизить эффективность метода. И, наконец, еще один недостаток — трудоемкость подбора приращений аргументов Ах1. [c.167]

Формула (У,59) связывает элементы гессианов функций / и 1 = = 1, р). Пусть способом, описанным выше, построены аппроксимации В< ) гессианов функции тогда по аналогии с выражением (V, 59) элементы матрицы В будем подсчитывать с помощью формулы [c.186]

Сравнивая уравиения (27) с точным решением (3), находим значения для неизвестного параметрического коэффициента теплопередачи [Уо(0- Однако для практических расчетов приведенный ниже способ аппроксимации дает довольно хорошее приближение. [c.434]

Р. Каналы с диффузными стенками. Конструктор может захотеть получить оценку роли аксиального излучения, например, в воздухоподогревателе или в регенеративном теплообменнике, использующемся в двигателях, работающих по циклу Брайтона или Стирлинга. Утечка теплового излучения через отверстие или трещину в тепловой изоляции является обычным делом. Ниже для определения плотности теплового потока вдоль канала используется алгебра угловых коэффициентов. Если плотности потоков эффективного излучения боковых стенок канала известны (в случае, когда известно распределение температуры и стенки черные) или для них можно использовать разумные аппроксимации (для канала с адиабатными стенками), получаемые выражения можно непосредственно использовать на практике. Если плотности потоков эффективного излучения стенок неизвестны и для них нет подходящих аппроксимаций, то задачу легко сформулировать излагаемым здесь способом, а затем ее решение можно искать численными методами. В современной практике, однако, принято использовать метод Монте-Карло, описанный в 2.9.4. [c.475]

Интеграл в (28) может быть теперь вычислен по графику, подобному на рис. 3. Простейший способ, предложенный Маркелом, заключается в том, что h —hg берется равным Ils—kg, где черточка обозначает средние значения величин на интервале от входа до выхода. Поскольку кривая hg—hw вогнутая, то нетрудно обнаружить, что значения М, полученные в таком приближении, слишком малы, хотя этот способ и привлекает своей простотой и возможностью применения в аналитических исследованиях. Но широкая доступность в настояш,ее время электронных калькуляторов и компьютеров делает такие аппроксимации ненужными и нежелательными. [c.124]

Представляется весьма перспективным предложенный в работе [52] и, к сожалению, не нашедший пока широкого применения способ аппроксимации КФР уравнением кривой нормального распределения [c.73]

Рис.3.1. Способы аппроксимации градуировочной характеристики ТПР

Для расчета температуры кипения используют также способ интерполирования. Применение его начинают с выбора двух произвольных значений для Т в пределах интервала аппроксимации зависимости К = Т). Обозначив эти два значения через Т,г и способом интерполирования находят следующее [c.26]

Один из возможных способов применения метода Монте-Карло -оптимизация режимов резания при нелинейном критерии оптимизации, например себестоимость механической обработки изделия. Автоматизация технологических процессов, автоматизация управления ими ставит новые задачи. Некоторые из них решают с помощью метода стохастической аппроксимации. [c.115]

Аналогичными способами производится построение аппроксимаций Мк оператора М в граничном условии (4.344), носле чего это условие записывается в виде [c.247]

Другой способ построения линейной комбинации гауссовских орбиталей состоит в том, чтобы находить ее путем аппроксимации слейте-ровской орбитали. При этом нормированные на единицу гауссовские орбитали записывают в виде, аналогичном (4.40) [c.236]

Обобщенные индексы удерживания 01. Сложности расчета и отсутствие единой общепринятой системы индексов удерживания в режиме программирования температуры обусловлены невозможностью характеристики зависимости I ( ) линейной функцией, аналогичной зависимости I = а 1 + Ь, лежащей в основе системы изотермических индексов Ковача. По этой причине для точных расчетов индексов в таких условиях чаще всего используют аппроксимацию нелинейной функции / Ц) полиномами различных степеней. Наибольшее распространение получил способ расчета на основе полиномов третьей степени (так называемый метод кубических парабол). В этом случае для расчета / анализируемого соединения необходимы времена удерживания не двух (как в изотермическом режиме), а четырех реперных н-алканов. [c.171]

Ошибка аппроксимации на классе функций. Понятие ошибки аппроксимации вводят и другим способом. Полагают л = Rh u) — R u), где и — произвольная достаточно гладкая функция из некоторого функционального класса U. Легко видеть, что в этом смысле схема [c.34]

Важной практической проблемой является трансформация глобулярной модели с учетом реального строения пористых тел. Экспериментальные данные исследования морфологии пористых тел, основанные на методе электронной микроскопии, показывают, что вторичные частицы в зависимости от химической природы и способа синтеза катализатора (адсорбента) могут представлять собой глобулы, пластины, иглы и пр. различных размеров. Трансформация глобулярной модели на реальную осуществляется на основе следующих предпосылок а) соотношение плотной фазы и сформированного ею объема пор не зависит от строения первичных и вторичных частиц (суммарный объем пор и вес единичной гранулы катализатора не зависят от типа аппроксимации ее строения) б) суммарная поверхность первичных частиц при данном геометрическом размере зависит только от их числа (находится из экспериментально определенной удельной поверхности и веса единичной гранулы образца) в) число первичных частиц во вторичных зависит от типа их аппроксимации (в силу необходи- [c.146]

Наиболее трудоемким является вычисление производных. Если они рассчитываются численно (а это для сложных схем часто единственный способ), то необходимо многократно пересчитывать схему. Помимо больших затрат времени численное определение производных имеет недостатком низкую точность и вследствие этого ошибки аппроксимации, особенно в окрестности экстремума. Применение же уравнений сопряженного процесса, по-видимому, э ктивно в случае явной функциональной зависимости между выходными и входными переменными. В реальных условиях эта зависимость обычно неявная. Что касается метода спуска для вычисления нового приближения, то здесь имеются достаточно эффективные методы [55, 56]. [c.143]

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Понтрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствуюш ая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др. [c.494]

Таким образом, если методы Ньютона и Гаусса — Ньютона можно применять только для функций (систем), для которых rang Bk = И) то для алгоритма X это ограничение отпадает и данный алгоритм можно рассматривать как расширение алгоритма VHL В работе [96] предлагается способ отыскания псевдообратной матрицы В тех случаях, когда матрица первых производных не может быть задана, приводится метод получения аппроксимации [c.142]

Существуют и другие способы построения функций ga t), связанные с конкретным способом аппроксимации псхолпых ядер П И fi, а также с постановкой специальных экспериментов на ползучесть и релаксацию вязкоупругих образцов, соединенных с упругой пружиной. [c.117]

Определение по параметрической схеме (методы 10,12) предусматривает аппроксимацию данных с последующим построением линий а = onst, определение параметра, вычисление коэффициентов параметрической кривой и на завершающем этапе - определение длительной прочности при заданных долговечности и температуре. Недостатком этого способа является нестабильное поведение аппроксимирующих зависимостей <7 -т на границах заданных временных интервалов, что не позволяет в ряде случаев довести расчет экстраполированных напряжений до конца. [c.224]

Рассмотрим простейшие примеры. Обозначим А и разностную лпнроксимацию производной duldx. Разностная аппроксимация может быть введена несколькими способами [c.270]

Такая модель позволяет с достаточной точностью описывать градуировочные кривые в значительно более широких интерва. лах варьирования как содержания определяемого элемента, так и состава анализируемых проб, чем в способе, основанном на использовании адекватных образцов сравнения. Практическое применение аппроксимации градуировочных кривых выражениями типа (3.14) стало возможным благодаря широкому внед< рению ЭВМ в аналитическую практику. [c.58]

Таким образом, расчет состоит из двух попеременно выполняемых операций расчета матричных элементов Ртп и Зтп, вычисления вектора собственных значений е, и матрицы коэффициентов из (5.3). В зависимости от способа расчета матричных элементов методы расчета подразделяются на неэмпирические и полуэмпирн-ческие. В неэмпирических методах интегралы перекрывания и Рта вычисляются прямым интегрированием соответствующих подынтегральных выражений, построенных из аналитических выражений для АО. Эти выражения имеют, как правило, корректную угловую составляющую и тем или иным способом аппроксимированную радиальную используется слейтеровская аппроксимация, разложение в ряд по гауссианам или экспонентам и другие приемы. [c.193]

Способ расчета, основаннь[й на графической экстраполяции, иллюстрирует рис. 6.4. Более точно определить С. по графику можно, применяя математические методы аппроксимации наблю-дае.мых величин интенсивностей и экстраполяции рассчитанных функций. [c.95]

Существует несколько стандартных способов сжатия базисов, причем наиболее распространенными следует с штать схемы ЗТО-N0 и Л/-НРО. Первая схема — минимальный базис орбиталей, в котором N гауссовских функций использованы для аппроксимации одной слэтеровской. В большинстве случаев ограничивают Ы=Ъ, так как при дальнейшем увеличении точность результатов расчета растет очень медленно. [c.119]

Преимущество такой замены заключается в том, что произведение любых двух гауссовских функций с центрами на атомах а и Ь представляет собой новую гауссовскую функцию с центром в некоторой точке с. В связи с этим вычисление четырехцентрового интеграла по гауссовским функциям (GaGb GeGf) сводится к вычислению двухцентрового (G lGd) интеграла, который вычисляется значительно проще. Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо отражают поведение хартри-фоковских АО. Для аппроксимации АО Хартри — Фока с достаточной точностью необходимо брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских. Например, в так называемом базисе STO—3G каждая слэтеров- ская АО аппроксимируется тремя гауссовыми с коэффициентами разложения, подбираемыми по методу наименьших квадратов. Лучший способ подбора состоит не в приближении к слэтеровским АО, а в поиске функций исходя из минимума полной энергии соответствующего атома. Это позволяет сократить размеры гауссовского набора до приемлемых размеров. [c.107]

Рассмотрим теперь другой способ получения выражения для весовой функции g2 t). Воспользуемся предложенным в разделе 3.3 методом получения аппроксимаций для весовой функции с помошью разложения в ряд передаточной функции. [c.130]

Пользуясь способом неопределенных коэффициентов, получим еще трехточечпую одностороннюю аппроксимацию, имеющую второй порядок точности. Имеем [c.24]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология