Лапласа применение

XIV. 9. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА - ЛАПЛАСА ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ [c.829]

Если в системе силы тяжести полностью уравновешены силами диффузии, наступает так называемое седиментационное равновесие, которое характеризуется равенством скоростей седиментации и диффузии. При этом через единицу поверхности сечения в единицу времени проходит вниз столько же оседающих частиц, сколько их проходит вверх с диффузионным потоком. Седиментационное равновесие наблюдается не только в коллоидных растворах, но и в молекулярно-дисперсных системах. Это равновесие характеризуется постепенным уменьшением концентрации частиц в направлении от нижних слоев к верхним. Распределение частиц в зависимости от высоты столба жидкости подчиняется гипсометрическому (или барометрическому) закону Лапласа в применении к золям при [c.307]

Метод преобразования Лапласа, примененный к уравнению (11), дает нам затем решение, подчиненное условиям (16). Поэтому это решение является единственным. При помощи уравнения (15) мы найдем следующие формулы дли с и д [c.40]

Найдем решение этого уравнения с помощью преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа к левой части (2.2.82) дает [c.74]

С применением прямого и обратного преобразований по Лапласу было получено [36] аналитическое решение системы уравнений (111.46) для интегральной и дифференциальной функций распределения времени пребывания [c.53]

График весовой функции К (т) (вместо 0 вводится х) без 5-функции йри-веден на рис. 6.10. Передаточная функция объекта получается как результат применения преобразования Лапласа к аналитическому выражению для К ху. [c.328]

Точные методы решений, как показано на рис. 5.6, образуют небольшую группу и основаны на применении интегральных преобразований Лапласа. Класс точных решений анализировался в работе 1П5], где было показано, что такие решения могут быть получены только для ядер, являющихся линейными функциями по каждому из аргументов в отдельности, т. е. для ядер вида [c.95]

Здесь будут изложены только два иэ возможных применений преобразования Лапласа в химической кинетике. [c.214]

Для применения преобразования Лапласа — Карсона зависимости (3.2) —(3.3) приводим к виду свертки [c.112]

Основой для плодотворного применения преобразования Лапласа к решению задачи (3.1) — (3.6) является равенство [c.112]

Правая часть (2.2.82) после применения преобразования Лапласа будет выглядеть следующим образом S ( bx — Свы ) = Свх(р)—Свых(р), где Свх(р) = = 5 (Свх( )). В результате уравнение (2.2.82) примет вид [c.74]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

T. e. выходная функция v t) может быть получена в результате применения обратного преобразования Лапласа по переменной р к функции [c.91]

Для нахождения передаточной функции W p) воспользуемся формулой (2.2.77). Применим к уравнению (3.2.13) и граничному условию (3.2.14) преобразование Лапласа по t, т. е. перейдем от v x,t) и и t) к их изображениям S x,p) и й р). Используя начальное условие (3.2.14), в результате применения преобразования Лапласа к левой части уравнения (3.2.113), получаем [c.99]

Уравнение (3.2.16), полученное из исходного уравнения (3.2.13) в результате применения преобразования Лапласа, легко решается, и передаточная функция (3.2.21) имеет очень простой вид, что позволяет полностью описать действие оператора на произвольную входную функцию и без труда найти весовую и переходную функции. В том случае, когда исходное уравнение, с помощью которого задается оператор объекта, является более сложным, чем (3.2.13), новых принципиальных трудностей в определении [c.101]

Граничные условия для этого уравнения получим после применения преобразования Лапласа по переменной I к условиям (3,2.23) [c.102]

Получить решение задачи (3.2.33), (3.2.34) уже не составляет труда. Обычно для его нахождения сводят уравнения (3.2.33) к алгебраическим уравнениям путем применения к ним преобразования Лапласа по переменной х. Эта операция требует некоторого обоснования, поскольку формально уравнения (3.2.31), а значит, и уравнения (3.2.33) и их решение vi x,p), V2 x, р) заданы только на интервале Аге[0, /], а преобразование Лапласа можно применить только к функции заданной на полуоси л е [О, оо). Однако для рассматриваемой краевой задачи с граничными условиями (3.2.34) эта трудность легко устранима достаточно рассматривать систему 3.2.33) и ее решение Vi(x,p), 62(х, р) при л е[0, оо). Отметим, что в том случае, когда одно или оба условия (3.2.34) заданы при х — I, этого сделать нельзя, поскольку бессмысленно рассматривать уравнения (3.2.33) при х е [О, оо) с заданным значением решения в точке внутри интервала [О, со). 104 [c.104]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Приближенное выражение для g(t) получается в этом случае после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W p), а приближенное выражение для h(t) после применения обратного преобразования Лапласа к конечному отрезку ряда для функции W(p)/p. Очевидно, необходимо выбирать функции п(р) в разложении для W (р) такими, чтобы затем к ним было удобно применять обратное преобразование Лапласа. [c.108]

Переходную функцию h(t) = 1 —е в данном случае легко можно было получить непосредственным применением обратного преобразования Лапласа к р)1р— 1/[р(Р+ 1)]- В более сложных случаях, когда такое непосредственное получение оригиналов функций W(p) и W p)lp невозможно, представления весовой и переходной функций степенными рядами (3.3.17) и (3.319) весьма удобно для исследования динамики технологического объекта. [c.113]

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных после применения преобразования Лапласа переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение. Граничное условие для уравнения (4.1.5) получится в результате применения преобразования Лапласа к граничному условию (4.1.2) [c.116]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемещиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (0 ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При 0а(0 ) = О уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 00 (л , t) При этом для получения решения о(а , t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию QL x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Для решения этого уравнения удобно осуществить преобразование Лапласа по пространственной координате х. Формально этого сделать нельзя, поскольку преобразование Лапласа применимо к функциям, определенным на всей полуоси [О, оо), в то время как в уравнении (4.1.4), а значит и в уравнении (4.1.5) ж [О, 1]. Для того чтобы сделать возможным преобразование Лапласа, рассмотрим уравнение (4.1.5) на всей полуоси [О, оо) (см. раздел 3.2). Обозначим через i s,p), io(s) результаты применения преобразования Лапласа по х к функциям Т х,р), Tq(x). Осуществляя в левой части уравнения (4.1.5) переход к изображениям T s,p), To s), получаем [c.116]

После получения выражений для передаточных функций нетрудно определить с их помощью соответствующие весовые и переходные функции объекта. Весовые функции й п(0 и 21(0 получаются после применения обратного преобразования Лапласа к (4.1.12) и (4.1.13) [c.119]

Граничное условие для этого уравнения получается после применения преобразования Лапласа к условию Ту х, /)1л=о=1> т. е. имеет вид [c.177]

Решение Г,(л , t), Т2 х, 1) системы уравнений (4.2.78), (4.2.79) с граничными условиями 7 , (х, О = 1. Т 2 (-"с- О 1 =о = О найдем после применения обратного преобразования Лапласа к функциям Т1(х, р) и Т2(х, р) [c.178]

XII(5.1.41)> применения обратного преобразования Лапласа к учетом (5.1.41) получим разложение решения 01 (л , О [c.213]

Совместно с нулевым начальным условием (5.2.18) это уравнение при малых G i задает линейный оператор А (i). После применения к (5.2.29) преобразования Лапласа находим передаточную функцию U i/iKp) г-й тарелки для канала G j->02 [c.228]

Общим удобным способом интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами является применение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа для некоторой функции Р (/), определенной на отрезке (О, оо), состоит в превращении ее в новую функцию Р (/) [c.246]

Применение преобразования Лапласа к системе линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами превращает последнюю в систему линейных алгебраических уравнений. В качестве примера ниже приводится решение системы (У.Зб). Чтобы избежать громоздких выражений, введены обозначения [c.247]

Подобно функции Лапласа для распределений Хп и Стьюдента составлены таблицы, которые находят применение при решении ряда задач, связанных с оценками погрешностей химического анализа и характера их распределения. [c.83]

Успешное применение функций вероятности Гаусса — Лапласа для оценки результатов химического анализа ограничено тем, что они описывают распределение непрерывных лyчaйнь x величин, а аналитик всегда имеет дело лишь с конечной выборкой результатов анализа. [c.83]

Другая трудность применения функции Гаусса — Лапласа связана с необходимостью предварительно установить что результаты химического анализа распределены именно по нормальному закону. Чаще всего на практике дело обстоит именно так, ибо совокупная случайная погрешность химического анализа включает в себя большое число небольших по значениям погрешностей, каждая из которых имеет свой источник и свою причину. И каким бы ни было распределение каждой из таких частичных погрешностей, суммарная случайная погрещность распределена по нормальному закону, если среди всех частных пдгрешностей нет явно доминирующих [c.83]