Адиабатическая инвариантность

ЧТО площадь фазового пространства, определенная выражением (1.50), уже не постоянная величина. Однако если Н заметно не меняется в течение периода, то можно показать, что (1.50) приблизительно удовлетворяется по истечении многих колебаний,, в продолжение которых само Н может значительно измениться. Утверждение об адиабатической инвариантности траектории в фазовом пространстве частицы с медленно изменяющимся гамильтонианом подробно обсуждается в гл. 2. [c.29]

Иногда адиабатическая инвариантность нарушается или кажется нарушенной. [c.223]

Рис. 5.3. Зависимость величины <ц/ц1>—1, характеризующей отклонение от адиабатической инвариантности, от относительной скорости изменения магнитного поля е/Юс. Кривые а и б —соответственно асимптотические решения для медленных и быстрых изменений. Пунктирная линия получена с помощью численного интегрирования точного уравнения движения.

Приближенное определение движения частиц в ловушке с маг- итными пробками. Мы уже видели в 1.1 и 1.2, что применение интегралов действия может сильно облегчить решение данной динамической задачи. Эти соображения использованы при описании адиабатической инвариантности в гл. 2, а также в 5.1, 5.2 и 5.3. В 5.2 показано, что движение частицы в поле диполя может быть сведено к квадратурам, если использовать биполярные координаты и соответствующие переменные действия, хотя эти интегралы могут -быть вычислены только приближенными методами. Этот же метод использован для получения приближенного решения уравнения движения частиц в симметричной ловушке с магнитными-пробками. Однако здесь не существует такой системы координат, в которой движение естественным образом разделяется на вращательное движение и движение ведущего центра. Но поскольку силовые линии в большинстве ловушек такого типа представляют собой приблизительно прямые линии, может быть использована теория возмущения для получения приближенного решения. В вычислении используется метод усреднения (см. 1.4). Переменные действия аналогичны адиабатическим интегралам (см. 5.1), однако выбор криволинейной системы координат позволяет непосредственно вычислить члены,первого порядка, как в 5.2. Здесь мы следуем работе [35], в которой были приведены вычисления для аксиально-симметричной ловушки с магнитными пробками, включая и вычисление равновесной плотности распределения [36]. Однако следует указать, что для асимметричных полей нельзя найти систему координат, в которой бы переменные разделялись. К этому случаю наиболее подходит общая адиабатическая теория. [c.247]

Для асимметричных удерживающих полей первой нарушается адиабатическая инвариантность продольного инварианта 3. [c.259]

Вычисление средней энергии квантованного осциллатора. Квантовые формулы для спектральной плотности равновесного излучения и для энергии твердого тела. Понятие адиабатического инварианта. Адиабатическая инвариантность отношения средней кинетической энергии к частоте (на примерах). [c.110]

Вопрос о переходе от слабого к сильному полю будет подробно рассмотрен в следующем параграфе, сейчас отметим только, что в силу закона адиабатической инвариантности выполняется соотношение М—М1- -уЦ (сильное поле) = Му (слабое поле). Это соотношение позволяет сопоставить магнитные подуровни в сильных и слабых полях. [c.355]

Как мы отмечали, при переходе от слабого к сильному полю каждый уровень сохраняет в силу закона адиабатической инвариантности присущее ему значение М. Благодаря этому может оказаться, что в сильном поле один уровень представляет собой несколько слившихся уровней, характеризуемых различными значениями М. Так, из рис. 195 видно, что при эффекте Пашена — Бака на термах Р /, в средний уровень в сильном поле одно- [c.365]

В книге пять глав. В гл. 1 излагаются основные понятия и основы теории, которая используется при решении конкретных проблем или дает возможность по-новому взглянуть на рассматриваемую проблему. В гл. 2 рассматривается адиабатическая инвариантность. Гл. 3 посвящена двум темам. Первая тема касается преобразований фазового пространства с учетом коллективных эффектов. Вторая тема, тесно связанная с первой, рассматривает системы транспортировки пучков, при изучении которых широко используются методы фазового пространства. В гл. 4 и 5 рассматриваются соответственно приложения методов фазового пространства к теории ускорителей и захвату, удержанию и нагреву заряженных частиц. Автор попытался подробно рассмотреть все эти три темы, однако вопросы, подробно изложенные в других работах или требующие громоздкого изложения, рассмотрены поверхностно или вообще опущены. Например, матричные расчеты широко используемых систем транспортировки пучков и ускоряющих систем значительно упрощены, а точные вычисления адиабатических инвариантов более высокого порядка даны только для одного специфического случая. Полностью опущены приложения к синхротронам с жесткой ( юку-сировкой, однако связанный с этим вопрос о накоплении пучков в ускорителях, являющийся важным примером использования методов фазового пространства, рассмотрен. Специалисты могут не согласиться с тем, что некоторым вопросам уделено особое внимание. Это можно в значительной степени оправдать интересом автора именно к этим вопросам. Автор старался, чтобы каждая глава была законченной в отношении содержания, что позволит их читать независимо друг от друга. В силу этого обстоятельства некоторые важные формулы и понятия повторяются. [c.6]

Адиабатическая инвариантность интеграла действия. В представленном здесь доказательстве, как и в других доказательствах адиабатической инвариантности, временная зависимость гамиль-, тониана разбивается на две части, одна из которых либо постоянная, либо периодическая с периодом 2я/ш, а другая медленно,изменяется со временем t, так что непериодическое изменение гамильтониана мало на протяжении фазового колебания точки системы. Кроме того, предположим, что частота периодической части гамильтониана несоизмерима с частотой фазового колебания, так что в случае отсутствия. медленных вариаций, если положение частицы в фазовом пространстве выбрано с интервалами = 2л, гамильтониан в фазовом пространстве будет описывать замкнутую кривую. Доказательство этой теоремы, аналогичное доказательству [27], приведено ниже. [c.57]

Приведенное здесь доказательство адиабатической инвариантности интеграла действия построено так, чтобы подчеркнуть связь между адиабатической инвариантностью и теоремой Лиувилля. Однако существуют другие доказательства, которые непосредственно демонстрируют адиабатическую инвариантность интеграла действия. Метод фазового интеграла, или метод ВКБ, рассмотренный в 1.4, дает такое доказательство, применимое для линейных систем, гамильтониан которых постоянен и не содержит медленно меняющегося параметра. Общее доказательство для нелинейных систем впервые дано Бюргерсом (4 ] и перенесено на системы с периодическим гамильтонианом Саймоном [27] и Стэрроком [26]. В своем доказательстве Саймон предполагает, что в отсутствие медленно меняющихся параметров данный адиабатический инвариант является в действительности точной константой. Для линейных систем, используя теорию линейных дифференциальных уравнений, с периодическими коэффициентами, можно непосредственно показать, что интеграл действия будет такой константой (см. 1.4). Для нелинейных систем с периодическим Я использование теоремы Лиувилля дает наиболее простое доказательство постоянства интеграла действия. Доказательство, данное Бюргерсом, а также Стэрроком, несколько отличается от доказательства, приведенного здесь, но в основном эквивалентно ему. Подробное изложение доказательства [c.59]

Во введении к этому параграфу указано, что для медленно меняющихся параметров различие межцу предсказанным адиабатической инвариантностью и действительным изменением J незначительное, однако понятие медленно меняющийся должно быть определено более тщательно. Например, легко показать, что если начальные и О постоянны для и если Р иО представимы в виде степен- [c.67]

Исследование последовательности сечений средней плоскости показывает, что имеется ряд значений г (или а), указывающих различные фазы вращения. Все же можно ожидать, что при усреднении fi будет оставаться приближенно постоянным. Физически это означает, что вследствие кривизны линии мгновенный магнитный момент должен быть различным на обеих сторонах линий, однако в предположении, что все фазы колебания выбраны равными, средний магнитный момент при а = 1 должен быть равен fi = Величина Уд уже проинтегрирована по периоду вращения и поэтому является средней. Другой путь исследования проблемы состоит в привлечении нашего доказательства адиабатической инвариантности, основанного на теореме Лиувилля. Если считать две степени свободы независимыми, то фазовая площ,адь, ограниченная замкнутыми фазовыми траекториями, определяется интегралом p da, где считается, что а пробегает все фазы при фиксированном времени. Ограниченная фазовая площадь сохраняется. В случае медленного изменения параметров мы ожидаем, что точки, лежащие на замкнутой орбите, остаются на ней и, следовательно, замкнутые траектории преобразуются опять в замкнутые в каждом сечении Ь = onst (например, в экваториальной плоскости). Эти замкнутые в фазовом пространстве траектории описывают поверхность сечения Пуанкаре, которые довольно полно исследованы топологическими методами [4, 161. Замкнутые орбиты, описывающие поверхности сечения, могут быть найдены аналитически для экваториальной плоскости в предположении, что гамильтониан Я и Pq z = 0) постоянны. Подставляя (5.64) и (5.65) в (5.63) при 2 = 0 (Л, = 0), получаем - [c.236]

Другой способ усреднения по Wg состоит в том, чтобы выбрать фиксированное Wg и исследовать фазовую плоскость при последо- / вательных сечениях Wg = onst. Этот метод полезен для численного/ определения существования инвариантов и был использован в 2.4/ 5.3 и 5.4. Здесь же мы, предположив адиабатическую инвариантность, покажем, что можно построить диаграмму Pi — щ на поверхности -сечения, которая даст почти те же величины, что и после усреднения. Начнем с формулы (5.Д.З), подставляя соответствующие константы для <Я>мг и резонансные значения Wg [sin 2шд = (—1)" для невозмущенной системы]. После этих подстановок (5.Д.З) примет вид [c.290]

Конфигурация р /гс , в силу принципа Паули, примененного для подгруппы р , эквивалентна рассмотренной выше конфигурации из двух электронов рс1. Как видно, здесь снова получилось 12 различных состояний с теми же значениями квантового числа. /, которые получались при [ , 5]-и [у, у]-связях. Полученное совпадение числа результирующих состояний при всех типах связи не является случайным оно является результатом общего положения, вытекающего из так называемого принципа адиабатической инвариантности, установленного Эренфестом, в силу которого квантовое число У сохраняет свое значение при любых изменениях типа связей. Таким образом, результирующее состояние электронной оболочки атома или иона, соответствующее данной конфигурации электронов, характеризуется одним и тем же набором квантовых чисел У независимо от типа связи между моментами электронов. Число термов, соответствующих данной электронной конфигурации, не зависит от того, какого рода связи осуществляются между моментами электронов. Меняются только расположение термов и ряд их свойств, проявляющихся при воздействии внешних полей. Поэтому в тех случаях, когда надо знать лишь число термов, соответствующих какой-либо электронной конфигурации, всегда можно исходить из предположения, что имеет место [ , 5]-связь, и пользоваться обычной символикой для обозначения термов. Надо только помнить, что в тех случаях, когда [ , 5]-связь нарушена, квантовые числа А и 5 теряют свой смысл. [c.214]

Чтобы установить распределение электронов в нейтральном атоме лития, следует предположить, что третий электрон подносится бесконечно медленно из бесконечности к положительному иону лития, находящемуся в нормальном состоянии. Тогда, в силу принципа адиабатической инвариантности Эренфеста, состояния обоих внутренних электронов сохраняют их квантовые числа, хотя и могут испытать значительные возмущения. Таким образом, в нейтральном атоме лития два наиболее внутренних электрона также составляют замкнутую оболочку. Эта замкнутая оболочка из двух одноквантовых электронов сохраняется и во всех прочих элементах, что непосредственно подтверждается структурой рентгеновых спектров. Третий электрон в нейтральном атоме лития не может по принципу Паули иметь главное квантовое число П(-=1. Нормально он находится в состоянии 2s в случае возбуждения атома он может переходить в более высокие состояния 2р, 3s, Зр,. .. и т. д. Сходство спектров ионов ВеП, ВIII, IV,. .. указывает, что электроны расположены в них совершенно аналогично расположению в нейтральном атоме лития. [c.230]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология