Энергия гармонических колебаний

При малых амплитудах колебаний молекулу можно уподобить гармоническому вибратору, а при гармонических колебаниях сила, стремящаяся вернуть ядра в равновесное состояние, является величиной, прямо пропорциональной расстоянию, на которое ядра удаляются друг от друга при колебательных движениях. Энергию гармонического колебания идеального вибратора можно рассчитать по уравнению [c.68]

Следовательно, энергия гармонического колебания характеризуется двумя квадратичными членами [c.215]

Колебательная сумма по состояниям. Согласно законам квантовой механики энергия гармонического колебания дискретна и выражается формулой [c.121]

Задание. Рассчитайте для двухатомной молекулы колебательную сумму по состояниям. Учтите, что по законам квантовой механики энергия гармонического колебания дискретна и выражается формулой [c.107]

Колебательные спектры поглощения дают только те молекулы, у которых при колебаниях изменяется дипольный момент гомоядерные молекулы к таким молекулам не принадлежат. Правило отбора при гармонических колебаниях имеет вид Аи = 1 (знак, относится к поглощению энергии). [c.345]

Энергию гармонического колебания двухатомной молекулы также можно представить в виде суммы двух квадратичных членов [c.220]

Несколько слов о физическом смысле волновой функции. Как мы уже видели, в классической механике ее аналогом является амплитуда некоторых колебаний волны-частицы. Но в физике во многих слз аях квадрат амплитуды играет более важную роль, чем сама амплитуда. Так, энергия гармонического колебания пропорциональна квадрату его амплитуды. Далее, интенсивность светового потока, т. е. количество фотонов, прошедшее через единичный объем в единицу времени, или плотность фотонов в данный момент времени, также пропорциональна квадрату амплитуды электрического вектора. [c.80]

Отметим, что полученное выражение (6.37), во-первых, представляет единственный случай в кинетической теории газов, когда доля молекул просто равна больцмановскому множителю ехр (—е/й7 во вторых, и это более важно, выражение (6.37), полученное для двух степеней свободы поступательного движения, сохраняет, как можно показать, свое значение для любого случая, когда энергия выражается двумя квадратичными членами. Например, энергию гармонического колебания (подробнее см. гл. 5, 10) можно также представить в виде двух квадратичных членов, соответствующих потенциальной и кинетической энергиям [c.140]

Согласно уравнению (I, 170) молекула не может обладать любой энергией колебательного движения. Она принимает только вполне определенные порции энергии, зависящие от величины колебательного квантового числа u и от значения собственной частоты колебаний ядер Колебательная энергия не равна нулю даже при квантовом числе v = 0, а это означает, что и при абсолютном нуле в молекуле совершаются колебательные движения. Низшему квантовому числу i = 0 отвечает нулевая энергия молекулы, равная для гармонических колебаний [c.69]

Для гармонического колебания кинетическая энергия равна потенциальной, то есть еп"=3/2 7 . Для моля частиц общий запас энергии колеблющихся частиц в твердом теле будет равен [c.32]

Колебания. В многоатомной молекуле все ядра совершают сложные колебательные движения. Для нелинейной молекулы с п атомами колебательное движение обладает Зп — 6 степенями свободы, так как из общего числа Зп степеней свободы три падают на поступательное и три на вращательное движение. У линейной молекулы существуют лишь две степени свободы вращательного движения, поэтому для нее число колебательных степеней свободы равно Зп—5. Сложное колебательное движение можно представить как суперпозицию (наложение) Зга—6 простейших так называемых нормальных колебаний (Зп—5 для линейной молекулы). В классическом рассмотрении нормальное колебание — гармоническое, при котором все ядра в молекуле колеблются с одной и той же частотой и одинаковой фазой, т. е. одновременно проходят через состояние равновесия. Принимается, что все нормальные колебания независимы, полная энергия колебаний равна сумме энергий нормальных колебаний линейных осцилляторов [c.170]

Вычислим сумму по состояниям и термодинамические свойства для одноатомного твердого тела. Атомы (ядра) кристаллической решетки твердого тела образуют локализованную систему, и можно вычислить сумму по состояниям Z с помощью суммы по состояниям Q частицы без учета требований симметрии. Каждый атом данной решетки имеет три степени свободы, причем колебания в каждом из трех направлений можно считать равноправными. Поэтому естественно рассмотреть сначала систему из N одномерных гармонических осцилляторов. Такая система представляет интерес не только для вычисления термодинамических свойств одноатомного твердого тела, но также и для вычисления вклада, обусловленного колебаниями ядер в молекулах, в термодинамические свойства газа. Уровни энергии гармонического осциллятора определяются формулой (см. табл. 1) [c.302]

Для вычисления слагаемых энергии Гельмгольца, как это следует из формул (99.5)—(99.7), нужно знать только соответствующую сумму по состояниям молекулы. Такие суммы по состояниям легко вычисляются, если использовать модель жесткой (не деформирующейся при вращении) молекулы и допустить, что колебания являются гармоническими. Например, для расчета Ql,oл двухатомной молекулы в предположении гармонических колебаний можно исполь- [c.314]

Частота колебаний увеличивается при уменьшении массы. Потенциальная энергия гармонического осциллятора зависит от расстояния между ядрами [c.65]

В результате смещения возникает гармоническое колебание. Движущаяся частица (атом) будет обладать также и кинетической энергией [c.56]

Ее наиболее существенное отличие от параболы состоит в стремлении и с увеличением г к пределу, равному (спектроскопическая энергия диссоциации). Параболическая функция пригодна лишь при малых смещениях. Движение частиц, возникающее при этих условиях, представляет собой гармоническое колебание с частотой [c.225]

Метод состоит в допущении существования в многоатомной молекуле нескольких (иногда многих) видов гармонических колебаний с различными частотами, причем энергия каждого из них выражается формулой вида (VI.129). Нелинейная молекула из т атомов имеет Зт — 6 видов колебаний. Для линейной молекулы вследствие уменьшения на единицу числа вращательных степеней свободы число видов колебаний составляет Зт—5. Если в молекуле имеется степень свободы внутреннего вращения (например, метильных групп вокруг линии связи в этане), число колебаний уменьшается до Зт — 7. В общем случае, когда число видов колебаний составляет Зт — х, сумму по состояниям приближенно записывают следующим образом [c.227]

Таким образом, оказывается, что волновое число радиации, испускаемой или поглощаемой гармоническим осциллятором, равно волновому числу колебаний самого осциллятора, представляющего модель первого приближения колеблющейся молекулы. При этом не существенно, какие именно уровни комбинируются — нулевой с первым, первый со вторым и т. д. Здесь можно сослаться на рис. VI. 13, показывающий зависимость энергии гармонического осциллятора от межъядерного расстояния (парабола). На рисунке нанесены также равностоящие (эквидистантные) уровни энергии и переходы между ними, ведущие к поглощению или излучению квантов радиации одинаковой энергии, а следовательно, и частоты. [c.251]

Для гармонического колебания потенциальная энергия выражается квадратично через отклонение д. Действительно, поскольку возвращающая сила / пропорциональна отклонению [c.215]

Одним из выражений квантовых законов является дискретность уровней энергии тела, совершающего периодические движения. Рассмотрим в качестве примера гармоническое колебание осциллятора. Энергия классического гармонического осциллятора может непрерывно изменяться. Эта энергия равна уА 2 (наибольшее значение потенциальной энергии при х = А). Упругая постоянная [c.219]

На рис. 5.10 представлены колебательные уровни и им соответствующие графики волновых функций молекулы НС1 в гармоническом приближении. Нижний уровень, соответствующий квантовому числу 01 = 0, является нулевым колебательным уровнем. Соответствующая ему энергия представляет собой энергию нулевого колебания. [c.169]

Когда частица совершает гармоническое колебание, точка в фазовом пространстве описывает эллипс ( фазовая траектория ). В классической механике таких траекторий бесконечное множество, ио для квантового осциллятора существует лишь счетное множество эллипсов, энергия которых определяется ус- [c.26]

В этом случае говорят, что энергия выражается суммой трех квадратичных членов. Если же кроме поступательного необходимо учитывать нные виды движения, например колебания атомов в молекуле, то в выражении для энергии появятся до-иолиительные члены. Например, энергия гармонического колебания выражается двумя квадратичными членами для потенциальной энергии—для кинетической— [c.104]

Классическая теория теплоемкости газов. Согласно закону Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы мвлекул (закон равнораспределения), на одну степень свободы поступательного и вращательного движения молекулы приходится энергия, равная 2 кТ), а на одну степень свободы колебательного движения приходится в среднем энергия, равная кТ, так как в среднем на потенциальную энергию гармонических колебаний молекулы приходится столько же тепловой энергии, сколько и на кинетическую, т. е. тоже 2 кТ). Здесь к — постоянная Больцмана она равна универсальной газовой постоянной деленной на постоянную Авогадро [А=6,0232 Дж/(моль-град)]. Таким образом, на одну степень свободы колебательного движения молекулы в среднем приходится вдвое больше энергии, чем на одну степень свободы поступательного или вращательного движения. [c.63]

В ЭТОМ случае говорят, что энергия выражается суммой трех квадратичных членов. Если же кроме поступательного необхо димо учитывать иные виды движения, например колебания атомов в молекуле, то в выражении для энергии появятся дополнительные члены. Так, энергия гармонического колебания выражается двумя квадратичными членами для потенциальной энергии— l2fq , для кинетической — 12т)р . Поэтому, если для сложной молекулы при достаточно высоких температурах приходится учитывать п различных видов колебаний атомов, то в выражении для энергии появятся 2п соответствующих квадратичных членов. [c.98]

ДГ4/ и т.д. с увеличением радиуса атома растут (см. рис. 3). Положительное значение полной энергии электрона с увеличением радиуса атома (уравнение 21) также растет. Длз объясне1Н1я причины таких изменений энергии и амплитуды колебаний расс.мот-рим полную энергию, амплитуду и частоту гармонических колебаний пружинного маятника [10] [c.41]

Положим, что один из атомов в молекуле неподвижен, а другой при колебаниях смещается относительно равновесного положения. При низкой энергии колебаний смещения равно отстоят от равновесной точки. При высоких энергиях амплитуды колебаний растут, но сближению атомов препятствуют силы отталкивания, а удаление ограничено только расстоянием разрыва связи. Таким образом, колебания при низкой энергии являются симметричными (гармоническими), а при высоких энергиях — асимметричными (ангармоническими). Колеблющуюся систему (в частности, моле-кулу) называют осциллятором. [c.344]

Движущиеся с переменной скоростью заряды излучают электромагнитную энергию. В описанном выще простом гармоническом осцилляторе заряды постоянно ускоряются или замедляются. Следовательно, они излучают энергию, являющуюся частью энергии колебаний, которые со временем затухают. Кроме того, атомы и ионы исследуемого вещества постоянно испытывают соударения (они происходят хаотически в течение периода колебаний и носят неупругий характер) с другими атомами и ионами. Следовательно, энергия диэлектрических колебаний может превращаться в результате столкновений в тепло. Оба типа потерь могут быть приближенно описаны диссипативным членом, пропорциональным dxldt. При этом уравнение (VII. 7), с учетом условия (VII. 8), за-пищется в виде [c.238]

Пусть движение ионов металла происходит под действием теплового возбуждения и приложенного поля. Отдельные ионы могут в этом случае приобрести энергию, достаточную для преодоления потенциального барьера и продвинуться к границе оксид—электролит. Если влияние границ металл/оксид и оксид/электролит отсутствует, то движение ионов внутри оксида требует преодоления потенциальных барьеров, схематически показанных на рис. 4.42. Если расстояние между соседними междоузлиями принять равным 2а и предположить, что ионы в междоузлиях совершают гармонические колебания с частотой V, то вероятность перехода иона из од1юго междоузлия в другое в отсутствие внешнего поля пропорциональна величине [c.274]

В теории Слетера молекула рассматривается как система связанных атомов, каждый из которых совершает гармонические колебания околр положения равновесия. Энергия и фаза колебания изменяются только в результате столкновения с другой молекулой, т. е. внутри молекулы не происходит самопроизвольной передачи энергии с одной связи на другую. Мономолекулярное превращение происходит тогда, когда координата, с которой связана потенциальная энергия молекулы, принимает критическое значение. При высоких давлениях к — где V — средняя квадратичная частота нормальных коле- [c.96]

Частицы, находящиеся в узлах кристаллической решетки (атомы, ионы или молекулы), не неподвижны. Они совершают колебания, которые приближенно можно рассматривать как колебания гармонического осциллятора. Решетка, таким образом, интерпретируется как система осцилляторов. Отсюда сразу получается вывод, что энергия одной частицы должна равняться ЗкТ. Действительно, средняя кинетическая энергия гармонического осциллятора равна его средней потенциальной энергии. Частица в кристалле обладает тремя степенями свободы и на каждую приходится кинетическая энергия /зкТ, всего ЬТ. Такое же значение имеет и потенциальная энергия. Полная энергия частицы равна поэтому сумме 12ЬТ+ 1чкТ—ЪкТ. Умножая на постоянную Авогадро, получаем дкМТ=дНТ, Т. е. энергия в расчете на моль равна ЗЯТ. Производная энергии по температуре при постоянном объеме, т. е. Су = ЗЯ. Мы получили известный закон Дюлонга и Пти, согласно которому теплоемкость твердого тела равна приближенно ЗН, т. е. 25,08 Дж/моль. [c.273]

Теория дисперсионных сил была дана Ф. Лондоном. Упрощенный вариант этой теории можно проиллюстрировать на примере двух атомов, ядра которых фиксированы расстоянием / , а электроны совершают гармонические колебания. Мгновенное положение ядер и электроноа рассматриваемых атомов изображено на рис. 6.1. Потенциальная энергия такой системы [c.152]

Если в группе X—Н заменить водород на дейтерий, то прн образовании водородной связи X—О...У происходят изменения частот и v аналогичные тем, которые наблюдаются для связи X—Н...У. Отношения к, =v /vP и для различных групп X—Н и X—О и связей X—Н... и X— ... почти не отличаются. Согласно И. Б. Рабиновичу для воды, спиртов, кислот и анилина к к =к обычно величина к лежит в интервале от 1,34 до 1,37. Уменьшение частоты Д валентных и увеличение частоты Д деформационных колебаний сопровождаются изменением энергии этих колебаний. В приближении гармонического осциллятора средняя энергия атомных колебаний, имеющих частоту ш — 2лv, равна [c.67]

По оси абсцисс отложены значения волнового вектора 1 1== р , по оси ординат величина энергии в единицах Е р)1кв, где — постоянная Больцмана. Модуль волнового вектора й имеет размерность (aнг тpeм) , а Е/кь выражена в градусах шкалы Кельвина. На этом графике кривая Ландау уточнена экспериментальными данными Коули и Вудса. Поскольку гелий II при Т > О К представляет собой в значительной мере упорядоченную, квантово-когерентную систему, неудивительно, что тепловое движение в гелии II во многом напоминает тепловое движение твердых тел при температурах, близких к О К-Тепловое движение в твердых телах при низких температурах можно представить как совокупность гармонических колебаний звуковых квантов, или фононов. Такая совокупность упрощенно может рассматриваться как идеальный фононный газ. [c.245]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология