Многообразия топологические

Топологическая модель гиперповерхностей потенциальной энергии приводит к некоторым упрощениям практических квантовохимических расчетов. Эта модель образует строгую квантовохимическую основу для топологического определения молекулярной структуры и механизма реакции. Графы пересечения топологических открытых множеств многообразия, заменяющие понятие традиционного пространства ядерных конфигураций, приводят к глобальной квантовохимической модели реакционной системы, причем такая схема может быть использована для планирования синтеза с помощью ЭВМ. [c.91]

Так как в уравнениях (17.17), (17.18) и (17.19), (17.20) некоторые особьГе точки являются общими, термодинамико-топологические структуры концентрационного симплекса и многообразия химического равновесия взаимосвязаны, причем, первая структура накладывает определенное ограничение на вторую. В самом деле, для концентрационного симплекса определенной термодинамико-топо-логической структуры характерным является взаимное расположение изотермоизобарических многообразий, которые размещаются внутри этого симплекса и соответствуют составам, температура кипения которых при постоянном давлении одинакова. Ход изотермо-изобарических многообразий определяется числом, соотношением и взаимным расположением особых точек в концентрационном симплексе. Иными словами, между характером расположения особых точек и характером хода изотермо-изобарических многообразий наблюдается [c.195]

Современная интерпретация основных понятий химии неизбежно ведет к исследованию геометрических и топологических свойств п-мерных многообразий. Например, Межей [1, 2] проанализировал геометрию и топологию карт непрерывно дифференцируемой энер- [c.431]

Для любой дифференцируемой функции, не имеющей вырожденных критических точек на компактном многообразии М, нижние границы для числа различных критических точек задаются неравенствами Морса, которые выражены через топологические инварианты многообразия [151, 152]. Соответствующие топологические инварианты представляют собой характеристики х многообразия М Эйлера — Пуанкаре и числа Бетти, являющиеся нижними границами для чисел критических точек индекса X [c.101]

Из (233) следует, что при увеличении п эффективность разделения комбинированной схемы непрерывно возрастает, превышая эффективность разделения одиночной колонки, начиная с п=Ъ (рис. 107). Таким образом, комбинированная схема с последовательной рециркуляцией значительно превосходит по эффективности разделения одиночную классифицирующую колонку. Следует отметить, что на сегодняшний день проанализировать все многообразие топологически различных схем КРК для достаточно большого п не представляется возможным, так как не решена даже задача перечисления рабочих схем в общем случае. Поэтому представляет интерес определение числа рабочих схем для простейших КРК, когда п=2 и л=3 с тем, чтобы в последующем, сообразуясь [c.282]

И Гз — главные нормальные радиусы кривизны. Позднее, в работах [41] было предложено рассматривать спекаемое тело, как два трехмерных многообразия (пространство пор / п и пространство твердой фазы йт), объединенных общим двумерным многообразием,— поверхностью раздела фаз дЯ класса С. Спекаемое тело представлялось в виде двух сопряженных сетей, топологически эквивалентных пространствам и Дт. [c.133]

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И РЕАКЦИОННАЯ ТОПОЛОГИЯ [c.93]

Модель планарной сети, в которой используются элементы сосредоточенных параметров, связанные правилами Кирхгофа, использована для представления римановой метрики химических многообразий энергии. Входные токи сети соответствуют контравариант-ным компонентам тангенциальных векторов в направлениях координат многообразия в данной точке (например, скоростям реакции), тогда как сопряженные напряжения соответствуют кова-риантным компонентам (например, сродствам). Теорема Телегина и введение линейных сопротивлений, являюишхся постоянными во всем дифференциальном интервале, ведут к типичному риманову элементу расстояния неравенство Шварца превращается в параметр, определяющий оптимальный динамический коэффициент трансформации энергии, а колебания в переходах между двумя состояниями в химическом многообразии могут быть введены с помощью дополнительных элементов — конденсаторов и индуктивностей. Топологические и метрические характеристики сети приводят к уравнениям Лагранжа, геодезическим уравнениям, а условия устойчивости эквивалентны обобщенному принципу Ле-Шателье. Показано, что конструирование сети эквивалентно вложению п-мерного (неортогонального) многообразия в (ортогональную) систему координат больщей размерности с размерностью с1 = п п + + 1)/2. В качестве примера приведена биологическая задача, связанная с совместным транспортом и реакцией. [c.431]

Для интерпретации и анализа квантовохимических гиперповерхностей потенциальной энергии использованы общая и алгебраическая топология, теория дифференцируемых многообразий, теория графов и сетей. На основании топологических определений квантовомеханических понятий химической структуры, молекул, переходных состояний и реакционных механизмов было предложено применять топологическую модель для квантовомеханического планирования [c.110]

Для общей сети [т. е. данной матрицы NU и данной функции и(Х)] существует очень гладкое однозначное отображение 3 между левым и комбинированными правыми ортантами. С математической точки зрения такое отображение является диффеоморфизмом, и этот факт обусловливает топологические свойства многообразия М. [c.385]

Аналогичные соображения с использованием геометрических и топологических -мерных моделей возникают в связи как с кинетическим, термодинамическим, так и с молекулярным анализом скоростей реакций в сложных системах [3—5] . В методе, введенном ранее [6, 7], применяются модели планарных систем с сосредоточенными параметрами для представления (химических) или иных метрических многообразий. Помимо обеспечения планарного представления процессов более высокой размерности этот метод позволяет использовать имеющийся математический аппарат, разработанный инженерами-электриками, при рассмотрении больших систем, что является дополнительным преимуществом. [c.432]

Теперь дадим примеры молекулярных н кристаллических структур, в основе которых лежат системы 2-, 3- и 4-связанных точек. Хотя логически циклические и цепочечные системы (для которых р = 2) должны предшествовать полиэдрическим (р З), мы сначала обратимся к последним, переходя при этом от конечных к бесконечным группировкам атомов. Такой подход не согласуется с химической классификацией молекул и кристаллов, он также не дает возможности рассмотреть детали структуры и является скорее топологическим, чем геометрическим. Но он наглядно показывает, как небольшое число очень простых расположений используется в огромном многообразии структур элементов и соединений. Приведем основные разновидности этого многообразия [c.118]

Получено дальнейшее развитие общих теоретических основ рециркуляционных и совмещенных реакционно-ректификационных процессов на базе термодинамико-топологического анализа (ТТА) структур диаграмм фазового равновесия. Разработан качественный метод анализа рециркуляционных систем, позволяющий определять эволюцию стационарных состояний указанных систем в зависимости от конструктивных и технологических параметров процесса, а также проводить проверку принципиальной работоспособности рециркуляционных систем с использованием линеаризованных математических моделей, получаемых путем кусочно-линейной аппроксимации разделяющих многообразий на диаграммах фазового и химического равновесий. [c.14]

Рассмотренная интерпретация диаграмм равновесия жидкость— пар позволяет использовать для анализа нелокальных закономерностей сочетание термодинамической теории процессов открытого испарения и топологической теории многомерных векторных полей в той ее части, которая касается индексов особых точек векторного поля и свойств векторных полей, ограниченных многообразиями без контакта. [c.65]

В области гетерогенных равновесий диаграммы систем жидкость-пар и жидкость - твердое тело характеризуются наличием особых точек различной компонентности, что налагает определенные ограничения на процессы ректификации и кристаллизации. Синтез сложных технологических схем, как однородных, так и неоднородных, позволяет выявить оптимальные схемы. Все перечисленные объекты исследования нелинейны, зачастую имеют прямые и обратные связи, и их моделирование впрямую исключает возможность обобщения полученных результатов. Привлечение различных топологических приемов и методов, основанных на топологических инвариантах, позволяет создать общую качественную теорию в области колебательных химических реакций, где в параметрическом пространстве наряду со стационарными точками наблюдают, устойчивые, неустойчивые, а также устойчиво-неустойчивые предельные циклы. В области гетерогенных равновесий появляется возможность создать общую теорию распределения стационарных точек и сепаратрических многообразий, ограничивающих развитие процессов ректификации и кристаллизации и разработать алгоритмы синтеза оптимальных схем разделения. [c.57]

Аналогично определяется индекс многообразия M с а именно индексом многообразия M называется степень отображения его границы на сферу направлений. Понятие о степени отображения введено в топологической теории непрерывных отображений [38, 39, 45] и здесь нет необходимости в его разъяснении, поскольку далее потребуется не общее определение индекса, а лишь его свойства. [c.66]

Для многообразий без контакта Хопфом [42] доказана теорема, показывающая, что индекс ограниченной ими области определяется только ее топологическими свойствами. Теорему Хопфа можно сформулировать следующим образом [38] индекс многообразия М ограниченного положительным многообразием без контакта, равен Е — эйлеровой характеристике если же M ограничено отрицательным многообразием без контакта, то индекс многообразия M равен (— ) . [c.66]

Окружим один из устойчивых узлов в 53 положительным многообразием без контакта М , гомеоморфным двумерной сфере. В качестве М , как отмечалось выще, можно, например, использовать одну из изотермо-изобарических поверхностей, окружающих устойчивый узел. Замкнутая поверхность разобьет 5 на трехмерную область с выделенным узлом и на трехмерную область содержащую остальные особые точки. Границей каждой области будет гомеоморфная сфере поверхность М , а области Р и будут фигурами, топологически эквивалентными трехмерному шару. Последнее можно наглядно пояснить в случае меньшей размерности. Если на сфере — двумерном замкнутом многообразии — провести параллель, окружающую точку полюса — узла меридианов, то указанная параллель, играющая здесь роль М , разобьет сферу на две части, каждая из которых топологически эквивалентна двумерному шару — кругу. [c.70]

Изменение топологической структуры диаграммы связано с изменением структуры рассматриваемого каркаса и определяется совмещением или расщеплением точек пересечения многообразий /Сг = 1. Последнее и определяет появление или исчезновение азеотропных точек на диаграмме в полном соответствии с теорией бифуркаций, а именно путем слияния в одну по крайней мере двух азеотропных точек или путем распада одной азеотропной точки по меньшей мере на две. [c.102]

Как показано ранее (см. главу VI), диаграмма фазового равновесия смесей, содержащих азеотропы, характеризуется наличием областей ректификации. Варианты взаимного расположения этих областей в совокупности с граничными разделяющими многообразиями характеризуют топологическую структуру диаграммы, определяя ряд ограничений на составы конечных фракций разделения в каждой из колонн технологической схемы. Структура диаграммы как геометрический образ физико-химической природы разделяемой смеси является объективным показателем, позволяющим выявить указанные ограничения [99]. [c.214]

Появление ряда книг, посвященных геометрическому описанию дефектов и сплошной среды в целом ([1—4]), позволило адекватным образом отразить достижения в объяснении многих эффектов ползучести и прочности. Вместе с тем в последние годы важную роль стала играть теория дислокаций в полимерах и аморфных телах. Следует также ожидать резкого увеличения интереса к этой области в связи с задачами теоретического изучения сплошной среды с заранее заданными свойствами. Вероятно, именно в этих приложениях современный геометрический подход будет наиболее плодотворен, поскольку наличие дефектов, имеющих характер топологических объектов (линий, поверхностей и т. п.), превращает односвязное многообразие, соответствующее сплошной среде без дефектов, в многосвязное. [c.6]

Эти многообразия инвариантны не только относительно потока Хн (в силу первого условия в определении 1), но и Хр (в силу второго условия). Таким образом, Хр ,. .., Хр порождают касательное пространство Так как эти векторные поля коммутируют, каждая компонента топологически представляет собой цилиндр или, в компактном случае, тор. В последнем случае В расслаивается на п-мерные торы. [c.66]

Таким образом, применение характеристики Эйлера совместно с теорией графов позволяет выявить все многообразие топологических инвариантов расположения изокритериальных многообразий в концентрационном симплексе. [c.156]

Рассматриваются также следствия термодниамико-топологического анализа, которые можно использовать для составления рекомендаций о путях достижения принципиальных возможностей совмещенных процессов. В общем случае используется качественный ход линий открытых фазовых процессов и располо-жеипе концентрационных многообразий, отвечающих состоянию химического равновесия. [c.186]

Рассмотрены теоретические основы топологического и графового анализа изокритериальных (изоэнергетических) многообразий в симплексе исходных составов питания при ректификации. [c.59]

Термодинамико-топологический анализ структур фазовых диаграмм четырехкомпонентных систем А-Х-Б-ДМФА (система I) и А-Т-Т-ДМФА (система II) показал, что концентрационный симплекс системы I разбивается сепаратрическим многообразием на две области ректификации в концентрационном симплексе системы II нет ограничений на выход составов продуктовых потоков на границы тетраэдра. [c.127]

Оптическая картина текстур в каплях при различных условиях также отличается от классических ЖК. Поэтому были проведены исследования структуры капель с помощь поляризационной микроскопии и с учетом особенностей оптических свойств мезофаз ВМКН. Результатом этнх исследований является утверждение, что все многообразие наблюдаемых оптических картин — следствие возникновения дисклинацин на поверхности сферических капель. Причем, при низких температурах (400 — 550°) чаще наблюдается две дисклинацин — полюса сферы, но при высоких температурах типично образование сфер с четырьмя и более количеством дисклинаций. Реализация таких дисклинаций — следствие решения уравнения состояния директора на сфере, т. е. решение уравнения Лапласа в сферических функциях, но их устойчивость имеет топологическую природу. [c.99]

Определены топологические инварианты распределения изокритериальных многообразий при ректификации трех и четырехкомпонентных смесей. [c.58]

Выбор, следовательно, состоит в том, чтобы либо принять прагматический подход 3(а), ведущий к потере топологической целостности исходной физической системы (это было идеей работы [5]), либо (такая попытка была предпринята в настоящей статье) искать представление, сохраняющее эту целостность, выбрав вариант 3(6). Существенной особенностью такого представления является то, что е " (= 1, когда А = О, по модулю 4) должно быть тождественным преобразованием. Это гарантирует, что тождественность мёбиусовских структур при двойном цикле (см. рис. 6) сохранится. Соответственно двойное риманово многообразие 2 ляется простым и естественным выбором пространства представления, в котором топологическая целостность мёбиусовских графов и молекул не нарушается. Это служит нашим обоснованием предпочтения настоящего подхода по сравнению с обычным [5] для графического представления мёбиусовских молекул. [c.319]

В главах 1 и 2 дана теория гиббсовских состояний без предположения об их трансляционной инвариантности (в этом случае вместо решетки рассматривается бесконечное счетное множество Ь). В главе 3 предполагается ипвариаптпость отпосительпо сдвига и развивается теория топологического давления и равновесных состояний для классических решетчатых систем. Кроме того, получены общие результаты по фазовым переходам. Глава 4 является центральной, в ней устанавливается связь между гиббсовскими и равновесными состояниями. Глава 5 посвящена одномерным системам и, таким образом, предваряет главу 7. В главе 6 теория равновесных состояний распространяется на случай, когда конфигурационное пространство О. заменяется произвольным метрическим компактным пространством, на котором группа ТУ действует гомеоморфизмами. Глава 7 обобщает теорию гиббсовских состояний (и все соответствующие понятия) на конкретный класс компактных метрических пространств, называемых пространствами Смейла, на которых группа й действует гомеоморфизмами. Пространства Смейла включают в себя базисные множества с аксиомой А и, в частности, многообразия с диффеоморфизмами Аносова. [c.28]

Пусть / — диффеоморфизм компактного многообразия и /,< — соответствующий линейный оператор на гомологиях (с вещественными коэффициентами). Верно ли, что логарифм спектрального радиуса оператора / не больше топологической энтропии преобразования / По поводу этой хорошо известной гипотезы см., например, Мэннинг [2]. [Для диффеоморфизмов класса С" гипотеза Шуба была доказана Йомдином [1].] [c.271]

В модификации со структурой типа асбеста [13] имеются тетраэдрические группы 5О4, образующие бесконечные цепочечные молекулы (рис. 16.6,6), где расстояние от серы до кислорода в цепи составляет 1,61 А, а до необобщецпого кислорода — ,41. 4. Для объяснения необычных физических свойств твердого и жидкого триоксида серы постулировано, что помимо этих хорощо охарактеризованных модификаций с известными структурами существуют и другие полиморфные формы этого соединения. Свойства жидкого 50з еще не до конца понятны, н система по своей сложности, очевидно, сопоставима с многообразием форм строения самой элементной серы, по отнощению к которой 50з топологически подобен [c.458]

Остановимся теперь на нескольких замечаниях о замкнутых и-мерных многообразиях [43, 44]. Топологическое пространство называется замкнутым м-мерным многообразием, если оно гомео-морфно связному полиэдру и все его точки обладают окрестностями,-гомеоморфными м-мерному шару. [c.67]

Так как, предполагается, что матрица Аь невырождена, то очевидно условия реализации особых точек системы (11.28) и (11.29) одинаковы особые точки реализуются при условии —Х=0, что соответствует азеотропам и чистым компонентам. Учитывая линейное подобие систем, которое предусматривает их топологическое подобие, можно сделать вывод о том, что система (11.28) реализует только обобщенные узлы и обобщенные седла. Однако матр ицы Av - и могут быть вырождены. Анализ показывает, что в этом случае реализуется один из типов особого многообразия, например линии, целиком состоящие из особых точек. Наличием таких многообразий система обратимой ректификации существенно отличается от систем равновесной дистилляции и конденсации. [c.47]

В результате обработки полученных данных установлено огромное число топологических типов взаимных систем из 16 солей и отвечающих им термодинамических типов что говорит о большом многообразии химического взаимодействия в семерных взаимных системах. Выведенны ЭВМ типы являются основой дальнейшего теоретического и экспериментального изучения отдельных реальных представителей взаимных систем из 16 солей. Наиболее доступными для этого являются рациональные методы, основанные на теоретическом выведении сингулярных и неравновесных звезд и экспериментальном исследовании отдельных их элементов (базисных и конверсионных). Именно такой путь делает доступным прогнозированное изучение химического взаимодействия во взаимных системах из 16, 20 и более солей что подтверждается изучением ряда семерных взаимных систем из 16 солей — реальных представителей отдельных выведенных типов типа 16С — Ма, К, ВЬ I, Вг, С1, Г [3, 68] Ь1, Ма, К, Т1 II Вг, С1, Е [29] Ы, Ма, К, Т1 Е, С1, Вг, 804 [14] Ы, Ма, К, Т1 II Е,Вг, 1, МОз [7] типа 2А2В12С - П, Ма, К, ВЬ Ц Вг, С1, 804, Е [140] типа ЗЛ3510С - Ы, Ма, К, ВЬ Вг, С1, МОз, Е [141] типа 7А2В7С Ag, Са, 8г, Ва II 1, Вг, С1, Е [140]. Эти исследования приводятся также в работах [138, 139]. [c.154]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология