Вольтерра

Использование аналогий с моделью хищник — жертва Вольтерра— Лотка (модель 13, табл. VI-3), в которой аналогом жертвы является РОВ, а аналогом хищника — бактерии, позволило получить сравнительно простую расчетную формулу, с помощью которой, как и с помощью автокаталитического уравнения, описываются кривые трансформации органического вещества с начальным периодом индукции, а также прохождение концентраций бактерий через максимум. Однако из-за широкого [c.157]

Концентрации X п У все время периодически изменяются (рис. 111.5). Подобным образом изменяются численности популяций хищников и их жертв в природе нарастание числа жертв ведет к росту популяции хищников, а затем убыль жертв и сокращение запасов пищи ведет и к убыли численности хищников. Эта модель Лотка—Вольтерра представляет собой пример возникновения временной упорядоченности в системе реакций и, несомненно, имеет значение и для изучения биологических процессов, в частности биоритмов. Можно показать, что в системах такого типа вращение по определенному циклу может быть переведено во вращение по другому циклу дал<е малым возмущением — система имеет непрерывный спектр частот вращения по бесконечному множеству циклов , т. е. в ней совершаются незатухающие колебания состава. [c.329]

В общем случае (когда условие (5.45) не выполнено) в основу определения матрицы перехода t, х) может быть положен метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Вольтерра [c.300]

В качестве расчетного примера была взята модель Лотки-Вольтерра для п=2 с правыми частями [c.166]

Для направленного синтеза поликомпонентных олигомерных систем необходима информация об эффективных кинетических параметрах процесса. С этой целью разработан метод исследования кинетики процессов в сложных поликомпонентных системах при отсутствии исчерпывающей информации о промежуточных состояниях и составе системы [46, 5б]. В общем случае обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода [c.14]

Обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода [10, 15] [c.61]

РИС. 5. Общая схема (А ) — изображение механизма Лотки — Вольтерра — Гленсдорфа — Пригожина (А -1- X - 2Х X Н- V - 2У V - [c.87]

Например, для механизма Лотки — Вольтерра - Гленсдорфа - Пригожина [20] А -ь X - 2Х X -I- Y 2Y Y В имеем а = 4, р = = 3, = 10, / = 2, /г = 2.) [c.87]

Обсуждено использование анализа чувствительности для изучения моделей колебательных реакций. Показано, что линейные коэффициенты чувствительности для колебательных систем почти всегда содержат секулярные члены это весьма затрудняет физическую интерпретацию информации о чувствительности. Разработан новый метод, позволяющий удалить секулярные члены с помощью строго равномерного разложения. Предложен метод выделения модифицированных коэффициентов чувствительности из обычных коэффициентов чувствительности, и его применение показано на примере осциллятора Лотки — Вольтерра. [c.422]

ОСЦИЛЛЯТОР ЛОТКИ — ВОЛЬТЕРРА X = куХ - к Х - к ХУ + k Y [c.427]

РИС. 26. Коэффициенты чувствительности при начальных условиях дХ/ЭХ для осциллятора Лотки — Вольтерра, определенные для четырех циклов исходного решения [c.428]

Таким образом, анализ чувствительности является методом, с помощью которого может быть оценена структурная неустойчивость многопараметрических моделей и получено более детальное описание. Мы можем сказать, что для исходного решения, рассмотренного здесь, осциллятор Лотки — Вольтерра структурно-неустойчив относительно вариаций к п кно не вариаций к , к и к . Эти свойства осциллятора Лотки — Вольтерра, конечно, хорошо известны. Успешное применение анализа чувствительности при несомненном (и количественном) подтверждении этих фактов позволяет предположить, что он будет полезным инструментом для изучения моделей, не являющихся столь простыми . [c.429]

В данной главе мы рассмотрим химические колебания в однородной среде, которые интенсивно изучались ). Уравнения сохранения, как и уравнения для возмущений, являются автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащими в качестве независимой переменной только время. Сначала будут исследованы колебания на термодинамической ветви (разд. II.5), которые описываются моделью Лотка — Вольтерра [115, 193]. Затем будут рассмотрены колебания на нетермодинамической ветви и обсуждено различие в поведении системы по сравнению с первым случаем. Здесь характерно появление нового типа химических колебаний, так называемых предельных циклов . [c.205]

Незатухающие колебания типа Лотка — Вольтерра [c.210]

Как было показано выше, при - -оо схема реакций превращается в схему Лотка — Вольтерра, являющуюся моделью незатухающих колебаний в химических системах. Благодаря простоте и замечательным свойствам этой модели посвящены многие работы [22, 33, 34, 122, 128, 194]. Мы кратко рассмотрим здесь некоторые характерные свойства модели. [c.210]

Основная особенность модели Лотка — Вольтерра состоит в том, что возмущения, отстоящие от стационарного состояния [c.210]

Таким образом, в системах типа Лотка — Вольтерра имеется непрерывный спектр частот вращения по бесконечному множеству циклов, каждый из которых реализуется при подходящих начальных условиях (см разд. 14.5 и 14.7). Каждый цикл является состоянием на границе устойчивости, т. е. таким состоянием, для которого даже малого возмущения достаточно для изменения движения системы — движения по новому циклу с соответствующей частотой. Иначе говоря, в системах типа Лотка — Вольтерра нет механизма, обеспечивающего распад флуктуаций, следовательно, нет и никакой средней орбиты, в окрестности которой могла бы находиться система. Эта ситуация иллюстрируется рис. 14.2 на плоскости X, У. [c.211]

Как было показано на примере модели Лотка — Вольтерра, предельная точка нейтральной устойчивости достигается при стремящемся к бесконечности значении полного химического сродства [c.214]

При обсуждении поведения ЬтР ч бтП в предельном состоянии снова удобно принять кинетические константы /г равными нулю, как в модели Лотка — Вольтерра Этому соответствует предельный случай, когда — оо. Кинетические уравнения здесь имеют простой вид [c.217]

Существенная разница между моделью Лотка — Вольтерра (разд. 14.2 и 14.3) и аутокаталитической схемой (разд. 14.4—14.6) состоит в следующем. В модели Лотка — Вольтерра имеется бесконечное множество периодических движений вокруг стационарного состояния (см. рис. 9.3). Стационарное состояние в таком случае является центром . Траектории определяются значением инварианта (14.30), аналогичного гамильтониану. Для аутокаталитической схемы в состоянии нейтральной устойчивости ситуация аналогична. Действительно, используя (14.66), можно показать, что в этом случае также имеется инвариант типа гамильтониана [c.222]

Для случая с предельным циклом при достаточном удалении от точки неустойчивости эти авторы нашли, что частоты группируются в узком интервале около основной частоты, В модели Лотка— Вольтерра, напротив, имеется большой разброс частот. Таким образом, эта модель, по-видимому, адекватна, скорее, шуму , чем ярко выраженной временной структуре. [c.223]

Флуктуации в неустойчивых системах мало изучены. Однако для модели Лотка — Вольтерра получены интересные результаты. Мы уже знаем, что эта модель по своим свойствам близка к свойствам системы в остоянии нейтральной устойчивости. С этой точки зрения изучение флуктуаций в такой модели представляет большой интерес. [c.223]

В последнем всегда достигается один и тот же цикл независимо от выбора начальных условий это означает, что Эт/Эа = О при начальном условии. Следовательно, коэффициенты чувствительности при начальных условиях являются периодическими функциями для брюсселятора и будут непосредственно приводить к физической интерпретации, как показано на рис. 2а. Осциллятор Лотки — Вольтерра не является осциллятором с предельным циклом, и при начальных условиях, достаточно далеких от неустойчивого фокуса в [c.427]

Т. И. Зеленяком предложен метод функционалов Ляпунова для доказательства стабилизации равномерно ограниченных в + (Q) решений краевых задач для квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной [51. Однако существование функционалов Ляпунова для систем параболических уравнений еще не обеспечивает, вообще говоря, свойство стабилизации нестационарных решений [19], и структура предельного множества решения может быть весьма сложной. В силу специфики задачи (7) —(9) и знания структуры множества п. т. д. р. (теорема 2) в рассматриваемом случае удается построить функционал Ляпунова явно и доказать стабилизацию решений. Отметим, что требование равномерной ограниченности решения в (Q) можно ослабить, заменив ограниченностью в (Q), Требование существования п. т. д. р. а можно также ослабить, заменив существованием положительной точки комплексного балансирования, как это сделано в работе [15] в случае ц,(и) = 1пм.. Однако нельзя полностью отказаться от требований, гарантирующих существование функционалов Ляпунова, так как известные уравнешш Лотка — Вольтерра и их модификации [4, 10] входят в класс уравнений (7) и обладают периодическими по t решениями. Поэтому для этих систем нет стабилизации решений. В качестве иллюстрации сказанного приведем модель из работ [4, 10, 20]. [c.111]

Для ностроеиия условий, обеспечивающих заданные нормалями перемещения и иерегруаки защищаемого объекта, модель виброзащитного устройства наделяется вязкоупругими свойствами, при которых связь меягду усилиями px( ) и перемещениями их 1) принимается в форме наследственной теории Больцмана — Вольтерра [c.134]

Уравнение движения системы аналогичны (3.171) колебания считаем установившимися, поэтому нижний предел интегрирования в выражении оператора Вольтерра принимаем равным — что нозво.-.яет интеграл в наследственных соотношениях получить аналитически выражение (3.177) оказывается при этом точным [c.152]

Параметры начальных условий играют различную роль в двух общеизвестных моделях осцилляторов, показанных в табл. 1, — осциллятора Лотки — Вольтерра и брюсселятора. [c.426]

Коэффициенты чувствительности для параметров, таких, как константы скорости, качественно подобны коэффициентам, показанным на рис. 26 для обоих осцилляторов, т. е. функциям незатухающих колебаний в зависимости от времени. Исходное решение для осциллятора Лотки — Вольтерра взято равным периодическому решению, справедливому для ку = к2 = = 1,0ик = к = 0,0. Если к и к отличны от нуля, то колебания будут затухать или полностью прекратятся. Следовательно, эта исходная точка является точкой бифуркации в двух направлениях к мк ъ пространстве параметров. Следует ожидать, что коэффициенты чувствительности дС /дк , дС/дк будут качественно отличаться от коэффициентов чувствительности для параметров к — к , но фактически такие качественные различия не наблюдаются. Однако при использовании для выделения чувствительностей периода дт/дк и дт/дк метода, описанного в предыдущем разделе, возникали трудности, связанные с численными расчетами, которые не встречалисвт1ри расчетах дт/дку, дг/дк и дт/дк . В действительности с помощью этого метода невозможно найти величины дт/дк и дт/дк . Эти величины, по сути, не являются хорошо определенными для этой задачи, поскольку вариации величин к и к вдали от исходной нулевой точки приводят к тому, что периодическая фунышя становится неустойчивой. [c.429]

Считая, что осуществление обратной связи за счет бромид-ионов, постулируемое в предварительных схемах механизма, не объясняет последних экспериментальных данных, Ностициус и Бодисс [145] для реакции Б—Ж со смешанным субстратом щавелевая кислота/ацетон предложили в качестве модели систему Лотки — Вольтерра, записываемую в виде [c.99]

Эта схема совпадает с люделью, впервые введенной Лотка [115] и Вольтерра [193] для описания взаимоотношения хиш,ник — жертва. Системы, подобные (14.10) и (14.11), мы будем называть моделями Лотка — Вольтерра. Недавно они нашли применение в таких фундаментальных биологических проблемах, как проблема биологических часов [12, 13] и временные свойства нейронных сетей [33]. [c.208]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология