Численные методы для параболических уравнений

Численные методы для параболических уравнений [c.223]

В этой книге не будет рассматриваться прямое численное решение гиперболических и эллиптических уравнений. Опыт показывает, что такие уравнения в отличие от параболических не соответствуют типовым химикотехнологическим процессам. Только для специальных процессов в химической промышленности требуется разработка численных методов решения эллиптических и гиперболических уравнений. В этих случаях необходимо использовать либо литературу по численным методам, либо работы из других областей ). Ссылки на некоторые работы даны в 9. [c.224]

Рассмотрим кратко основные вопросы, которые возникают при разработке численных методов применительно к задачам, возникающим в динамике сорбции. В качестве примера приведем постановку задачи Коши для линейного дифференциального уравнения параболического типа (здесь мы следуем в основном монографиям [39], [41]) [c.42]

Для большинства процессов гетерогенного катализа величина произведения много меньше единицы и может рассматриваться как малый параметр в уравнениях. При этом качественно поведение решений системы с гиперболическим уравнением массопереноса совпадает с поведением решений системы с параболическим уравнением и для анализа можно пользоваться результатами, полученными для этой системы. В качестве примера на рис. 2.14 приводится сравнение решений систем (2.6) и (2.14) в окрестностях стационарного режима, полученных методом численного интегрирования. [c.91]

Безразмерная форма. Это параболическое дифференциальное уравнение здесь не. будет решаться точно, поскольку оно требует применения численных методов и решения на ЭВМ. Вместо этого мы применим метод приближенного решения в нем используются предположение о форме профиля температуры и инте- [c.204]

Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных полных теорий. Из-за нелинейности и строгой взаимосвязанности параболических уравнений они не могут быть успешно решены аналитическими приемами, и только численные методы дают некоторую надежду на успех. Известны три таких основных метода. [c.13]

Распределение давления в различных точках пласта в различные моменты времени можно рассчитать интегрированием нелинейного дифференциального уравнения в частных производных параболического типа (Х1.46), описывающего неустановившуюся фильтрацию реального газа в деформируемом пласте при соответствующих начальных и граничных условиях. Дифференциальное уравнение (Х1.46) решают одним из численных методов, используя для расчетов ЭВМ. [c.356]

СОЛОВЬЕВА E.H,.УСПЕНСКИЙ А.Б. Схемы сквозного счета численного решения краевых задач с неизвестными границами для одномерных уравнений параболического типа. - В сб. Методы решения краевых и обратных задач теплопроводности,М.,Изд,МГУ. 1972. [c.86]

Построение аналитических и даже численных решений системы (1.18) — (1.21) связано со значительными трудностями ввиду сложности физико-химических процессов и того, что в общем случае течение в сопле содержит до-, транс- и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат, поскольку приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие важные качественные закономерности. В связи с этим в настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые элементарные теории, позволяющие выявить ряд основных закономерностей движения газа в сопле. К числу таких теорий относятся одномерная теория сопла, теория течений типа источника и стока, теория простой волны или течения Прандтля — Мейера. [c.40]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Уравнение (1.88) — линейное, параболического типа. Для его решения при указанных краевых (т. е. начальных и граничных) условиях можно воспользоваться численным методом [например, методом сеток, заменив точное уравнение (1.88) приближенным конечно-разностным]. Такой путь уже давно освоен в теории пограничного слоя (С. Леви [92]. Флюгге-Лотц [85] и др.). Основным препятствием для их использования является незнание температурного профиля в начальном сечении. [c.52]

Таким образом, параметром, определяющим влияние тепловой выталкивающей силы на течение, является комплекс Ог /Ке2. При малых величинах Ог /Не х можно найти решение описанным выше методом возмущений. Но вдали от сопла, как сказано выше, пограничный слой рассчитывается численным методом, причем подведенная тепловая энергия и подведенное количество движения задаются в выходном сечении сопла х = 0. В статье [14] рассмотрено такое течение в изотермической или устойчиво стратифицированной окружающей среде. Решение определяющих течение параболических уравнений получено конечно-разностным маршевым методом. В статье рассмотрены и факелы, и восходящие струи. Найдено, что в обоих случаях характеристики течения далеко вниз по потоку стремятся к характеристикам осесимметричного факела, образованного сосредоточенным источником тепла. По мере того как воздействие тепловой выталкивающей силы становится преобладающим, характер течения приближается к течению в тепловом факеле (см. обзоры Листа [22] и Джалурия [17]). [c.200]

Впервые вопрос о влиянии вязкости и теилопроводности за сильно искривленной ударной волной был рассмотрен еш е в работах [196, 197]. Однако получение решения в рамках полной системы уравнений Навье-Стокса все еш,е представляет собой значительные трудности, несмотря на большие успехи в разработке численных методов. Учет реальных физико-химических процессов вносит дополнительные и суш,ественные усложнения. Нестационарные уравнения Навье-Стокса представляют собой систему, обладаюгцую гиперболическими и параболическими свойствами, для которой корректна смешанная задача с начальными и граничными условиями [198]. В задачах, связанных с входом в атмосферу, и в экспериментальных установках, иосвяш,енных этой проблеме, обычно числа Струхаля малы, поэтому исследования проводятся в рамках предположения [c.170]

Основное свойство параболического уравнения (3.67), как показано в 3.6, заключается в том, что оба направления по времениподр.бной координате равноправны. Поэтому главное требование к численному методу, предназначенному для решения этого уравнения, состоит в том, чтобы разностная аппроксимация правильно отражала это обстоятельство. Здесь для этой цели применялся достаточно простой конечно-разностный метод, широко используемый для расчета пограничного слоя с локальными зонами обратных токов (Картер [1974], Кляйнберг и Стегер [1974]). [c.127]

Введение. Работа посвящена построению и обоснованию эффективного численного метода решения ряда нелинейных одномерных щ>аевых задач теплопроводности и диффузии. Тлеются в виду краевые задачи для одномерных параболических уравнений в областях с подвижными границами, на которых заданы условия энергетического или материального баланса. Подобные задачи возникают, например, при математическом моделировании процесса теплопередачи в конденсированном веществе в условиях интенсивного нагрева, когда фронты различных фазовых превращений (плавление, испарение, резкое изменение электромагнитных свойств) перемещаются по неподвижноь1у веществу [1-3]. Аналогичная ситуация имеет место при изучении распределения концентраций в некоторых химических реакциях, процессы массопереноса в которых можно трактовать как задачи типа Стефана с исчезающе малой теплотой фазового перехода [4 ]. Наличие подвижных 11)аниц с неизвестным законом изменения во времени и нелинейных условий на заданных подвижных границах приводит к необходимости развития приближенных методов. Предлагаемые ва- [c.79]

Учитывая трудности, которые имели место при использовании в начале 70-х гг. маршевых методов параболического типа, Говинданом [90] разработана численная схема, в соответствии с которой уравнения Навье—Стокса рассматриваются как уравнения задачи с начальными данными по продольному направлению. С этой целью пренебрегается влиянием диффузии в указанном направлении, а продольный градиент давления трактуется как известный член типа источника. Полная система взаимосвязанных уравнений решается при помощи неитерациоиного алгоритма на каждом шаге по продольной координате, и, таким образом, решение определяется путем маршевого расчета по пространственным переменным. В [91 ] вычислительная программа и сам метод разработаны главным образом для расчета внутренних течений, аналогичных тем, которые формируются, например, в искривленных каналах. Вместе с тем они являются достаточно общими и пригодны для расчета многих типов внешних течений, в частности, реализующихся в области сопряжения крыла и фюзеляжа. Что касается моделирования турбулентности, то как привлекательная альтернатива полным уравнениям для рейнольдсовых напряжений использовались простая двухслойная алгебраическая модель турбулентной вязкости Болдуина и Ломэкса и (А—е)-модель турбулентности с двумя дополнительными уравнениями, основу которой, в свою очередь, составляет известная модель Джонса и Лондера. [c.78]

Принято, что профиль осевой скорости обоих потоков по радиусу имеет параболическую форму. Численное решение уравнения конвективной диффузии для этой центрифуги было выполнено методом конечных элементов по французской программе. Результаты прямого решения гидродинамической задачи приведены в табл. 4.3. Противоток, создаваемый диском, был рассмотрен в разд. 4.2.4. Циркуляционный поток, вызванный этим механическим источником, порядка 1 г/с, так что возмущения от потока питания 0,05 г/с в обогатительной и обеднительной частях достаточно малы. [c.223]

Рассмотрим вначале вопрос, связанный с геометрией задачи. Дифференциальные уравнения (2.18) и (2.20), рассмотренные выше, относятся к так называемым уравнениям параболического типа и могут быть проинтегрированы по времени как по маршевой координате. На самом же деле конечно-разностные методы расчета одномерного пламени создавались вначале для численного решения уравнений стационарного двумерного пограничного слоя. В течениях этого типа изменения зависимых переменных, таких, как скорость, температура или концентрацки частиц в направлении поперек потока, существенно больше изменений в продольном направлении, которое аналогично сказанному выше о временной координате может быть взято в качестве маршевой координаты. Вследствие малости градиентов в направлении течения потоками, связанными с молекулярным переносом в этом направлении, можно пренебречь. В простейшем случае такая ситуация может возникнуть, например, при натекании равномерного потока газа на переднюю кромку пластинки, параллельной потоку, а также при истечении плоской или круглой струи в окружающую атмосферу. [c.111]