Одномерный гармонический осциллятор

III. Одномерный гармонический осциллятор. Квантовое состояние одномерного гармонического осциллятора, который имеет одну степень свободы, определяется одним квантовым числом у = 0,1,2,. ... Уровни энергии заданы соотношением [c.79]

Сумма по состояниям системы одномерных гармонических осцилляторов. Термодинамические свойства одноатомного твердого тела по теории Эйнштейна [c.302]

Одномерный гармонический осциллятор с частотой V [c.15]

Найдем фазовую траекторию одномерного гармонического осциллятора. Одномерным гармоническим осциллятором называют материальную точку, совершающую колебательное движение в одном измерении, если сила, действующая на нее, прямо пропорциональна смещению от положения равновесия [c.35]

Одномерный гармонический осциллятор. Энергетический спектр одномерного гармонического осциллятора может быть найден при решении уравнения Шредингера [c.153]

Известно, что средняя энергия простого одномерного гармонического осциллятора 1 зависит только от температуры [c.105]

При этом выбирается та степень свободы, для которой полная энергия может быть записана как сумма двух квадратичных членов. Таким образом, колебательная энергия простого одномерного гармонического осциллятора представляется одной классической степенью свободы (два квадратичных члена), в то время как энергия поступательного движения имеет три составляющие (три квадратичных члена) и, следовательно, 3/2 классической степени свободы. [c.243]

Термодинамические величины для одномерного гармонического осциллятора. [c.199]

В гармоническом приближении, как следует из общей механической теории колебаний, колебательное движение системы, имеющей Ркол степеней свободы, может быть представлено как наложение нормальных колебаний (см. гл. IX, 11). Совокупность ЗЫ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗЛ/ независимых одномерных гармонических осцилляторов, так что для энергии будут справедливы выражения (IX. 168) в классическом приближении и выражение (IX. 169) в квантовом случае (число степеней свободы следует приравнять ЗК). В формулы входят ЗЫ величин V I = = 1,. .., ЗМ), собственных частот (частоты абстрактных линейных осцилляторов, с помощью которых мы описываем действительное движение атомов в системе). Формулы для статистической суммы и средней энергии одномерного гармонического осциллятора были получены ранее [формулы (IX. 107) и (IX. 110)]. Колебательная статистическая сумма кристалла, если включить в нее сомножитель, связанный с нулевой энергией колебаний, запишется в виде [c.320]

Вычислим сумму по состояниям и термодинамические свойства для одноатомного твердого тела. Атомы (ядра) кристаллической решетки твердого тела образуют локализованную систему, и можно вычислить сумму по состояниям Z с помощью суммы по состояниям Q частицы без учета требований симметрии. Каждый атом данной решетки имеет три степени свободы, причем колебания в каждом из трех направлений можно считать равноправными. Поэтому естественно рассмотреть сначала систему из N одномерных гармонических осцилляторов. Такая система представляет интерес не только для вычисления термодинамических свойств одноатомного твердого тела, но также и для вычисления вклада, обусловленного колебаниями ядер в молекулах, в термодинамические свойства газа. Уровни энергии гармонического осциллятора определяются формулой (см. табл. 1) [c.302]

Квантовая теория теплоемкости Эйнштейна. В 1907 г. Эйнштейн впервые применил квантовую теорию для описания колебаний атомов в кристалле. В модели, которую рассматривал Эйнштейн, предполагается, что все атомы твердого тела колеблются независимо друг от друга около своих положений равновесия с одной и той же частотой ломаке- Это дает возможность систему из N атомов заменить для теоретического рассмотрения системой из ЗЛ независимых одномерных гармонических осцилляторов. Основой успеха теории Эйнштейна явилось сделанное им предположение о том, что энергия, сообщенная телу, распределяется между осцилляторами целыми квантами, в связи с чем он применил выражение Планка для средней энергии осциллятора к тепловым колебаниям. [c.70]

III. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА [c.289]

Термодинамические величины для одномерного гармонического осциллятора (функции Эйнштейна) [c.564]

Число степеней свободы f для частицы, движущейся в трехмерном потенциальном ящике, 3, для ротатора 2, для линейного осциллятора 1. Таким образом, каждому квантовому состоянию можно сопоставить ячейку объема в ц-пространстве величина ДЙ дает число таких ячеек в объеме Ду. Если для описания квантового осциллятора пользоваться классическим фазовым пространством, то эллипсы, изображенные на рис. П. 1, надо располагать дискретным образом, так чтобы площадь кольца между соседними эллипсами равнялась Л. Это кольцо и есть элементарная ячейка в фазовом пространстве одномерного гармонического осциллятора. [c.81]

Определите, чему равны величины <Хо> и в основном состоянии одномерного гармонического осциллятора. [c.22]

Используя пробную функцию где — вариационный параметр, найдите энергию первого возбужденного состояния одномерного гармонического осциллятора. Сравните с точным значением энергии. [c.30]

Чтобы определить действие операторов Ок и на числа заполнения, вспомним, как выглядят матрицы координаты и импульса одномерного гармонического осциллятора. Если М — масса, — частота, ап — номер состояния или номер уровня энергии (6.11) гармонического осциллятора, то отличные от нуля матричные элементы его координаты X и импульса V имеют вид [c.123]

Распределение по переменным, описывающим колебательное движение двухатомной молекулы. Колебательное движение ядер двухатомной молекулы описываем как движение одномерного гармонического осциллятора. Определим среднюю энергию этого движения [c.104]

В качестве второго примера рассмотрим распределение энергии, между атомами в кристалле. Рассматривая кристаллы с тремя, пятью и семью атомами, действительно можно подсчитать возможные микросостояния и увидеть возникновение распределения Больцмана. Предполагается, что атомы в кристалле представляют собой идеальные одномерные гармонические осцилляторы, т. е. атом может обладать энергиями Ev, равными vhv, где и — колебательное квантовое число, к — постоянная Планка, а V — частота колебания. Эти энергии соответствуют тем значениям, когда нулевая энергия принимается за начало отсчета и энергии измеряются по отношению к этому нулевому уровню. [c.520]

Сколько микросостояний существует для трехатомного кристалла из одномерных гармонических осцилляторов при наличии только двух квантов энергии Сколько атомов в среднем не будет иметь ни одного кванта либо будет иметь один или два кванта [c.544]

Двухатомная молекула рассматривается как одномерный гармонический осциллятор. Валентные колебания (соответствующие только растяжению и сокращению связей) трехатомных молекул могут в хорошем приближении рассматриваться просто как линейные комбинации двухцентровых гармонических осцил ляторов, а деформационные колебания (с изменениями валент ных углов)—при помощи единого гармонического потенциала соответствующего деформации. Например, когда линейная мо лекула А—В—А совершает симметричное валентное колебание центральный атом не смещается из своего положения (см рис. 4.2,в). Задача в данном случае сводится к задаче о двух простых гармонических осцилляторах. Волновую функцию такого колебательного движения молекулы можно записать в виде [c.87]

Рассмотрим решение дифференциального уравнения (2.20) для случая одномерного гармонического осциллятора [9] с гамильтонианом следующего вида [c.32]

Постоянная Больцмана А= 1,38-Дж/К представляет собой отношение где = 8,31 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная, а Л о = 6,02- 10 з МОЛЬ — число Авогадро. Моль твердого тела можно рассматривать как систему ЗЛ о простых одномерных гармонических осцилляторов. Внутренняя энергия такой системы равна [c.106]

Теория Эйнштейна. Эйнштейн попытался объяснить резкое уменьшение теплоемкости твердых тел при низких температурах (при Т—>-0), исходя из простой модели. Он предположил, что для объяснения тепловых свойств при низких температурах кристаллическую решетку твердого тела, состоящую из N колеблющихся атомов, можно рассматривать как систему ЗМ независимых одномерных гармонических осцилляторов, имеющих одинаковую собственную частоту V. Гармонические осцилляторы, использованные Эйнштейном, отличались от классических гармонических осцилляторов. Классический гармонический осциллятор может иметь любую амплитуду колебаний и, следовательно, любую энергию. Квантовые гармонические осцилляторы, с которыми оперировал Эйнштейн, могут иметь лишь строго определенные, дискрет- [c.106]

Таким образом, теория Дебая рассматривает сложное движение центров масс связанных между собой N элементов решетки. Это сложное движение (колебания решетки) предполагается эквивалентным движению ЗЫ независимых одномерных гармонических осцилляторов. Координаты этих гармонических осцилляторов называются нормальными координатами, а их колебания называются нормальными колебаниями. Внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела состоят из аддитивных вкладов отдельных нормальных колебаний. Для расчета теплоемкости (вывода формулы, описывающей зависимость теплоемкости от температуры) необходимо знать частотный спектр нормальных колебаний. Частотный спектр нормальных колебаний может быть рассчитан теоретически путем использования так называемого секулярного уравнения. В случае простой решетки решение секулярного уравнения содержит три частотных (акустических) ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки, т. е. трем типам упругих волн, возбужденных в решетке (двум поперечным и одной продольной). Простота формулы Дебая и является следствием ряда упрощений, сделанных при ее выводе. [c.112]

В теории Дебая число нормальных колебаний решетки приводится в соответствии с общим числом колебательных степеней свободы (ЗЛ ) системы, состоящей из N одномерных гармонических осцилляторов, путем использования соотношения [c.115]

Знакомство с представлением чисел заполнения мы начнем с исследования одномерного гармонического осциллятора. При рассмотрении этого простого примера будут введены понятия, которые используются в представлении чисел заполнения в других случаях. [c.150]

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение вариационного метода к вычислению собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона. Вычислим вариационным методом энергию основного состояния одномерного гармонического осциллятора, т. е. системы, имеющей оператор Гамильтона [c.224]

Величина / (бе/Т) представляет собой функцию Эйнштейна для теплоемкости одномерного гармонического осциллятора. [c.139]

Основное состояние кристалла есть фононный вакуум, и его физические свойства проявляются в существовании нулевых колебаний. Интенсивность нулевых колебаний характеризуется квадратом амплитуды каждого нормального колебания, который определяется такой же формулой, как и для одномерного гармонического осциллятора. Составим квадрат смещения атома в узле п, т. е. квадрат оператора (6.15), и найдем его среднее значение в основном состоянии. Учитывая (6.24) и (6.25), получаем [c.126]

Чтобы разобраться в этом вопросе, рассмотрим один одномерный гармонический осциллятор, имеющий полную энергию [c.65]

Для разъяснения метода обратимся к задаче об одномерном гармоническом осцилляторе [c.38]

Задача 2.6. На сферической поверхности (в Г-пространстве) = а задается начальное значение D Dq = 2g X X exp [—2р ]. Функция D — это плотность ансамбля одномерных гармонических осцилляторов с потенциалом V = q l2. Найти решение D q, р, t) уравнения Лиувилля. [c.65]

Совокупность ЪМ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗМ независимых одномерных гармонических осцилляторов, частоты которых носят название собственных частот. Энергия отдельного осциллятора опишется выражением типа ад - - при классическом и выражением (11.7) при квантовом описании. Средняя энергия классического гармонического осциллятора составляет кТ, что дает для кристалла Екол = ЗЫкТ и [c.184]

Решение задачи для одномерного гармонического осциллятора можно записать в виде p = a os(ut, X = bsin oi. В соответствуюш ем двумерном Г-пространстве данные уравнения будут параметрическим представлением эллипса p/aY + х/ЬУ= 1. Хотя уравнение этой динамической кривой является важным соотношением, которому должны удовлетворять р ж х, она не дает информации о развитии системы во времени. С другой стороны, в 2N -Ь 1)-мерном расширенном фазовом пространстве (Г-пространстве), которое включает ось времени, кривая, прочерчиваемая точкой системы, дает полное динамическое решение задачи. Для рассмотренной задачи с гармоническим осциллятором эта кривая является пересечением двух поверхностей а = p/ os oi, b = /sin o . Динамический путь изображен на рис. 1.7. [c.24]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология