Некоторые решения уравнений движения

Полное описание движения вязкой жидкости в его наиболее общей форме возможно путем решения уравнений Навье—Стокса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье—Стокса не могут быть решены в общем виде. Получены решения этой сложной системы уравнений только для некоторых частных случаев. Так, для установившегося ламинарного движения жидкости решение уравнений Навье— Стокса позволяет вывести уравнение Пуазейля, полученное выше другим способом. [c.54]

В поле взаимодействия сил, действующих на частицу , попавшую на сито, она по истечении некоторого (достаточно большого) промежутка времени начинает совершать не зависящее от начальных условий движение вдоль снта с постоянной средней скоростью. Решения уравнений движения частицы имеют вид [c.64]

Второе слагаемое в правой части (6.45), как легко проверить, есть функция разности п — п, удовлетворяющая уравнению (1.58). Таким образом, различные функции Грина отличаются только слагаемыми, которые являются некоторыми решениями уравнения движения (1.58). Ясно, что добавление решения соответствующего однородного уравнения к функции Грина приводит только к иному [c.129]

НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ [c.107]

Мы отказываемся от однозначного определения переменных ряд для данного момента времени путем решения уравнений движения как вследствие сложности задачи (требуется решить систему очень большого числа уравнений), так и в силу того, что начальные условия задачи неизвестны. Постановка задачи, диктуемая опытом, состоит в том, чтобы определить свойства системы, для которой задано небольшое число макроскопических параметров (в термодинамике достаточно задать к- -2 переменных, чтобы определить состояние равновесной -компонентной системы и ее массу). При этом точное поведение частиц не представляет интереса, но требуется найти некоторые усредненные характеристики системы. [c.83]

Предполагается, что начальные состояния систем ансамбля различны. Однако эти состояния не фиксируются, они не известны наблюдателю, и, следовательно, невозможно однозначно определить (путем решения уравнений движения) переменные ряд системы в некоторый момент времени t. Для систем, находящихся в контакте с окружением (обменивающихся с окружением энергией, частицами), к неопределенности в начальных условиях добавляется неопределенность в описании внешних воздействий (от детального описания их на основе законов механики приходится отказаться). Влиянием неучтенных факторов обусловлено то, что параметры, определяющие микросостояние систем ансамбля, являются случайными величинами. Утверждение же о том, что микросостояниям системы можно приписать определенные вероятности (функцию распределения), принимается как постулат. [c.46]

Невозможность аналитического решения уравнений движения и конвективного теплообмена заставляет прибегать к подобному преобразованию системы этих уравнений и представить их в виде некоторой функции от критериев подобия. Эти критерии подобия и будут характеризовать все факторы, влияющие на процесс конвективного теплообмена. [c.303]

Практически во всех ИОС с осесимметричными магнитными полями траекторией однозарядной частицы (иона) с массой Mq и i = О является окружность радиуса tq. При решении уравнений движения в полях с осевой симметрией естественно пользоваться цилиндрической системой координат. Плоскость (г, (р) системы координат совпадает с медианной плоскостью, а ось Z совпадает с осью симметрии магнитного поля и направлена по вектору напряжённости магнитного поля. Если г — радиальная координата некоторой точки пространства, то при теоретических исследованиях ИОС в параксиальном приближении ( o i <С 1) вводится безразмерная координата Г) = г — го)/го, для которой г/ -С 1. При выполнении исследований с помощью ЭВМ вводится безразмерная координата г] = г/го, использование которой более удобно при вычислениях в широком диапазоне углов ai. В направлении Z вводится безразмерная координата = z/rQ. При исследовании ИОС с вынесенными из магнитного поля фокусами вводятся кроме того безразмерные параметры Ai = Li/tq и Л2 = Ь2/го, где Li и L2 — расстояния от первого фокуса (источник ионов) и второго фокуса (приёмник ионов) до края магнитного поля, соответственно. Эти величины называют входным и выходным плечами ионно-оптической схемы. [c.301]

Решение уравнений движения Навье —Стокса получено только для некоторых простейших случаев одномерного или двумерного потока, например, для течения вязкой жидкости по прямой трубе (задача Пуазейля), для течения между двумя плоскими параллельными стенками, одна из которых неподвижна (задача Куэтта), а также прп обтекании неподвижной тонкой пластинки (в этом случае уравнение Навье—Стокса оказывается возможным заменить более простыми уравнениями пограничного слоя). [c.56]

Вместе с тем решение уравнений движения частиц для макроскопических систем, долгое время казавшееся чисто символическим, в настоящее время стало привлекать большое внимание. Развитие машинной математики сейчас позволяет численно интегрировать уравнения механики для такого числа частиц, что их можно рассматривать как малую часть макроскопической системы, которая конструируется путем периодического повторения специально построенного блока молекул. Определяемые для этой модели средние значения, конечно, не являются точными аналогами измеряемых на опыте величин, однако наблюдаемая сходимость результатов в некоторых простых случаях оказалась достаточной для того, чтобы метод численного решения уравнений механики стал полезным приемом при изучении свойств макроскопических систем, исходя из представлений об их молекулярной структуре. . [c.51]

Наиболее распространенным является решение уравнения движения при некоторых упрощающих допущениях. В большинстве случаев жидкость считается идеальной и вязкостью ее пренебрегают, не учитывается также изменение площади соприкосновения единицы рассматриваемого объема жидкости с диском и т. д. Очевидно, что это приводит к погрешностям при количественном анализе процесса движения жидкости то диску. Поэтому до сих пор не теряет своего значения эмпирический подход. Однако область уверенного применения полученных при этом зависимостей обычно ограничена диапазоном параметров, принятых в исследованиях. [c.75]

Записав граничные условия исходя из постулата о радиальном и симметричном потоке, авторы получили численные решения уравнений количества движения и неразрывности для принятых рд, < е, Qs и "т/, рассчитав распределение давлений, порозности, скоростей газа и твердых частиц на подходе к отверстию. Как для двух-, так и для трехмерного потока, как показывает анализ, следует ожидать быстрого падения порозности и крутого градиента давления в области О < г/г,, < 1. Однако, опыты с песком (100 мкм) и стеклянными сферами (500 мкм) в двухмерных слоях высотой 2,5 м, шириной 61 см, и толщиной 1,27 см обнаружили значительно меньшие изменения параметров, чем это следует из теоретических расчетов. По измеренным давлениям при истечении из горизонтальных щелей высотой 1 см и 2,5 см получены профили, очень сходные с найденными ранее для меньших отверстий (рис. ХУ-5, г) и согласующиеся с допущением о постоянной порозности. Измерения емкостным датчиком показали, что вблизи отверстия порозность слоя, действительно практически постоянна. Авторы объяснили эти расхождения возможной неадекватностью постулата о радиальном и симметричном потоке. Было выявлено существование застойных зон (в некоторой степени они сходны с показанным на рис. ХУ-5, в) и сделано предположение о возможном влиянии сил взаимодействия между частицами на режимы движения. [c.580]

Классификацию МО осуществляют различными способами, но главные — классификации по энергии и по симметрии МО. Выше мы видели, что получаемые в результате решения уравнения Шредингера энергии молекулярных орбиталей отличаются от энергий АО. На некоторых из МО нахождение электрона будет энергетически более выгодным, чем его движение, описываемое исходной АО (см. схему 4.1). [c.110]

Выше мы предположили, что все г собственных частот со,- различны. Если некоторые собственные частоты совпадают, то общий вид решений уравнений движения не меняется. Однако при этом коэффициенты Ац,, соответствующие кратным частотам, уже не являются минорами определителя (эти миноры в случае кратных частот обращаются в нуль). Частоте кратности 5 (или, как говорят, 5-кратно вырожденной) соответствует 5 нормальных координат. Выбор этих нормальных координат не вполне однозначен, так как нормальные координаты, отвечающие одной и той же частоте можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной суммы квадратов и Q/ в кинетической и потенциальной энергии. [c.168]

В предшествующих главах было дано введение в основы гидродинамики. Оно должно служить базой для решения многочисленных технических задач. Интегральные уравнения сохранения позволяют решать разнообразные задачи определения входного и выходного параметров процесса. Для некоторых простых случаев найдены решения уравнений движения, а для более сложных задач разработан метод анализа размерностей в сочетании с экспериментом. [c.175]

При решении некоторых задач теории механических колебаний для анализа движения используют методы аналитической механики — уравнение Лагранжа второго рода. Если движение системы описывают обобщенными координатами ( 1,2,. .., и) и обобщенными скоростями уравнения движения с учетом упругости звеньев имеют внд [c.44]

Обе книги могут быть полезными для преподавания предметов Математика и Физика , так как выделяют те разделы этих предметов, которые важны для химиков. Так, кроме дифференциального и интегрального исчисления химику, активно использующему физические методы в своей работе, необходимы разделы линейной алгебры, теории групп и интегральных преобразований. Для решения обратных задач методов особое значение имеют вычислительные методы. С точки зрения преподавания физики важно уделить внимание вращательному движению, магнитным явлениям и, конечно, квантовой механике, ее приближенным методам решения уравнения Шредингера, особенно методу теории возмущений. Некоторые задачи физического практикума также могут ориентироваться на дальнейшее использование в практике физических методов исследования в химии. [c.264]

Опишем метод решения уравнений математической модели вакуум-циркуляционного кристаллизатора. Прежде чем перейти к алгоритму решения уравнений математической модели, оценим некоторые соотношения. Рассмотрим уравнения движения в системе [c.180]

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой собственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5) при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. [c.596]

Квантованный характер движения электрона проявляется в появлении некоторых целочисленных параметров в выражениях для волновых функций — решениях уравнения Шредингера, назы- [c.53]

Классическая физика основывается на двух понятиях — частица и волна. Частицы характеризовались координатой и траекторией. Эта траектория движения частицы в каком-либо поле с учетом взаимодействия между частицами может быть вычислена на основе решения уравнений классической механики, например уравнений Ньютона. Колебания (волны) в отличие от частиц не сосредоточены, а распределены в некотором объеме, где происходят периодические изменения во времени какой-либо характеристики. В звуковых колебаниях в жидкостях и газах меняется плотность, в электромагнитных — электрическое и магнитное напряжение. Критериями принадлежности данного явления к понятиям частицы или волны служили исследования процессов интерференции и дифракции. Их наличие считалось доказательством волнового характера процесса. [c.298]

Другие аспекты. Для течений, скорость и температура которых известны в каждой точке жидкости, местная скорость объ-емного прироста энтропии Sn может быть рассчитана с помощью соотношения (17.7.3) или (17.7.4). Такая процедура возможна, если имеются точные или конечно-разностные решения уравнений движения, как, например, в случае ламинарных течений. С другой стороны (в частности, для случая турбулентного переноса), поля скоростей и температур могут быть неизвестны. Однако для некоторых течений такого рода, играющих важную роль в приложениях, существует ряд данных по теплопередаче и вязкому трению на поверхностях раздела жидкость — твердое тело. С помощью этой информации, используя метод интегрального баланса для области, где происходит перенос, оказывается возможным рассчитать соответствующую скорость прироста энтропии. [c.494]

Некоторые решения уравнений пограничного слоя будут рассмотрены позднее. Теперь же вернемся к интегралыному уравнению количества движения и с его помощью вычислим толщину пограничного слоя. Это действие дает только приближенные результаты однако оно имеет то огромное преимущество, особенно для задач технических, что само вычисление значительно короче и этот метод может приме- [c.176]

Уравнение энергии пограничного слоя внешне выглядит совершенно так же, как и уравнение количества движения пограничного слоя. Однако имеется два существенных отличия. В уравнении энергии (7-5) величины и и у должны рассматриваться как известные параметры, определяемые из решений уравнений движения. Соответственно уравнение энергии пограничного слоя есть линейное уравиение относительно температуры, что с математической точки зрения значительно упрощает задачу получения решений этого уравнения, поскольку здесь применим принцип суперпозиции. Это означает, что как только некоторое число решений этого уравнения становится известно, новые решения легко получить добавлением или вычитаннем любого из известных решений. Другое отличие между двумя уравнениями связано с тем фактом, что член, соответствующий градиенту давления, не содержится в уравнении энергии. Исходя из этого, можно предположить и это будет подтверждено позже, что влияние на теплообмен изменений давления вдоль поверхности меньше, чем на такие параметры потока, как лобовое сопротивление. [c.218]

Основная расчетная формула (22) применима для рассмотрения жидких образцов, когда отношение ZJZp) не превышает 0,02. Однако может быть получено точное решение уравнения движения [5], ограниченное только требованием меньшей величины механического импеданса исследуемого образца по сравнению с импедансом колеблющейся пластинки. Но в действительности при применении рассматриваемого экспериментального метода оказывается невозможным исследовать некоторые твердые материалы, для которых не удается обеспечить достаточно надежного крепления к поверхности пластинки, хотя описанный метод позволяет измерять механические свойства практически любых мягких каучукоподобных материалов. [c.211]

Действительно, метод Чаплыгина-Лайтхилла основан на идее непрерывного преобразования решения задачи обтекания профиля несжимаемой жидкостью в некоторое решение уравнений идеального газа, соответствующее обтеканию деформированного профиля. Если даже исходный профиль был оптимальным в потоке несжимаемой жидкости, то эта оптимальность нарушится при его перестроении, так что неизвестно, что лучше перестраивать профиль, либо оставить его неизменным для движения в сжимаемом газе — ведь как следует из теоремы существования [14 Г (см. 1), аэродинамические характеристики непрерывно зависят от М о. Пожалуй, единственное существенное преимущество метода Лайтхилла состоит в возможности профилирования крыла для полета в сверхкритическом режиме, но с непрерывным течением в местной сверхзвуковой зоне (без скачков уплотнения). [c.141]

Скорость потока — функция координат, которая определяется из решения уравнения движения. В методе Кришера полагают, что — постоянная величина, равная средней скорости потока в пограничном слое (w = uij. В действительных процессах постоянная скорость бывает только при обтекании жидкости без трения, т. е. при очень малом коэффициенте внутреннего трения. Для вязкой жидкости такое допущение (ш . = Шд, = onst) — некоторый прием решения задачи теплообмена в пограничном слое. [c.114]

Рассмотрим некоторую систему, состоящую из многих частиц. С течением времени система движется по некоторой траектории в фазовом пространстве, причем, учитывая большое число независимых переменных, форма траектории может считаться случайной. Тогда можно говорить о вероятности й1 д, р) нахождения системы в области йдбр. Как оказалось, расчет этой вероятности для бесконечного интервала времени (на практике много большего характерного времени межчастичных взаимодействий) не требует решения уравнения движения системы многих тел. Среднее значение некоторой функции при таком подходе можно выразить как [c.288]

Адиабатические инварианты движения. Представление о некоторых свдйствах движения плазмы в электрическом и магнитном полях можно получить, рассмотрев движение отдельных частиц. Решение уравнений движения облегчается существованием интегралов движения. Если частоты осцилляций по каждой степени свободы сильно различаются, то для систем с несколькими степенями свободы существуют адиабатические интегралы движения даже в том случае, когда точные интегралы движения не существуют. В гл. 2 мы видели, что интегралы движения можно разложить в асимптотический ряд и, если отношение двух частот осцилляций (обозначим его е) приближается к нулю, существуют величины, которые приближаются к интегралам движения быстрее любой степени е. Мы показали, что интеграл действия, связанный отдельной степенью свободы, является таким адиабатическим интегралом. [c.212]

Общие выражения для и Nu. Приведенные в 3.3 и ко зависимости для и Ыи при ламинарном и турбулент-юм движении жидкости относятся к тому случаю, ког- а свойства жидкости — ее плотность, теплоемкость, вязкость, теплопроводность — не зависят от состояния кидкости, т. е. являются постоянными величинами. При временных свойствах жидкости указанные зависимости финимают иной вид. Они могли бы быть найдены из точных решений уравнений движения и переноса тепла, )днако вследствие того, что эти уравнения теперь не раз-хеляются, отыскание точных решений составляет крайне ложную в математическом отношении задачу. Поэтому делесообразно рассмотреть некоторые приближенные пособы нахождения зависимостей для и Ни при переменных р, Ср, 7], Л, тем более, что использованные ранее приемы для определения I и Ни, основывающиеся на введении условной толщины пограничного слоя — толщины релаксации — могут оказаться полезными и в этом более сложном случае. [c.135]

Состояние знаний относительно теплоотдачи при турбулентном течении по необходимости ограничено стененью наших знаний относительно изотермического турбулентного течения. Мы видели в гл. 13, что использование уравнений Навье — Стокса при исследовании изотермического турбулентного течения затрудняется из-за пульсаций составляющих скорости. По той же причине оказывается сложным использовать дифференциальное уравнение энергии при исследовании неизотермического турбулентного потока. В большинстве турбулентных потоков тепло передается главным образом за счет движения многочисленных макроскопических элементов жидкости (вихрей) между областями с различной температурой. Мы не можем предсказать поведение этих вихрей, но если бы и могли, то выражения, описывающие это поведение, оказались бы, вероятно, такими сложными, что одновременное решение уравнений движения и энергии было бы невозможным. Тем не менее решения этих задач должны быть найдены. В этой главе мы рассмотрим некоторые теоретические результаты, используемые в технике, а в следующей главе — некоторые расчетные соотношения. Их смысл и пределы их применимости поможет установить излагаемая теория. [c.325]

Мюррей предложил анализ движения пузырей, который можно рассматривать как использование некоторых особенностей метода Джексона в теории Дэвидсона при сохранении сходной формы решения. Показано,что нри смягчении условия о строгом постоянстве давления на сферической поверхности пузыря может быть найдено решение уравнений Дэвидсона (111,50)—(111,52) также удовлетворяющее уравнениям (111,45)—(111,48) в аппроксимации типа Оссина . [c.109]

Первый путь состоит в том, что при выводе уравнений движения многофазной многокомпонентной среды типа (1.66) наряду с пространственными координатами х , х , з и временем Ь вводится еще одна независимая переменная — характерный размер включений или объем частицы V. Все зависимые переменные модели становятся функциями пяти аргументов х , х , х , I, V, а система уравнений движения дисперсной смеси типа (1.66) дополняется еще одним уравнением баланса относительно многомерной плотности распределения частиц по названным координатам р (х , а , I, у). Несмотря на некоторое усложнение математической модели, такой подход иногда (например, когда включения представляют твердые частицы) приводит к эффективному решению задачи. Примером может служить описание процессов массовой кристаллизации с учетом многофазности среды, фазовых превращений, кинетики роста кристаллов и зародышеобразова-нйя, распределения частиц по размерам и эффектов механического взаимодействия между ними [4]. [c.136]

Некоторые сведения о строении атомов. Атомная система, состоящая из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженной оболочки, устойчива лишь в состоянии движения. Движение электронов в электростатическом поле ядра и оболочки описывается в квантовой механике функцией или так называемой волновой функцией. Последняя в случае устойчивого атома зависит только ot пространственных координат, например х, у, г, и может быть найдена в вИде так называемой собственной функции путем рещения некоторого дифференциального уравнения в частных производных (независимого от времени уравнения Шредингера). Обычно существует большое число таких решений, н каладой собственной функции соответствует определенное собственное значение энергии Однако бывает и так, чto одному собственному значению соответствует несколько различных собственных функций. Этот случай называется вырождением. Собственное значение энергии и соответствующая собственная функция каждого электрона определяют его состояние (орбиту) в атоме. Наглядная интерпретация собственных функций, по Борну, заключается в следующем квадрат значения х, у, г), умноженный на элемент объема = йхйуйг в точке х, у, г, т. е. представляет собой критерий ве- [c.47]

Мы попытались кратко рассмотреть взаимосвязь некоторых определяющих уравнений, которые ылироко применяются для описания свойств расплавов и растворов полимеров. Ни одно из них количественно не описывает всех особенностей реологического поведения этих сред. Одни из них лучше, чем другие, зато их применение для решения задач вместе с уравнением движения более затруднительно. В табл. 6.1 кратко суммированы возможности предсказания реологических эффектов с помощью упомянутых уравнений, а также некоторых других. [c.145]

Адиабатическое приближение широко применяют в квантовой теории атомно-молекулярных систем. Рассмотрим сейчас простейший случай. Пусть равновесная конфигурация молекулы соответствует значению Лэксп ядерных переменных. Рассмотрим в окрестности Лэксп решение уравнения (2.10), соответствующее основному состоянию электронной подсистемы. Пусть это состояние ti(rlR) не вырождено, и его адиабатический потенциал K i(R) в рассматриваемой области значений R отделен достаточно большой энергетической щелью от адиабатических потенциалов возбужденных состояний электронной подсистемы. В этом случае адаабатический потенциал K i(R) имеет минимум в некоторой точке Rq вблизи RsK n, которая определяет теоретическую равновесную конфигурацию молекулы. В этом случае считают, что (r R) описывает электронное состояние молекулы, тогда как функция Ф(Н), получающаяся при решении уравнения (2.11), - колебания молекулы, а также вращение и поступательное движение молекулы как целого. [c.49]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Кс1Ждому направлению вектора заданной длины (в рассматриваемом случае — орбитального момента количества движения) соответствует определенное значение его проекции на ось г. Из решения уравнения Шредингера следует, что эти направления могут быть только такими, при которых все проекции вектора Ь на ось г равны некоторой величине, умноженной на целые числа (положительные или отрицательные) или нулю. Эти значения и есть значения магнитного квантового числа ш . На рис. 2.19 представлен случай, когда I = 2. Здесь тог = 2, если направления оси г и вектора Ь совпадают т[ = —2, когда эти направления противоположны то = О, когда вектор Ь перпендикулярен оси г. Таким образом, магнитное квантовое число может принимать 21 Л- значений. [c.57]