Преобразование уравнений к безразмерным переменным

Преобразование уравнений к безразмерным переменным [c.21]

Создание математической модели химического реактора заканчивается составлением уравнений материального и теплового балансов. Однако мы совершили бы промах, приступив к исследованию этих уравнений до их преобразования к безразмерному виду. Это преобразование в значительной степени облегчает исследование и помогает составить общее представление о характерных чертах изучаемой системы. Такие вопросы, как, например, влияние параметров системы на ее поведение, взаимоотношения различных моделей одного и того же реактора, связь между моделями различных реакторов и пр., могут приобрести окончательную ясность только после преобразования к безразмерным переменным. [c.21]

Рассмотренный способ преобразования к безразмерным переменным легко обобщается для систем, состоящих из трех и более уравнений. Конкретные примеры применения этого способа содержатся во И главе, где составляется ряд математических моделей реакторов идеального смешения. [c.22]

Рассмотренный способ преобразования к безразмерным переменным легко обобщается для системы, со-+ Х(д - х), (18.3.4.6) стоящей из трех и более уравнений. [c.554]

Создание математической модели химического реактора заканчивается составлением уравнений материального и теплового баланса. Однако мы совершили бы промах, приступив к исследованию этих уравнений до преобразования к безразмерным переменным. [c.21]

После преобразования к безразмерным переменным уравнения теплопроводности и диффузии в неподвижной среде (I, 50а) и (I, 51а) примут вид [c.48]

Следует отметить, что теория подобия приносит пользу не только при экспериментальном повышении масштаба. Она используется также и при расчетном методе масштабирования. Решение уравнений математической модели для заданного набора размерных переменных правильно только для этого набора. Преобразование же уравнений математической модели в критериальные уравнения дает возможность получить решение в обобщенном виде для всего класса подобных явлений. При этом уменьшается число переменных, что облегчает представление результатов в графической или табличной форме. Поэтому в литературе теоретические решения приводятся, как правило, в виде уравнений связи между безразмерными переменными. [c.443]

Применим метод преобразования к безразмерным переменным кинетических уравнений для реакции типа А —> В, протекающей в неизотермических условиях. [c.553]

При рассмотрении вопроса об уменьшении числа степеней свободы прп переходе к безразмерным величинам следует отметить, что в гл. 7 говорилось, что преобразование уравнения (6-50) можно осуществить путем деления всех составляющих его выражений (членов) на одно какое-нибудь из них, например, первое (учитывающее конвективный поток). Мы установили, что число переменных должно быть уменьшено на число тех переменных, которые входят в выражение, помещаемое в знаменатель. Число степеней свободы, следовательно, уменьшается на столько единиц, сколько степеней свободы приходится на поток, описываемый этим выражением, т. е. в данном случае — на конвективный поток ф (А + 2). [c.116]

После приведения уравнений (12.42) —(12.44) к безразмерному виду производим преобразование Лапласа относительно переменной / (при условии, что расход во времени не изменяется). Объединив уравнения, получаем [c.442]

В результате преобразования уравнений (11,45) и (11,27) к безразмерным переменным (11,69) вместо системы (11,47) была получена такая система [c.56]

Заметим, что путем элементарных преобразований можно получить уравнения (1У.98) — (IV.100) соответственно из уравнений (1У.90), (1У.91) и (1У.83) [или (1У.94)], записав их для двух сечений фиксирования функций отклика т и 2о. При этом для записи уравнений в безразмерных переменных используют расстояние между этими сечениями. [c.113]

Входящие В уравнение (2.26) коэффициенты и являются постоянными времени, а коэффициент К, в данном случае будет коэффициентом передачи (преобразования). В уравнении (2.26) можно перейти к безразмерным переменным. Принимая в качестве базовых величин /по и о, введем следующие безразмерные переменные [c.35]

Приведя уравнения (12.44), (12.64) и (12.65) к безразмерному виду и выполнив преобразование Лапласа относительно переменной 1, получим [c.445]

Комплексное число в интегральных преобразованиях в одних работах обозначается 4, в других р. В этой книге комплексное число обозначается 5. а символ р используется для преобразований по переменным, отличным от времени (длина при преобразовании дифференциальных уравнений в частных производных), или при обозначении преобразований по безразмерному времени X (см., например, разд. 4.1). [c.587]

При рещении задач диффузионной кинетики в качестве обобщенных переменных используют безразмерные комплексы (критерии подобия), получающиеся путем подобного преобразования уравнения переноса (1.147) критерий Фурье Род =/)т/Р — формула (1.168) и критерий Пекле Рбд = ш//1) — формула (1.169). Специфический для рассматриваемых процессов безразмерный комплекс получается путем подобного преобразования граничного условия (V, 105). Имеем [c.456]

Полезными методами решения нелинейных задач теплопроводности являются интегральные методы, разработанные А.С. Лейбензоном, Т. Гудменом и др. Наиболее существенным недостатком известных интегральных методов является априорное задание семейства профилей температуры. Степень приближения задаваемого распределения к действительному, а следовательно, и точность метода зависят от интуиции автора и, как правило, удовлетворительны лишь в ограниченном диапазоне параметров задачи. Многопараметрический метод, разработанный Л.Г. Лойцянским, предлагает путь рационального построения семейства профилей температуры в слое, основанный на решении преобразованного к новым безразмерным переменным дифференциального уравнения. [c.363]

Создание математической модели химического реактора заканчивается составлением уравнений материального баланса и сохранения энергии. Однако, приступив к исследованию и решению этих уравнений, целесообразно преобразовать их к безразмерному виду. Это преобразование в значительной степени облегчает исследование и помогает составить общее представление об изучаемой системе. Такие вопросы, как, например, влияние параметров системы на ее поведение, взаимоотношения различных моделей одного реактора, связь между моделям различных реакторов и пр., могут приобрести окончательную ясность только после преобразования уравнений к безразмерным переменным. После перехода к безразмерным переменным множество параметров, обычно входящих в уравнения, сводится к небольшому числу их безразмерных комбинаций. Разумным выбором этих комбинаций можно сократить число параметров преобразованной системы до минимума. [c.553]

Математическая модель для описания стационарных относительных распределений концентрации в твердой у(х, у) и жидкой и х) фазах отборного режима работы кристаллизационной колонны с кристаллами в форме пластинок толщиной 2ии при учете диффузии в твердой фазе (О), конечного коэффициента массопередачи на границе раздела фаз (к) и продольной диффузии в жидкой фазе (ОО после преобразования с помощью безразмерных переменных, аналогично [3, 4], может быть представлена в виде системы уравнений [c.70]

Процесс конвективного переноса вещества обычно описывают уравнениями гидродинамики и диффузии, подобное преобразование которых приводит к системе безразмерных переменных [c.68]

Подставив определенные выше безразмерные переменные и параметры в нестационарные уравнения (14.65) и (14.66), после ряда преобразований находим [c.422]

После перехода к безразмерным переменным множество параметров, обычно входящих в уравнения, сводится к небольшому числу их безразмерных комбинаций. Разумным выбором этих комбинаций можно сократить число параметров преобразованной системы до минимума. [c.21]

После преобразования уравнений (П,23), (11,24) к безразмерным переменным, определяемым формулами (11,22), получим систему [c.43]

Все рассматривавшиеся нами до сих пор преобразования уравнений математических моделей к безразмерному- виду можно выполнить при.помощи способа, который излагался в главе I при этом безразмерные переменные пропорциональны исходным размерным переменным и связаны с ними соотношениями, которые для системы второго порядка имеют, например, такой вид [c.47]

Возможно, однако, с помощью очень несложного приема преобразовать систему (2.15) таким образом, чтобы она не содержала Не в явном виде. Для этого достаточно ввести вместо у новую переменную у У Нео и вместо V переменную о П о. Это преобразование отразится только на слагаемом, содержащем Не (на последнем члене первого уравнения), из которого исключается множитель 1/Нео. Все остальные члены обоих уравнений сохранят свой вид (конечно, речь идет о сохранении структуры уравнений, а не структуры переменных). Таким образом, приходим к системе уравнений, которые связывают между собой только безразмерные переменные и не включают никаких параметров. [c.92]

Конечно, предшествующие соображения, изложенные в общей, достаточно абстрактной форме, могут получить ясное и конкретное содержание только на основе изучения реальных задач, к рассмотрению которых теперь и следует перейти. Предварительно, однако, необходимо Сделать одно замечание, относящееся к технике применения метода характеристических масштабов. Нет никаких причин придерживаться той двухступенчатой схемы приведения уравнений к безразмерному виду, которая предполагалась в предшествующем изложении — предварительное преобразование переменных к относительной форме и построение критериев подобия с последующим выделением из них характеристических масштабов и переходом к безразмерным переменным. Мы обращались к этой схеме только потому, что она хорошо подчеркивает особенности нового метода. [c.258]

Возможна гораздо более простая и естественная процедура. (Переменные с самого начала представляются в виде произведений из безразмерных переменных на характеристические масштабы, которые затем определяются непосредственно из условия, что в составе уравнений не должно остаться никаких постоянных множителей (разумеется, в предположении, что уравнение допускает преобразование к полностью автомодельному виду в противном случае, очевидно, должны остаться комплексы общим числом р —т). Именно такая форма обработки уравнений будет принята в дальнейшем. При этом для удобства условимся обозначать характерные и характеристические масштабы одними и теми же буквами, отмечая их индексом нуль и звездочка , соответственно например, длина — /о (характерная) и (характеристическая), скорость — г о (характерная) и го (характеристическая ). [c.258]

Если пополнить законы Фурье и Фика конвективными членами, то преобразование их к безразмерным переменным приведет к появлению критерия Пекле, а уравнения гидродинамики таким же образом дают критерий Рейнольдса. Комбинируя эти критерии между собой, можно получить и все остальные критерии подобия, которыми мы пользовались выше. [c.49]

В классической теории подобия за масштабы отнесения принимают характерные (параметрические) значения переменных. При этом в уравнениях задачи в качестве множителей при безразмерных операторах появляются критерии подобия. Как будет показано, в некоторых случаях оказывается более удобным, чтобы основные уравнения в безразмерной форме не содержали критериев. Для этого можно использовать особую модификацию теории подобия — метод характеристических масштабов, при котором безразмерные переменные образуются с помощью масштабов, представляющих собой степенные комбинации параметров, имеющие в совокупности ту же размерность, что и сама переменная. Для их определения используются пропорциональные преобразования вида [c.50]

Метод масштабных преобразований, использованный в 5-1, не показывает, сколько безразмерных переменных мы должны получить. Число безразмерных переменных указывает л-теорема. Ошибка в определении числа безразмерных переменных, актуальных для рассматриваемого процесса, может привести к серьезным ошибкам при описании экспериментальных данных в виде уравнений подобия. [c.165]

Для численного исследования характеристик двухфазного потока в сопле можно использовать уравнения (10.22.) — (10.24), преобразованные к одномерному течению в канале переменного сечения [13, 17,25—31], совместно с уравнениями (10.25) — (10.28). Численное решение этих уравнений является намного более трудоемким в случае критического режима течения, так как расход через сопло может быть определен только методом последовательных приближений путем интегрирования уравнений от начальных условий до тех пор, пока не будет найден точный критический расход в горле сопла. В расчетах на вычислительных машинах используются безразмерные параметры и требуется большая степень точности. Неопределенность, связанная с величиной коэффициентов сопротивления и теплоотдачи для частиц, может привести к сомнительным результатам [8]. oy с сотр. [25, 32, 33, 34] рекомендуют использовать безразмерные давление, температуру и т. д., выраженные через параметры торможения, а не через число Маха, хотя это несущественно, если числу Маха не придается особый смысл. В [25] обобщаются детали расчетных методов и дается ссылка на работу [32], где приводится полная программа расчета на вычислительной машине. В этих расчетах в,уравнении энергии учитывалось также из-лучение частиц. [c.332]

Решение этих уравнений возможно либо классическим способом, либо с применением дальнейшего преобразования Лапласа относительно безразмерной координаты участка Второй способ в этом случае менее длителен. Преобразования Лапласа относительно независимой переменной дают возможность свести уравнения (7.249) и (7.250) к линейным алгебраическим уравнениям [c.271]

После интегрирования с заменой переменных и дальней-щих преобразований с учетом уравнений (69) и (82) получили выражение для безразмерной концентрации рассола в безразмерных параметрах для рассматриваемого периода цикла деминерализации в виде [c.58]

Независимо от тех или иных особенностей в постановке задачи приходится вводить весьма большое количество параметров первой группы (физических констант) и, хотя некоторые переменные, как мы видели, не представлены в решении параметрическими значениями, общее число параметров всегда велико. Эта характерная черта задачи влечет за собой невозможность преобразования ее к автомодельному виду. Таким образом, в обобщенные уравнения в качестве аргументов с неизбежностью должны входить безразмерные параметры (критерии подобия). Конкретная структура этих аргументов [c.312]

I. Планирование эксперимен-т а. На этом этапе выбирается экспериментальный план, позволяющий решить поставленную задачу — вычислить наилучшие оценки коэффициентов уравнения (10.24). Экспериментальный план — это некоторая совокупность экспериментов, каждый из которых характеризуется набором фиксированных значений управляемых переменных. В данном случае наилучшим планом является полный факторный эксперимент (ПФЭ), реализующий все возможные иеповторяю-щиеся комбинации уровней п независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций ге=2". При планировании эксперимента проводят преобразование независимых переменных Х в. безразмерные переменные [c.479]

После преобразования уравнений к новым безразмерным переменным и затем интегрирования методом разложения в ряд по степеням параметров получаем систему уравнений для определения Г= Го(0 и 61 = 8(0, описывающих процесс вы.мораживания жидкого продукта на поверхности стенки барабана. [c.365]

В теории подобия параметрам второй группы отводится совершенно определенная роль — являясь индивидуальными масштабами явления, они применяются для построения относительных переменных. Очевидно, после выполнения этой процедуры, параметр, использованный в качестве масштаба отнесения, уже не может входить в решение как самостоятельный аргумент в явном виде, так как х =х1хо и Хо =1, где, как и раньше, штрихом вверху отмечается относительное значение величины. Напомним, что в тех случаях, когда условие содержит несколько параметрических значений данной переменной, т. е. несколько параметров одной и той же физической природы, то лишь одно из этих значений, выбранное, по тем или ийым соображениям, в качестве характерного, служит масштабом при построении относительных переменных, а остальные вводятся в состав параметрических критериев. Очень существенно, что одновременно с преобразованием абсолютных переменных в относительные происходит объединение параметрических (характерных) значений переменных друг с другом и с параметрами (физическими константами), содержащимися в уравнениях, т. е. объединение параметров первой и второй группы в безразмерные степенные комплексы [I, 4 и 5]. Эти комплексы — критерии подобия — являются параметрами задачи, приведенной к безразмерному виду. [c.248]

Переменная может быть приведена к безразмерному виду только делением либо на характерное, либо на характеристическое значение. Никаких других возможностей нет. Возникает вопрос, всегда ли обуществимо такое преобразование непосредственно не ясно, почему надо считать исключенным такое стечение обстоятельств, когда некоторая величина не представлена в условии ни одним параметрическим значением и вместе с тем не входит ни в один критерий подобия. Например, хорошо известно [I, 13], что температура не входит ни в один из критериев, характеризующих задачу о нестационарном температурном поле в твердом теле без источников тепла. Как показало обсуждение, эта интересная особенность всегда имеет место, если уравнения задачи однородны относительно преобразуемой переменной. Но если переменная не содержится ни в одном из комплексов, то для нее невозможно найти характеристическое значение. В рассматриваемом случае для температуры характеристическое значение действительно не существует. Правда, задача [c.253]

Используя введенные вьпие масштабы, представим каждую переменную в безразмерном виде, например v=vlwri и т. д. С учетом (3.3) и масштабирования уравнение (3.2) после ряда преобразований примет вид [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология