Замыкающие соотношения

Рассмотрим совместное изотермическое течение нескольких фаз в однородной недеформируемой пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Математическое описание такой системы опирается на представления, введенные в 2, и строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений. [c.255]

Для описания гидродинамики двухфазных сред в настоящее время существует два основных подхода статистический [6, 7] и континуальный [8—11]. Несмотря на существенные различия, общей для обоих методов является проблема замыкающих соотношений и, в частности, определение механического взаимодействия фаз — сплошной и дисперсной. [c.13]

Основные трудности, которые возникают в практической реализации уравнений (1.22) и (1.23), заключаются в нахождении замыкающих соотношений для вторых и четвертых слагаемых. В одном случае неразрешима пока задача турбулентного переноса частиц дисперсной фазы, в другом — задачи дальнего (когда гидродинамическая обстановка одной частицы влияет на движение другой и когда они вместе влияют на внутреннее трение в сплошной среде) и ближнего взаимодействия (передача количества движения через удар в ансамбле частиц). [c.14]

Перейдем теперь от замыкающих соотношений к схемным (сетевым) законам Кирхгофа, которые должны вьшолняться дня любого потокораспределения. Во-первых, в каждом узле / должен соблюдаться материальный баланс, отвечающий принципу сплошности потока, т.е. [c.48]

Будем рассматривать общий случай и от схемы, имеющей т узлов, п ветвей и с контуров (для дерева п = т — 1, с = 0), перейдем к циклической схеме (см. пример на рис. 4.6) с т + I узлами, п + т ветвями и с + ш — 1 контурами. Предположим, что / +1=0. Замыкающее соотношение для любой новой ветви может быть записано, например, в следующей линейной форме [c.58]

В данном разделе рассматриваются в матричной форме две основные системы уравнений (или, как говорят,математические модели), которым должны удовлетворять искомые гидравлические параметры, описывающие распределение расходов и давлений по всем элементам цепи с сосредоточенными параметрами для некоторого установившегося течения [24 2, 24 7, 248, 132. В каждой из них фигурируют уравнения законов Кирхгофа и замыкающие соотношения, которые по отдельности уже приводились 62 [c.62]

Представляется целесообразным и интересным изложить основные положения и формы экстремального подхода, а также сравнить его в методическом и вычислительном отношениях с алгебраическим описанием потокораспределения в виде замкнутой системы уравнений Кирхгофа. При этом возникают такие вопросы, как условия эквивалентности данных подходов, системные требования к виду замыкающих соотношений, взаимосвязь прямой и двойственной экстремальных задач, практическая эффективность тех или иных численных методов и др. Многие из приводимых ниже результатов уже известны. Однако речь идет о систематическом и компактном изложении данного круга вопросов на базе алгебры и методов ТГЦ с целью более строгого описания, анализа и дифференциации различных подходов и методов. [c.92]

Вначале рассмотрим пассивную, но неоднородную цепь с различными одночленными замыкающими соотношениями (7.15), считая, что показатель степени /3,- свой для каждой ветви, и вместо целевой функции (7.3) обратимся к несколько более сложной конструкции [c.95]

Перейдем теперь к общему случаю неоднородной цепи, содержащей источники давления Я, на ветвях и с произвольными замыкающими соотношениями у + Н = f(x), для которой выпишем еще раз систему уравнений второго закона Кирхгофа [c.96]

Действительно, каждое уравнение А,- = у + Н1 = (Х() достаточно правильно (в принципе с любой степенью точности) может описать установившееся течение на основной части соответствующего линейного участка системы, но ведь оно берется как замыкающее соотношение для всей ветви в целом, от одного ее концевого узла до другого, т.е. от точки до точки , в то время как фактически в местах соединения, например, двух или нескольких трубопроводов среднего и большого диаметра происходят свои , довольно непростые процессы смещения и разделения потоков. И чем сложнее и крупнее трубопроводная или другая гидравлическая система, тем ее схемное описание становится, видимо, все более абстрактным. [c.101]

Конечно, в вычислительном отношении подобные моменты представляются в настоящее время не очень актуальными, поскольку и тот и другой принцип приводит к совпадающим численным решениям. Однако эта равносильность критериев имеет место опять же лишь с точностью до замыкающих соотношений, которые в обоих случаях в настоящее время просто берутся в виде общего списка для ветвей расчетной схемы. [c.101]

Математически это приводит или к замкнутой системе уравнений, или к задачам на условный экстремум. При определенных требованиях к виду замыкающих соотношений, соответствующих опять-таки физическим особенностям течения однофазной жидкости, все эти постановки оказываются эквивалентными. [c.103]

Как и для любых методов последовательных приближений, большую, часто решающую роль в их сходимости играет выбор начального приближения, что требует задания приближенных значений всех искомых векторов X, Р VI Т. Данную задачу можно упростить предварительным заданием лишь одного из векторов х или Р с тем, чтобы остальные гидравлические параметры определять (с помощью ЭВМ), исходя из замыкающих соотношений и части сетевых уравнений. В результате будет обеспечено более строгое (физическое) соответствие этих векторов друг другу. [c.114]

Далее фиксируется это частичное решение и тем самым выделяется подсистема (10.11)-(10.12), которая сводится к линейной системе уравнений с помощью линеаризации (см. р зд. 10.4) замыкающих соотношений (10.3) это позволяет заменить Г (1) соответствующим линейным выражением через (0). [c.143]

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЗАМЫКАЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ [c.143]

Параметры каждой ветви должны удовлетворять замыкающему соотношению (14,1), где d е Д На переменные Ру налагаются ограничения в виде неравенств, которые могут иметь различную природу от необходимости учета рельефа местности до технических ограничений на прочность используемых труб [c.195]

Аналогичным образом расщепляется вектор действующих напоров Я(х) = Д-(л ,)г е/1 О,/е/г = (Я (д-), 0 ), где г = [/, /+1] - ветвь г с концевыми узлами /,/ + 1 1= 1 — подмножества ветвей соответственно с заданными аналитически (в частности, фиксированными) величинами действующего напора (г е/,), а также пассивных ветвей (/е/г), для которых Я/ =0. В результате замыкающие соотношения [c.236]

Использование различных граничных условий и замыкающих соотношений в виде компрессионной характеристики или уравнения равновесия зернистой среды, а также условий на границах, отделяющих двухфазную среду, содержащую взвешенные частицы, от среды, где дисперсная фаза представляет собой капиллярно-порис-тое тело, покажем на примерах. [c.197]

В исследованиях, проведенных в главах 3, 4, немаловажную роль играет условие неотрицательности решений уравнений для плотностей распределений вероятностей, которое обычно специально не анализируется. Необходимо подчеркнуть, что рассматриваемое условие с математической точки зрения далеко не тривиально. Оно существенно сужает класс возможных замыканий уравнения для шютности вероятностей (при известной структуре точного незамкнутого уравнения), накладывая определенные ограничения на функциональный вид замыкающих соотношений. К сожалению, сейчас нет общей теории, которая позволяла бы указать вид этих ограничений. [c.69]

Таким образом, при создании чисто статистической теории возникают значительные трудности независимо от того, рассматривается ли распределение вероятностей или же его первые моменты. Они обусловлены тем, что качественный характер всех замыкающих соотношений определяется типом химической кинетики, т.е. теория носит существенно неуниверсальный характер ). [c.258]

ДЛЯ этих неизвестных величин через е, Vf и т. е. решить задачу замыкания уравнений гидромеханики. Различие между системами уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя [7, 1967, № 4 19, с. 13 20 21, 1965, т. 21 22—24], предложенными разными авторами, как раз и заключается в выборе разных замыкающих соотношений. Замыкающие. соотношения для уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя будут рассмотрены в разделе 3 данной главы. [c.16]

ЗАМЫКАЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОМЕХАНИКИ ПСЕВДООЖИЖЕННОГО СЛОЯ [c.30]

Существует также другой путь получения замыкающих соотношений, основанный на использовании более глубокой, статистической теории псевдоожиженного слоя, которая будет рассматриваться в следующей главе. В настоящем разделе излагаются примеры построения замыкающих соотношений без привлечения статистической теории. [c.31]

При сопоставлении-замыкающих соотношений, предлагаемых различными авторами, следует иметь в виду, что есть некоторая неопределенность в разделении сил взаимодействия на поверхностные и объемные. При необходимости можно часть поверхностных сил, связанных с тензорами а и а, аддитивно входящих в а/ и а, и удовлетворяющих условию вида [c.31]

При формулировке замыкающих соотношений для общих уравнений гидромеханики многофазной среды обычно предполагают, что тензоры напряжений в каждой из фаз определяются тензорами скоростей деформации в соответствующей фазе. Исключение составляют работы Хинце [I] и Буевича [22]. В работе Хинце тензор напряжений в несущей фазе связан с тензором ско- [c.31]

Таким образом, система уравнений (1.4-1)—(1.4-4) вместе с замыкающими соотношениями (1.4-5), (14-17) представляет собой замкнутую систему уравнений гидромеханики псевдоожи- [c.35]

В данной главе на основе представлений и методов механики сплошной среды получены уравнения гидромеханики псевдоожиженного слоя и рассмотрены возможные виды замыкающих соотношений к этим уравнениям. Как уже указывалось, возможности такого подхода к описанию псевдоожиженного слоя ограничены в том смысле, что, основываясь только на представлениях механики, сплошной среды, нельзя найти достаточно глубокое физическое обоснование для вида тех или иных используемых замыкающих соотношений. Это обстоятельство приводит к значительному произволу в выборе вида замыкающих соотношений, который наблюдается в научных работах, посвященных этому вопросу. Значительно более глубокие с физической точки зрения результаты при решении задачи построения замкнутой системы уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя могут быть получены в рамках статистической теории псевдоожиженного слоя, которая будет рассмотрена в следующей главе. [c.38]

Распределение расходов и напоров в г.ц. с сосредоточенными постоянными при установившемся движении несжимаемой жидкости описьтается, во-первых, линейными соотношениями, аналогичными законам Кирхгофа для электрической цепи, и, во-вторых, нелинейными уравнениями связи между расходами и потерями давления на ветвях, которые будем называть замыкающими соотношениями. [c.45]

Рассмотренных соотношений и сетевых условий достаточно для построения двух эквивалентных систем уравнений, описьшающих потокораспределение в произвольной Г.Ц. с сосредоточенными параметрами. В первом случае обьединение и замыкающих соотношений (4.1), т — 1 линейно-независимых уравнений вида (4.9) и с уравнений (4.11) приведет к общей системе из п + т-1+с = 2п уравнений относительно 2п неизвестных д ,-и У/, если будут заданы все х,- и Я,-. Вторую систему можно получить, если использовать и соотношений (4.1) и от - 1 уравнений из (4.9) с гг уравнениями (4.2), тогда получим систему из 2и + те - 1 уравнений относительно X/, У1 и т - I значений Р,-. [c.49]

В еще большей степени усложняются замыкающие соотношения при учете таких сложных элементов, как КС, а также при укрупнении расчетных схем за счет агрегирования отдельных частей и подсистем ТПС. С математической точки зрения получаемые при этом системы уравнений являются сложными системами из линейных и нелинейных уравнений, включающих неявные и трансцендентные уравления. [c.112]

Таким образом, общая система относительно х, р(0), p(L), f (0), (L) будет состоять из 5п уравнений т - 1 уравнений в (10.8), с - в (10.9), п-в (10.10), m - в (10.11), (с - 1) в (10.10) и 2п замыкающих соотношений (10.2) и (10.3). Будем предполагать, что все функции в этих уравнениях вместе со своими частными производными первого и второго порядков являются непрерывными на некоторых выпуклых областях допустимых значений своих аргументов и что, кроме того, вьшолнены и другие условия, необходимые для сходимости метода Ньютона [57]. [c.142]

Значения х,-, например, в процессе строительства и эксплуатации ТПС претерпевают значительные изменения (из-за коррозии труб, накипеобра-зования, появления новых местных сопротивлений, завалов, засоров и пр.), существенно отклоняются от проектных данных и фактически являются неизвестными величинами. - Следствие этого - неправильное их задание в замыкающих соотношениях для ветвей, что вместе с неточным знанием нагрузок йу приводит к большим, часто недопустимым погрешностям в рассчитываемом потокораспределении. [c.147]

Суть данного подхода заключается в использовании не только замыкающих соотношений, но и сетевых законов Кирхгофа, так что для каждой расчетной схемы ТПС существует некоторое пороговое число режимов, которому соответствует переход от недоопределенной к переопределенной системе узловых уравнений. В самом исходном виде эта идея на уровне моделирования ТПС цепью с сосредоточенными параметрами реализуется следующим образом. [c.149]

С каждой новой замеренной на участке величиной yj связан неизвестный расход х . и система (11.1), таким образом, все время остается недоопределенной для любого из режимов. Однако замыкающие соотношения позволяют по известным, у (г = 1,..., и м= 1,..., и- 1) [c.149]

Еще раз отметим, что в данной общей задаче содержатся многие подзадачи, имеющие самостоятельное значение. Так, если на избыточной проектной схеме МКС решать задачи, связанные с нахождением лишь наивыгоднейшего потокораспределения (т.е. ограничить систему условий уравнениями (16.6) — (16.8) первого закона Кирхгофа, замыкающими соотношениями (16.10), описывающими законы течения среды, а также условием (16.11) энергетического баланса), то придем к задачам схемноч труктур-ной оптимизации РС и МКС (см. гл 13). [c.227]

Замыкающие соотношения, предложенные в остальных из перечисленных выше работ, за исключением замыкания из статьи Фроста [1973], следуя статье Янички, Кольбе и Кольмана [1979], можно записать в следующем общем виде ) [c.65]

Главный недостаток замыканий вида (2.34) в том, что они не опираются на экспериментальные данные. Основная цель, которая преследуется при построении перечисленных замыкающих соотношений, состоит в том, чтобы найти такие уравнения, которые допуска/ш бы возможность численного интегрирования с помощью стандартных методов (имеющиеся на таком пути возможности продемонстрированы в работах Поупа [1981а], [c.65]

В данной главе рассматривается уравнение для плотности вероятностей концентрации динамически пассивной примеси. Как ив 1.3, ддя обозначения этой концентрации используется буква г. Здесь подробно обсуждаются гипотезы, используемые для замыкания этого уравнения. Анализируются решения замкнутого уравнения в случае статистически однородного поля концентрации и в свободных турбулентных течениях. В главе преследуются три основные цели. Первая является чисто практической и заключается в том, чтобы дать простой приближенный метод определения распределения вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в струях. Эта задача решается по возможности без сложных математических выкладок. Вторая цель - исследовать математические свойства уравнения для плотности вероятностей концентрации, сформулировать краевую задачу и показать, что из условия разрешимости этой краевой задачи вытекают дополнительные связи между заранее не известными функциями, входящими в замыкающие соотношения. Этот результат имеет принципиальное значение, так как из него следует, что развиваемый подход позволяет сократить количество произвольных функций по сравнению с обычными полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Не исключено, что новые пути построения замкнутой теории турбулентности будут связаны с совершенствованием этого подхода. Третья цель -изучить структуру изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках. Такое исследование позволяет, во-первых, предложить дополнительный способ получения граничных условий для плотности вероятностей концентрации и выявить их физический смысл и, во-вторых, проследить взаимосвязь между перемежаемостью и структурой изоскалярных поверхностей. [c.70]

Данный параграф посвящен более строгому (чем это было сделано в 3.5) математическому исследованию уравнения для плотности вероятностей концентрации в свободных турбулентных течениях. При анализе используется уточненная аппроксимация условно осредненной скорости (и>2 в области больших амплитуд пульсаций концентрации (3.18). Обсуждаются такие общие качественные свойства уравнения, как особые точки, существование автомодельного решения, постановка краевой задачи. Отмечаются имеющиеся аналогии со случаем статистически однородного поля концентрации, рассмотренного в 3.4. Важную роль в проведенном анализе играют существенно нелокальные свойства уравнения. Показано, что условие разрешимости краевой задачи позволяет найти две неизвестные функции, входящие в замыкающие соотношения. В данном, а также в следующем параграфе (в нем приведено численное решение сформулированной краевой задачи) преследуются две главные цели. Первая — дать обоснование приближенного метода исследования уравнения, описанного в 3.5. Вторая цель - показать на примере уравнения для плотности вероятностей концентрации, что с развитием направления, предложенного в книге, могут быть связаны вполне определенные перспективы построения замкнутой теории турбулентности. По крайней мере в настоящее время удается уменьшить количество произвольных функций по сравнению с полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Заметим, что проведенное исследование сопряжено с большим количеством достаточно громоздких выкладок, а также с использованием ряда неформальных качественных соображений. Материал этого параграфа рассчитан в nepByiQ очередь на такого читателя, которого заинтересует весьма нестандартная математическая структура уравнений для плотностей вероятностей, полученных с помощью теории локально однородной и изотропной турбулентности Колмогорова -Обухова, и те возможности, которые предоставляют такие уравнения (или уравнения с похожими свойствами) в решении проблемы замьжания в теории турбулентности. Остальные читатели могут этот параграф пропустить и сразу перейти к 3.7, в котором приведено численное решение автомодельной задачи и в краткой форме перечислены основные результаты исследования уравнения. [c.104]

Перейдем к рассмотрению вопроса о замыкающих соотношениях для уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя. Наиболее естественным путем решения этой проблемы было бы использование некоторых известных методов замыкания, разработанных в гидромеханике многофазных сред. Например, при замыкании уравнений механики концентрированных суспензий часто используется полуэмиирическая ячеечная модель взаимодействия частиц (5, 14—17]. При таком подходе возмущение, вносимое в поток каждой частицей, предполагается локализованным в пределах объема жидкости, непосредственно окружающего частицу (в пределах ячейки). Обычно рассматривают сферические ячейки. Дополнительная неопределенность в данной модели связана с выбором зависимости радиуса ячейки от объемной концентрации частиц и граничных условий на поверхности ячейки. Помимо ячеечной модели, в последнее время получил развитие подход, основанный на использовании представлений теории самосогласованного поля [18]. Однако для замыкания уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя (т. е. построения- выражений для неизвестных членов, входящих в данные уравнения) подобные подходы до настоящегб времени почти не использовались. Это связано с необходимостью учета в уравнениях гидромеханики псевдоожиженного слоя хаотического движения фаз, а также с тем, что диапазон чисел Рейнольдса (рассчитанных по диаметру твердой частицы) для псевдоожиженного слоя весьма широк. Например, для относительно крупных частиц число Рейнольдса может меняться от единицы до нескольких сотен, что затрудняет аналитическое исследование взаимодействия несущей фазы и твердых частиц. Учет хаотического движения твер- дых частиц и построение выражений для неизвестных членов в уравнециях гидромеханики возможен в рамках статистической теории псевдоожиженного слоя, которая будет излагаться в [c.11]

Отметим, что общий вид уравнений гидромеханики многофазной среды отражает лищь.выполнение законов сохранения, в то время как специфические особенности этой среды должны найти отражение в конкретном виде замыкающих соотношений, которые иногда также называют конститутивными. [c.31]

Сопоставим это выражение с первым из соотношений (1.4-5) для (Тз, полученным в гл 1 при формулировке замыкающих соотношений для уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя. В выражении (2.4-18) известен явный вид давления р и коэффициентов вязкости. и Цз как функций макропараметров я и 9. [c.66]

Соотношения (2.4-18), (2.4-33), (2.4-38), в которых коэффициенты переноса .ls, и, Оц определяются при помощи выражений (2.4-11), (2.4-15), (2.4-17), (2.4-27), (2.4-32),. (2.4-39), представляют собой искомые замыкающие соотношения для уравнений гидромеханики, описывающих движение твердой фазы псевдоожиженного слоя, а также для. уравнения, описывающего изменение функции распределения твердых частиц по координатам и величинам адсорбции. Уравнения гидромеханики для твердой фазы псевдоожиженного слоя (2.2-21)—(2.2-23) необходимо pя f мaтpивaть совместно с уравнениями гидромеханики для газовой фазы псевдоожиженного слоя, которые включают уравнение неразрывности и уравнение движения. Пренебрегая вязкими напряжениями в газовой фазе и членами в уравнении движения, пропорциональными плотности газа, уравнения гидромеханики для газовой фазы псевдоожиженного слоя можно записать в виде [c.70]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология