Задача систем линейных уравнений

Идея изложенного метода основывается на следующих соображениях. Б сложных схемах со многими обратными связями ( рециклами ) при применении любых методов оптимизации приходится прибегать к трудоемкой итерационной процедуре сведения материальных и тепловых балансов. Однако, если бы все модели блоков были линейные, то для сведения указанных балансов потребовалось бы решать системы линейных уравнений — задача вообще говоря, не требующая итерационной процедуры (если только мы специально не пользуемся итерационным методом решения систем линейных уравнений) и имеющая хорошо разработанные алгоритмы решения Поэтому, в упомянутом докладе была предложена процедура введения новых управляющих переменных, что позволяет делать модели блоков линейными, а нелинейность переносить в критерий оптимизации. [c.291]

В соотношениях (X, 50) величины б/ представляют собой значения весов, максимизирующих двойственную функцию (X, 49) с учетом условий ортогональности (X, 47) и нормализации (X, 43), а величины х. определяют оптимальное решение задачи, которое также может быть найдено решением системы линейных уравнений (Х,26). [c.554]

Устойчивость стационарных режимов. Вследствие высокой теплопроводности слоя следует ожидать, что высшие гармоники возмущения стационарного решения быстро затухают и устойчивость режима вполне определяется одпой-двумя низшими модами возмущения. Это подтверждается прямым численным решением нестационарных уравнений (25) из состояния, близкого к стационарному. С целью исследования устойчивости в широкой области параметров модели была применена дискретизация линеаризованной вблизи стационара задачи с последующим анализом по Раусу — Гурвицу матрицы полученной системы линейных уравнений [27] [c.59]

Уравнения, описывающие работу отдельного теплообменника. Система теплообменников без обратной связи. Нагревание одного потока. Нагревание двух потоков. Нагревание произвольного числа потоков. Системы теплообменников с обратной связью. Система линейных уравнений для определения неизвестных температур. Отличие детерминанта этой системы от нуля. Оптимизация СТ. Оптимальное распределение поверхностей нагрева СТ. Примененпе метода штрафов . Решение задачи градиентным методом. [c.179]

Задача сводится к исследованию устойчивости системы линейных уравнений (4.18). [c.333]

Что касается сопряженного процесса, то, так как он описывается только линейными соотношениями, его расчет сводится к решению системы линейных уравнений и оказывается более простой задачей. [c.207]

Считается, что метод решения систем линейных уравнений известен при наличии лишь нескольких переменных пользуются детерминантами, а в общем случае — матричным методом. По методу Ньютона — Рафсона систему нелинейных уравнений с исходными переменными сводят к системе линейных уравнений, выраженных через поправки к исходным переменным. Возьмем, чтобы не усложнять задачу, систему уравнений с тремя неизвестными [c.562]

Геометрически задача построения многочлена [х) степени п при интерполировании заключается в проведении кривой, проходящей через заданные точки. Уравнения вида (11—13) линейны относительно коэффициентов, поэтому аналитически определение коэффициентов интерполяционного многочлена для п точек сводится к решению системы линейных уравнений п -1- 1-го порядка, каждое из которых представляет собой выражение (11 — 13), записанное для определенной узловой точки [c.300]

Первое ограничение, которое нужно обсудить — это закон Лавуазье . По сути, это требование решить систему линейных уравнений. Решение задачи найдено довольно давно [4, 5]. Для корректного составления системы линейных уравнений, описывающих химическую реакцию, необходимо выразить ее в виде матричного произведения [6, 7]. [c.153]

Тем самым первоначальная оптимальная задача оказывается сведенной к краевой задаче специального вида для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К сожалению, при одновременном интегрировании систем (VII,1) и (VII,6) часто наблюдается высокая чувствительность по отношению к начальным условиям, что затрудняет решение краевой задачи. Причина этого становится очевидной, если система (VII,1) является относительно х системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.187]

Соответственно, и времена релаксации совпадают с временами соответствующей механической задачи и определяются из системы линейных уравнений [c.38]

Расчет сопряженного РП-блока с математическим описанием (VII,47), (VII,48) есть решение линейной краевой задачи. Расчет сопряженного СП-блока с математическим описанием (VII,46) сводится к решению системы линейных уравнений. [c.148]

Обычно, зная характеристики решаемых задач, можно оценить такие параметры УВМ, как быстродействие, объем оперативной памяти, разрядность. В работе [6] в качестве примеров приводятся такие расчеты для часто встречающихся задач системы линейных алгебраических уравнений, задачи Коши для канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, задачи линейного программирования, задачи минимизации выпуклых функций, многоэкстремальные задачи минимизации н др. [c.205]

Исходя из уравнений (13.151) или (13.152), мы сводим задачу к решению системы линейных уравнений относительно 8Х или бК Число уравнений равно п 4-2. Из них п содержат в левой части по три соседних значения ЬХ и б К, остальные два — по два значения ЬХ и бУ. Уравнения имеют вид [c.502]

Докажем теорему, которая устанавливает соотношение между числом критериев к и самой большой размерностью граней, которые могут быть эффективными. Для этого предположим, что обычная система линейных уравнений при числе неизвестных, меньшем числа уравнений, не имеет решения, и приведем без доказательства для задачи многопараметрического программирования [c.43]

Кроме того, при решении задачи (2) методом Ньютона в некоторых случаях решение системы не было получено, так как счет прекращался из-за деления на О при решении системы линейных уравнений (см. таблицу 2). [c.80]

Таким образом, задача решения интегрального уравнения [72 сведена к решению бесконечной системы линейных уравнений [83 относительно неизвестных величин 3 . Коэфициенты Яы вычисляются по формулам [82], [84] с любой степенью точности или вполне точно. Свободные же члены определяются интегралом [79], который можно вычислить с точностью, соответствуюш ей точности задания F(x) в интервале (с, d), по известным формулам механических квадратур Гаусса [c.285]

С другой стороны, из цифровой машины можно получить с небольшими затратами результат с точностью до шести или восьми значащих разрядов, чего нельзя сделать на аналоговых машинах. Диапазон задач, которые может решить цифровая вычислительная машина, также широк. Можно, например, решать большие системы линейных уравнений, производить инверсию матриц, выполнять итеративные процедуры для решения систем нелинейных уравнений или исследовать на максимум функции нескольких переменных. Аналоговые вычислительные машины плохо приспособлены к любой из таких задач. [c.27]

Значительно сложнее оказывается трактовка процессов, с учетом диффузионных и кинетических явлений. Серьезные успехи пока достигнуты лишь в области линейной неидеальной хроматографии. С математической точки зрения задача сводится здесь к решению системы линейных уравнений материального баланса в частных производных и уравнений кинетики сорбции [67—70]. В ряде работ сходных результатов удалось достичь, применяя стохастическую теорию, в которой рассматривается поведение отдельно взятой молекулы в процессе перемеш ения из одной фазы в другую и вдоль слоя колонки. Оба этих метода часто объединяют под названием теории скоростей [19]. [c.88]

Использование ЭВМ с целью управления проведением эксперимента. Сюда относится и такая постановка эксперимента, где непосредственно измеряются линейные комбинации искомых величин. Задачей ЭВМ является тогда решение системы линейных уравнений в ходе работы. В настоящее время широко распространены методы Фурье-спектроско-пии. В хроматографии тоже возможно применение подобных экспериментов, одним из примеров может служить кросс-корреляционная хроматография. [c.4]

Векторные и матричные операторы и функции системы Math ad позволяют решать широкий круг задач линейной алгебрьг примеру, если задана матрица А и вектор В для системы линейных уравнений в матричной форме АхХ=В, то вектор решения Можно получить из очевидного выражения Х=А -В [c.57]

Хотя для линейных задач в предыдущем разделе был выбран путь решения, основанный на составлении системы линейных уравнений, часто бывает необходимо или просто удобно найти матрицу, обратную данной. Метод обращения матрицы, который мы рассмотрим в этом разделе, также называется методом Гаусса — Жордана. Программа, реализующая этот метод, очень похожа на программу Г—Ж . Расширенная матрица системы, которая в программе Г—Ж имела размер Нх(Ы + 1), при вычислении обратной матрицы расширяется до матрицы размера N х 2Ы. [c.196]

Задание 163. Перепишите подпрограмму 50000, в которой использован метод Гаусса — Жордана, для решения системы линейных уравнений. Поскольку в данной задаче ненулевые элементы расширенной матрицы системы находятся только на главной диагонали и на двух соседних диагоналях, вместо этой матрицы размера Nx(N + 1) можно использовать матрицу А размера Nx4, три столбца для элементов трех диагоналей и один дая правых частей системы уравнений. [c.273]

Учет и отчетность — типичные задачи обработки данных (называемые также задачами обработки больших массивов данных). Исключением могут явиться лишь задачи оперативного учета, связанные с непрерывными материальными потоками. В силу непрерывности измеряемых величин для компенсации влияния ошибок измерения расхода здесь целесообразно пользоваться методом наименьших квадратов, который в данном случае сводится к решению системы линейных уравнений. [c.253]

Модель процесса в форме системы линейных уравнений, исходя из условий данной конкретной задачи, преобразовывается в систему линейных неравенств наложением ограничений на факторы и результаты [c.221]

Брауэра [100], основным на том, что в определенном интервале давлений концентрации двух дефектов — одного положительно заряженного и одного отрицательно заряженного — являются преобладающими, и потому в уравнении электрического баланса (VI.20) концентрациями всех прочих дефектов можно пренебречь, сводя его к простейшему виду, например к (V.18). Соответственно упрощается и уравнение материального баланса (VI.21), и задача сводится к решению системы линейных уравнений, как это видно, если прологарифмировать все уравнения. [c.190]

Для решения линейной системы разностных уравнений первого порядка можно воспользоваться формулами (7.29), т. е. искать его как комбинацию частного и однородных решений. При этом константы I определяются в результате решения системы линейных уравнений, образованной граничными условиями (7.33)—(7.36). Хотя количество дистиллята — переменная величина, определяемая в процессе расчета, для каждой последующей итерации эта величина является константой, вычисленной по результатам предыдущей итерации. Для этого необходимо решать на каждой итерации уравнение с одной неизвестной, например, методом Вегстейна. Этим самьт удается свести задачу поиска коэффициентов а,- к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что в формулах (7.29) конечное значение индексов суммирования равно количеству недостающих начальных условий. [c.279]

Получение эквивалентной матрицы преобразования значительно упрощает исследование сложных систем, так как позволяет формализовать задачу расчета ХТС произвольной структуры и свести ее к безытерационному решению системы линейных уравнений путем применения аппарата теории матриц к рассмотрению иконографической математической модели ХТС в виде структурной блок-схемы. [c.103]

II W VW 4ij обозначен элемент матрицы W EW, стоящей на пересечении i-той строки и /-Г0 столбца. К сожалению, в данном случае условие (V,25) не удается так же просто учесть, как условие (V, 16) в предыдущем случае, поэтому каждое соотношение должно быть учтено в функции Лагранжа с помощью соответствующего множителя Лагранжа. В этом случае задача определения множителей Лагранжа становится трудоемкой, поскольку требует решения системы линейных уравнений большой размерности. Причем чем сильнее будет разреженность гессиана, тем больше будет условий типа (V, 25) и Teivi сложнее будет определение множителей Лагранжа. В связи с этим был предложен следующий подход [114]. Пусть, как и прежде, Mi характеризует множество нулевых элементов, а Aij — пустое множество. Вначале найдем обычным путем матрицу В, которая обеспечивает хорошую работу квазиньютоновского метода пусть, например, это будет матрица (III, 80). Для простоты обозначим ее через В. Естественно, что структура матрицы G в ней не будет отражена, и, вообще говоря, она не будет содержать нулевых элементов. Поставим теперь задачу найти матрицу В, определяемую формулой [c.177]

Имеется большое количество программ для решения системы линейных уравнений при помощи матричной алгебры. Используя эти программы, необходимо в качестве исходной информации задавать только коэффициенты при переменных и константы, входящие в систему уравнений. Следовательно, ирименение матричной программы исключает необходимость составления программы для решения уравнений материального баланса. Амундсон и Понтинен первыми решили на ЭВЦМ задачи многокомпонентной ректификации при помощи матриц. [c.78]

Система аналитических преобразований АУМ [71] была реализована на языке ЯРМО и функционировала на ЭВМ БЭСМ-6. Режим работы — диалоговый, с параллельной выдачей протокола ра-боты на АЦПУ. Язык общения с программой был рассчитан на специалистов, не владеющих программированием. Реализованная система состоит пз трех программ КАРКАС, СКОРОСТЬ, ПОЛИНОМ, которые определяют класс решаемых задач. Тип решаемой задачи запрашивается системой в диалоге, в одном сеансе работы можно поочередно использовать все программы. Ввод походных данных также производится в диалоге. Для первой задачи вводится граф реакции, для второй — совокупность элементарных реакций, для третьей — система линейных уравнений. [c.138]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Геометрическая интерпретация подобных шнейных задач наиболее проста их решение определяется пересечением в и-мерном пространстве т — гиперплоскостей (4.9) — по числу независимых узлов. Поскольку определитель квадратной (в таких случаях) матрицы А отличен от нуля, система линейных уравнений первого закона Кирхгофа обязательно имеет ненулевое решение, если она является неоднородной (с ненулевой правой частью). Это означает, в частности, что при одном источнике питания должен существовать по меньшей мере один узел с присоединенной к нему известной нагрузкой, чтобы соответствующая гиперплоскость не проходила через начало координат, а отсекала бы отрезки на осях. [c.75]

Задача отыскания матрицы А равносильна задаче отыскания реще-ния системы линейных уравнений типа [c.218]

Программный комплекс Селектор базируется на условиях равновесия в гетерогенных многокомпонентных системах с ограничениями в виде системы линейных уравнений баланса масс и теоремы Б. И. Пшеничного, обобщающей метод Ньютона на системы неравенств. Математически расчет параметров многокомпонентных систем сводится к решению задачи выпуклого программирования, термодинамически — к нахождению минимума энергии Гиббса мультисистсмы. [c.16]

Теорема 8 была доказана в предположении, что если число неизвестных меньше числа уравнений, то система линейных уравнений не имеет решения. Однако такое предположение в реальной ситуащш не всегда выполняется и может случиться, что такая система линейных уравнений будет иметь решение. Тогда при числе критериев, равном к, могут быть эффективными и грани, имеющие размерность больше /с-1. В однокритериальной задаче линейного программирования сказанное соответствует тому, что оптимальным решением задачи может бьггь не только вершина допустимого множества, но и вся грань (т. е. не только грань нулевой размерности, но и грани большой размерности). В этом случае доказывается следующая теорема. [c.45]

В определяют значения коэффициентов цри переменных, кр, iff HL S в данном уравнении. Полученная система линейных уравнений будет иметь решение и притом единственное. Следовательно, применение уравнений модели позволяет решать не т(Ш.ко црямые задачи, но и находить термодинамические паралвтры и состав оырья. [c.87]

Теоретически исследовать колебательный процесс начинают обычно с рассмотрения линейных колебаний, т. е. малых отклонений от состояния равновесия, для которых уравнения можно нинеаризовать. Решение системы линейных уравнений ищется в виде суммы комплексных экспонентов где величины 1 являются корнями характеристического или секулярного уравнения. Если мнимая часть 1 не равна нулю, то процесс имеет колебательный характер. В зависимости от знака действительной части х колебания могут быть либо затухающими, либо раскачивающимися в частном случае, когда действительная часть (х равна нулю, нроцесс оказывается строго периодическим. Впрочем, этот случай возможен только в идеализированной постановке задачи реально уже сколь угодно малые возмущения приводят к затуханию или раскачке. [c.431]

При такой подстановке, ввиду постоянства гпи, система обращается в определенную и задача определения адсорбционных коэфициеятов сводится к решению системы линейных уравнений, содержащих /г + г неизвестных. Поэтому минимальное число опытов должно соответствовать числу неизвестных. [c.226]

На основании материала табл. 49 был произведен полный расчет спектров всех аммин-ионов никеля по аналогии со сделанным ранее вычислением для аммин-ионов меди (II). Автор благодарен Йохансену за выполнение очень обширных и трудоемких расчетов. Задача заключалась в решении системы линейных уравнений. Если обозначить молярные коэффициенты экстинкции акво-иона никеля и шести ионов амминов никеля через о и Е , 2 Е соответственно, то молярную экстинкцию [Е) любого раствора, состав которого дается коэффициентами а, можно записать так [c.200]

Метод наискорейшего спуска. Этот метод относится к группе так называемых градиентных методов. Он но существу применяется не непосредственно к системе линейных уравнений, а к эквивалентной ей задаче оптимизации. По этой нрйчине мы рассмотрим его позднее. Ёолее подробное описание этих и других методов содержится в работе [4]. [c.27]

Задача называется обратной, если неизвестную характеристику явления, процесса или вещества X) находят по известному (измеряемому, например) проявлению этой характеристики (У) с помощью операторного уравнения АХ — У. Здесь X а У могут быть функциями или векторами, а оператор А, нацрпмер, интегральным оператором или матрицей, элементами которой являются коэффициенты системы линейных уравнений. По отношению к У это уравнение соответствует решению прямой задачи. [c.6]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология