Преобразование уравнений к безразмерному виду

Для преобразования уравнений (IV. 174) к безразмерному виду введем следующие обозначения [c.133]

Создание математической модели химического реактора заканчивается составлением уравнений материального и теплового балансов. Однако мы совершили бы промах, приступив к исследованию этих уравнений до их преобразования к безразмерному виду. Это преобразование в значительной степени облегчает исследование и помогает составить общее представление о характерных чертах изучаемой системы. Такие вопросы, как, например, влияние параметров системы на ее поведение, взаимоотношения различных моделей одного и того же реактора, связь между моделями различных реакторов и пр., могут приобрести окончательную ясность только после преобразования к безразмерным переменным. [c.21]

Решение этой задачи осуществляется двумя путями 1) при помощи преобразования дифференциальных уравнений к безразмерному виду 2) при помощи анализа размерностей. [c.34]

После приведения уравнения (11.3) к безразмерному виду и применения преобразования Лапласа для нулевых начальных условий получим [c.422]

Если в уравнении (5.109) пренебречь низшими членами ряда, то получаем линейное уравнение, которое после преобразования принимает безразмерный вид [c.164]

После приведения уравнений (12.42) —(12.44) к безразмерному виду производим преобразование Лапласа относительно переменной / (при условии, что расход во времени не изменяется). Объединив уравнения, получаем [c.442]

Выводу инвариантной зависимости должны предшествовать выбор параметрических величин, приведение системы уравнений (1.4) к безразмерному виду. В настоящем разделе из-за громоздкости преобразований эти выкладки опущены. Способы обработки уравнений при использовании методов теории подобия достаточно подробно рассмотрены в работах [I, 47, 48]. Более того, в главе I этому вопросу уделено достаточное внимание. [c.112]

Составление уравнений материального баланса и сохранения энергии является важнейшей стадией при создании математической модели химического реактора. При исследовании и решении этих уравнений целесообразно преобразовать их к безразмерному виду. Это преобразование в значительной степени облегчает исследование и помогает составить общее представление [c.58]

Приведя уравнение (9.77) к безразмерному виду и выполнив преобразование Лапласа относительно 1 при нулевых началь- [c.344]

Приведя уравнения (12.44), (12.64) и (12.65) к безразмерному виду и выполнив преобразование Лапласа относительно переменной 1, получим [c.445]

Для того чтобы привести это уравнение к безразмерному виду, проведем следующие преобразования. [c.74]

Для небольших отклонений расхода жидкости И от величин, соответствующих установившемуся состоянию, после линеаризации, преобразования по Лапласу и приведения к безразмерному виду уравнений (12.42)—(12.44) для Фп (5) = О получаем уравнения [c.447]

Затем линеаризуем уравнения и, выполнив преобразование Лапласа, приводим к безразмерному виду. Объединяя их с уравнениями (15.7) и (15.8) и соответственно (15.9), из уравнений (15.3) и (15.4) находим соотношения [c.522]

Линеаризация уравнений (15.19) и (15.20), преобразование по Лапласу и переход к безразмерному виду приводят к соотношениям [c.528]

Путем ряда математических преобразований уравнение (VI-10) приводится к безразмерному виду [c.173]

К ним должны быть еще добавлены уравнения движения среды и краевые условия, которые идентичны уравнениям (208)—(214). При условии подобия эту систему уравнений с помощью масштабных преобразований можно привести к безразмерному виду [c.137]

После преобразования к безразмерным переменным уравнения теплопроводности и диффузии в неподвижной среде (I, 50а) и (I, 51а) примут вид [c.48]

Преобразование дифференциальных уравнений к безразмерному виду. Осуществление подобного преобразования дифференциальных уравнений к безразмерному виду можно показать на примере уравнения движения вязкой жидкости. Для этого запишем уравнение одномерного установившегося движения относительно оси г [c.34]

В первом методе преобразования к безразмерным величинам уравнение (VI,26) принимает вид [c.294]

Уравнение (III. 4) путем простых преобразований можно привести к безразмерному виду [c.79]

Уравнения Навье — Стокса можно привести к безразмерному виду с помогцью методов теории подобия. Поскольку система дифференциальных уравнений (3-22) — (3-24) представляет собой математическую модель движения вязкой сжимаемой жидкости, то их подобное преобразование означает подобие моделей явления. В результате подобного преобразования дифференциальные уравнения заменяются критериальными уравнениями, так как входящие в них инварианты физического подобия являются критериями подобия (см. стр. 23 и 35). [c.81]

Моделировать такие процессы легко потому, что они описываются простыми дифференциальными уравнениями. Пусть интегрировать эти уравнения трудно или даже невозможно, как это имеет место в случае нелинейных уравнений гидродинамики. Ценность теории подобия в том и заключается, что она позволяет нам получить ряд существенных выводов простым преобразованием дифференциальных уравнений к безразмерному виду, не решая их. [c.363]

Создание математической модели химического реактора заканчивается составлением уравнений материального баланса и сохранения энергии. Однако, приступив к исследованию и решению этих уравнений, целесообразно преобразовать их к безразмерному виду. Это преобразование в значительной степени облегчает исследование и помогает составить общее представление об изучаемой системе. Такие вопросы, как, например, влияние параметров системы на ее поведение, взаимоотношения различных моделей одного реактора, связь между моделям различных реакторов и пр., могут приобрести окончательную ясность только после преобразования уравнений к безразмерным переменным. После перехода к безразмерным переменным множество параметров, обычно входящих в уравнения, сводится к небольшому числу их безразмерных комбинаций. Разумным выбором этих комбинаций можно сократить число параметров преобразованной системы до минимума. [c.553]

В обычной механике безразмерные параметры, характеризующие рассматриваемую задачу, получают при преобразовании основных уравнений к безразмерному виду. Аналогичным образом поступают и 14 [c.14]

Для преобразования дифференциальных уравнений массопередачи и граничных условий к безразмерному виду воспользуемся введенными ранее безразмерными величинами высотой колонны г (5.37) я безразмерными концентрациями (степенями насыщения) (5.53) фх и фу. [c.164]

Преобразование уравнений к безразмерному виду [c.21]

Все рассматривавшиеся нами до сих пор преобразования уравнений математических моделей к безразмерному- виду можно выполнить при.помощи способа, который излагался в главе I при этом безразмерные переменные пропорциональны исходным размерным переменным и связаны с ними соотношениями, которые для системы второго порядка имеют, например, такой вид [c.47]

Итак, преобразование уравнений пограничного слоя к автомодельному виду — это не тот привычный для нас переход от величин к числам, который приводит к единой безразмерной форме представления множество подобных между собой различных явлений. Принципиальное отличие рассматриваемого преобразования заключается В том, что оно создает возможность охватить в едином относительном представлении бесчисленное множество не подобных друг другу течений. [c.96]

Конечно, предшествующие соображения, изложенные в общей, достаточно абстрактной форме, могут получить ясное и конкретное содержание только на основе изучения реальных задач, к рассмотрению которых теперь и следует перейти. Предварительно, однако, необходимо Сделать одно замечание, относящееся к технике применения метода характеристических масштабов. Нет никаких причин придерживаться той двухступенчатой схемы приведения уравнений к безразмерному виду, которая предполагалась в предшествующем изложении — предварительное преобразование переменных к относительной форме и построение критериев подобия с последующим выделением из них характеристических масштабов и переходом к безразмерным переменным. Мы обращались к этой схеме только потому, что она хорошо подчеркивает особенности нового метода. [c.258]

При определении критерия подобия можно воспользоваться методом интегральных аналогов, который состоит в том, что отбрасывая все символы дифференцирования и интегрирования и деля все члены уравнения на один из них, приводим уравнение к безразмерному виду. Каждый член преобразованного символического уравнения и будет критерием подобия. [c.169]

Решение этой задачи осуществляется двумя путями 1) при помощи преобразования дифференциальных уравнений к безразмерному виду [c.117]

Преобразование дифференциальных уравнений к безразмерному виду. На примере уравнения движения вязкой жидкости можно показать, как осуществляется подобное преобразование дифференциальных уравнений к безразмерному виду. Для этого система уравнений (III.40) запишется для одномерного установившегося движения относительно оси г [c.117]

Рассмотрим преобразование уравнений теплопроводности и влагопроводности и соответствующих им граничных условий к безразмерному виду и установим для этих случаев критерии подобия., [c.165]

Если рассматривать тонкослойный поток, имеющий место в тарельчатых сепараторах, то преобразованные к безразмерному виду уравнения будут дополнительно содержать геометрический симплекс , равный, например, отношению величины межта-рельчатого зазора к среднему радиусу тарелки, и угол наклона тарелок. [c.172]

В преобразованное к безразмерному виду уравнение (1,2) бходит один безразмерный параметр, именуемый числом Рейнольдса [c.17]

В некоторых случаях критериальные зависимости могут быть получены не путем преобразования к безразмерному виду системы дифференциальных уравнений, включающих условия однозначности, а непооредственно, исходя из физической сущности процессов (без описания его дифференциальными уравнениями). Эти критериальные зависимости могут включать как комплексы величин (критерии), так и симплексы, которые могут быть названы параметрическими факторами. [c.123]

Полученная система уравнений представляет собой исходную систему (1. 1) уравнений Стокса, преобразованную к безразмерному виду явно содержащему основной параметр —рейнольдсово число потока Не, Не останавливаясь на рассмотрении безразмерной формы начальных и граничных условий — они весьма разнообразны для различного типа задач, — заметим, что система (1.8) содержит малый параметр, за который естественно принять величину 1/]/Ке, входящую в равенства (1.7), а следовательно, и в выражения безразмерных поперечных координат и скоростей. Рассматривая формально разложения решений [c.19]

Уравнение (XI, 28) представлено в приблилсенном виде в результате округления показателя степени и екоторого преобразования входящих в уравнение безразмерных комплексов. Если две жидкие фазы взаимно ненасыщены и если происходит перенос вещества из дисперсной органической фазы в сплошную водную, то размер капли йр будет больше, но степень его увеличения в настоящее время установить нельзя. Если же перенос распределяемого компонента происходит в обратном направлении, размер капли не изменяется. [c.552]

Представим безразмерную температуру в произвольной точке зерна в авде е - е +де. После неслшшых преобразований уравнения (8) подучим линейное уравнение относитально лев виде [c.42]

В теории подобия параметрам второй группы отводится совершенно определенная роль — являясь индивидуальными масштабами явления, они применяются для построения относительных переменных. Очевидно, после выполнения этой процедуры, параметр, использованный в качестве масштаба отнесения, уже не может входить в решение как самостоятельный аргумент в явном виде, так как х =х1хо и Хо =1, где, как и раньше, штрихом вверху отмечается относительное значение величины. Напомним, что в тех случаях, когда условие содержит несколько параметрических значений данной переменной, т. е. несколько параметров одной и той же физической природы, то лишь одно из этих значений, выбранное, по тем или ийым соображениям, в качестве характерного, служит масштабом при построении относительных переменных, а остальные вводятся в состав параметрических критериев. Очень существенно, что одновременно с преобразованием абсолютных переменных в относительные происходит объединение параметрических (характерных) значений переменных друг с другом и с параметрами (физическими константами), содержащимися в уравнениях, т. е. объединение параметров первой и второй группы в безразмерные степенные комплексы [I, 4 и 5]. Эти комплексы — критерии подобия — являются параметрами задачи, приведенной к безразмерному виду. [c.248]

Переменная может быть приведена к безразмерному виду только делением либо на характерное, либо на характеристическое значение. Никаких других возможностей нет. Возникает вопрос, всегда ли обуществимо такое преобразование непосредственно не ясно, почему надо считать исключенным такое стечение обстоятельств, когда некоторая величина не представлена в условии ни одним параметрическим значением и вместе с тем не входит ни в один критерий подобия. Например, хорошо известно [I, 13], что температура не входит ни в один из критериев, характеризующих задачу о нестационарном температурном поле в твердом теле без источников тепла. Как показало обсуждение, эта интересная особенность всегда имеет место, если уравнения задачи однородны относительно преобразуемой переменной. Но если переменная не содержится ни в одном из комплексов, то для нее невозможно найти характеристическое значение. В рассматриваемом случае для температуры характеристическое значение действительно не существует. Правда, задача [c.253]

Используя введенные вьпие масштабы, представим каждую переменную в безразмерном виде, например v=vlwri и т. д. С учетом (3.3) и масштабирования уравнение (3.2) после ряда преобразований примет вид [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология