Гармонический осциллятор энергия

Соотношение (9.28) не учитывает, например, такие эффекты, как влияние колебания на вращение. В результате этого предположения мы можем рассматривать энергию различных форм движения двухатомной молекулы отдельно, то есть энергии поступательного движения, вращений, колебаний и электронных уровней двухатомной молекулы представляют собой кинетическую энергию точечной массы, кинетическую и потенциальную энергии гармонического осциллятора, энергию жесткого ротатора и энергию распределения орбитальных электронов неподвижной молекулы, причем все частицы имеют массы, связанные, конечно, с массой двухатомной молекулы. Как будет показано ниже, каждая из этих форм энергии при использовании квантовой теории может рассматриваться отдельно для получения функций распределения. Подставляя (9.28) в (9.26), получаем [c.333]

В разделе е отмечалось, что если энергия молекул выра-жается суммой некоторого числа членов, являющихся квадра тичными либо относительно пространственных координат ( ), либо относительно импульсов (/з ), то форма закона распределения не зависит от того, сколько именно членов входит в выражение для кинетической и сколько — в выражение для потенциальной энергии. Однако вывод закона упрощается, если рассматривается одинаковое число членов , выражающих потенциальную кинетическую энергию. Физически это соответствует допущению, что полное движение молекул представлено числом 5 независимых гармонических осцилляторов. Энергию молекулы в этом случае можно записать так [c.106]

Термодинамические свойства газов, обусловленные колебательным движением, рассчитываются следующим образом. Колебательное движение двухатомной молекулы рассматривается как движение гармонического осциллятора, энергия которого определяется по уравнению [c.163]

При вычислении колебательной составляющей статистической суммы многоатомных молекул (III.1Й) обычно принимается, что в колебательном отношении многоатомная молекула подобна системе г независимых гармонических осцилляторов, энергия которых определяется уравнением (III.186). При таком приближенном подходе, называемым приближением гармонического осциллятора (г. о), г-кратная сумма (III. 194) в силу общего свойства статистических сумм (III.52) становится равной произведению г сумм [c.234]

В гармоническом приближении движение электрона в молекуле можно рассматривать в виде линейного гармонического осциллятора, энергия которого, как известно из квантовой механики, равна [c.186]

В модели Райса — Рамспергера — Касселя (РРК) для распада молекул предполагается, что полная энергия, распределенная среди п слабо связанных гармонических осцилляторов, составляющих молекулу , имеет полную свободу перераспределения. В этом смысле п — 1 осцилляторов, связанных со слабым осциллятором, выполняют по отношению к нему роль энергетического резервуара. Эта модель была подвергнута критике Слетером [6], который высказал предположение, что процесс передачи энергии между осцилляторами может быть медленным, поэтому скоростью передачи энергии нельзя пренебречь. Как на крайний случай он указал, что осцилляторы, принадлежащие к молекулярным колебаниям различных классов симметрии, не могут обмениваться энергией . Дальнейшее ограничение, налагаемое на обмен энергии, обусловливается дискретностью энергетических уровней квантовой системы. Дело в том, что молекула может изменять свое внутреннее энергетическое распределение только между состояниями, полная энергия которых [c.199]

Равновесное распределение молекул по различным энергетическим состояниям Е дается законом Максвелла — Больцмана. Так, для молекулы с п классическими внутренними гармоническими осцилляторами доля молекул с энергией ЕЕ ,. . , Е , представляет собой функцию [c.202]

Истинное значение Р а(Е) может быть получено при точном решении квантовомеханического уравнения для молекулы. Однако в качестве первого приближения молено рассматривать классическую модель молекулы как системы, состоящей из s классических гармонических осцилляторов с частотами Vj. В этом случае Р а Е) — вероятность того, что энергия Е распределена среди [c.207]

При этом выбирается та степень свободы, для которой полная энергия может быть записана как сумма двух квадратичных членов. Таким образом, колебательная энергия простого одномерного гармонического осциллятора представляется одной классической степенью свободы (два квадратичных члена), в то время как энергия поступательного движения имеет три составляющие (три квадратичных члена) и, следовательно, 3/2 классической степени свободы. [c.243]

Теперь, допуская, что внутренние энергии частиц АиВ могут быть представлены энергией системы классических гармонических осцилляторов, мы можем вычислить ZAв Е) — частоту соударений, для которой полная внутренняя энергия и энергии вращения и поступательного движения соударяющихся молекул лежат между Е и Е Е [c.244]

Анализ спектров алканов показал также, что молекулу алкана нельзя описывать как систему связанных гармонических осцилляторов [27]. Молекула алкана может совершать колебания, в котором участвуют все или большая часть связей С—С. При такого рода колебаниях накопление энергии может приводить к отщеплению водорода в положениях 1—4 и разрыву молекулы по связи 2—3 [c.23]

Значение гармонического осциллятора как математической модели молекулы основано на двух фактах 1) эта модель является единственной колеблющейся системой, для которой может быть получено точное решение уравнения Шредингера 2) хотя ни одна реальная молекула не ведет себя подобно гармоническому осциллятору, почти для всех молекул эта модель является достаточно хорошим приближением, в особенности при небольшой энергии колебаний. [c.295]

В предположении, что наиболее эффективными являются не вращательные и поступательные, а колебательные степени свободы,и что квант колебательной энергии значительно меньше величины средней тепловой энергии /гv кТ, реагирующую частицу можно рассматривать как классический гармонический осциллятор с х степе- [c.56]

Для гармонического осциллятора потенциальная энергия колебаний пропорциональна квадрату смещения от положения равновесия. Потенциальная энергия колебаний зависит от константы квазиупругой силы, а последняя — только от взаимодействия электрических зарядов ядер и электронов. Кинетическая энергия колебаний 1 I дх [c.157]

Разработка теории теплоемкости твердого вещества была впервые предпринята Эйнштейном в 1907 г. Атомы в узлах кристаллической решетки одноатомного твердого вещества находятся в непрерывном колебательном движении. Эйнштейн при разработке теории теплоемкости твердого вещества допустил, что колебания атомов являются гармоническими, а следовательно, атомы можно уподобить гармоническим осцилляторам. Согласно квантовой теории Планка (1900) гармонические осцилляторы могут обмениваться между собой только порциями энергии — квантами е = /IV, а энергия каждого из осцилляторов состоит из п-то количества квантов. Здесь Л —постоянная Планка —частота колебания. [c.200]

Вычислим сумму по состояниям и термодинамические свойства для одноатомного твердого тела. Атомы (ядра) кристаллической решетки твердого тела образуют локализованную систему, и можно вычислить сумму по состояниям Z с помощью суммы по состояниям Q частицы без учета требований симметрии. Каждый атом данной решетки имеет три степени свободы, причем колебания в каждом из трех направлений можно считать равноправными. Поэтому естественно рассмотреть сначала систему из N одномерных гармонических осцилляторов. Такая система представляет интерес не только для вычисления термодинамических свойств одноатомного твердого тела, но также и для вычисления вклада, обусловленного колебаниями ядер в молекулах, в термодинамические свойства газа. Уровни энергии гармонического осциллятора определяются формулой (см. табл. 1) [c.302]

Теплоемкость системы линейных гармонических осцилляторов может быть рассчитана дифференцированием внутренней энергии II (95.6) по температуре [c.304]

Уравнение для дисперсионной энергии в виде (4.77) выводится достаточно просто, причем основная трудность состоит в численном определении его коэффициентов. Точные квантовомеханические расчеты были выполнены, вероятно, только в случае систем, состоящих из атомов водорода или гелия [61]. Для сложных систем атомов и молекул необходимо несколько приближений. Одним из самых простых приближений является идеализированная модель атома или молекулы, для которой все необходимые величины можно легко вычислить и оценить на основании некоторых экспериментально определяемых величин, в частности из измерений поляризуемости. Например, для этих целей можно использовать гармонический осциллятор [6, 60, 62] или флуктуационные модели [63]. [c.200]

Подробно динамический анализ статистического поведения молекулярных систем проведен в работах [330, 334]. Степень эргодичности многоатомной молекулы характеризуется спектрами автокорреляционных функций обобщенных импульсов нормальных колебаний, получаемых при расчете классических траекторий. Площадь спектра определяет энергию данной нормальной моды, поэтому по виду спектра во времени можно охарактеризовать процессы перераспределения энергии внутри молекулы. При малых энергиях молекула ведет себя как набор слабосвязанных гармонических осцилляторов и спектры состоят из дискретных линий, а при больших энергиях появляются дополнительные линии в спектре и непрерывный фон. [c.105]

Пусть 1>1, 1>2.....— набор частот квантовых гармонических Осцилляторов, тогда энергия данного состояния определяется набором квантовых [c.254]

Допущение, что скорость дезактивации не зависит от внутренней энергии, является до некоторой степени грубым. Имеется экспериментальное доказательство, что скорость потери колебательной энергии молекулой Ij при столкновении примерно в 100 раз больше для высоко возбужденных состояний, чем для более низких энергетических состояний. Ельяшевич [4], Мотт и Массей [5] сделали приближенные квантовомеханические расчеты, которые указывают, что при соударении с атомом потеря или приобретение кванта колебательной энергии гармоническим осциллятором пропорциональна энергии осциллятора. Другая работа по этой проблеме заключалась в экспериментальном изучении дисперсии звука в газах. Эти измерения показали [6], что для самых низких вибрационных состояний величина Хо равна около 10 , но может сильно варьировать от газа к газу и сильно зависит от химической природы соударяющихся газов. [c.210]

ВИСИТ от того, сколько именно членов входит в выражение для кинетической и сколько — в выражение для потенциальной энергии. Однако вывод закона упрощается, если рассматривается одинаковое число членов s, выражающих потенциальную ll2fq и кинетическую 112т)р энергию. Физически это соответствует допущению, что полное движение молекул представлено числом s независимых гармонических осцилляторов. Энергию молекулы в этом случае можно записать так [c.100]

Изложенные рассуждения основывались на классической механике. В квантовой механике плазменные колебания можно проквантовать. В соответствии с общими правилами квантования гармонического осциллятора энергия кванта плазменных колебаний называемого плазмоном) где Л — постоянная Планка, а плазменная частота Qe определяется соотношением (3.16). Квантование движения изменяет равновесное максвелловское распределение электронов в плазме. Если энергия электрона равна энергии одного нли нескольких плазмонов, то [c.54]

Этот пыпод основан на предположении, что один из осцилляторов представляет собой слабую связь, которая разорвется, когда приобретет энергию Е. Для молекулы, состоящей из п слабо связанных гармонических осцилляторов, вероятность того, что у молекулы с энергией Е по крайней мере Е ес будет локализована на одном осцилляторе, дается выражением (1 — E EУ - . Предполагается, что константа скорости к (Е) пропорциональна этому отношению, причем коэффициент пропорциональности А есть средняя скорость внутренних переходов энергии в молекуле. Эти предположения могут быть оправданы как для классической так и для квантовой модели молекулы. [c.199]

НО его трудно использовать количественно. Грубая квантовомеханическая модель, дающая непосредственные результаты, была впервые предложена Райсом и Рамснергером [13, 14] и Касселем [7]. Они предложили рассматривать молекулу как систему, состоящую из 5 слабо связанных гармонических осцилляторов, которые имеют одинаковые частоты. Затем было постулировано, что такая молекула разлагается тогда, когда один осциллятор имеет критическую энергию, равную т квантам или более. Если такая молекула имеет 5 осцилляторов ( степеней свободы) и имеется / квантов, распределенных среди них, то полное число способов распределения / квантов среди 5 осцилляторов равно д з, /), причем [c.219]

Механизм обмена энергий между молекулами в жидкости можно проиллюстрировать схемой, показанной на рис. 2.1. Представим, что в жидкости, состоящей из хаотически расположенных молекул (рис. 2.1,а), образовался ассоциат с упорядоченно расположенными молекулами (рис. 2.1,6), состоящий из двух колеблющихся в противофазе групп — двух связанных между собой гармонических осцилляторов. Образование каждого осциллятора, состоящего из п упорядоченно расположенных молекул, взаимодействующих между собой с энергией и лкс (максимальная энергия межмолекулярного взаимодействия двух молекул), будет сопровождаться выделением энергии, равной АЯосц (энергия образования ассоц-иата) [c.27]

Чтобы получить выражение для воличины кол, рассмотрим сгачала гармонический осциллятор, обладающий частотой v. Энергия уровней такой модели относительно нижнего состояния, энергия которого принимается за нулевую, равна hv, 2hv, 3/ v и т. д. Тогда [c.309]

Что же касается расчета микроскопического коэффициента скорости /с второй фазы прфцесса мономолекулярного распада, то здесь наиболее убнешными оказались теории, основанные на статистическом подходе. Молекула представляется в виде системы гармонических осцилляторов, и энергия равновероятно распределена но всем степеням свободы. Поскольку число осцилляторов 5 равно числу учас+вующих в активации степеней свободы, а их частоты все равны между собой, то коэффициент скорости зависит лишь от полной энергии, и задача состоит в том, чтобы вычислить вероятность ее концентрации на одной связи. [c.82]

Рассмотрим в рамках этих предположений колебате.тьную релаксацию смеси двухатомных газов (молекулы А и В) в тепловом резервуаре инертного одноатомного гааа М. Релаксационные кинетические уравнения строятся по общим формулам (8.28) с учетом VI- и резонансных и квазирезопапспых межмолекулярных УУ-процессов. Если предположить, что молекулы можно моделировать гармоническими осцилляторами, то обмен колебательной энергии нри столкновениях А + А и В + В носит чисто резонансный характер. Поэтому, вообще говоря, в системе имеется три различных процесса — резонансный У7-обмен (столкновения Ас А и В с В), квазирезонансный обмен (столкновепия А с В) и УТ -релаксация (столкновения А с А, В, М и В с А, В, М). Соответственно этому имеется три характеристических времени [c.96]

Гармонический осциллятор даже на нулевом колебательном уровне совершает колебания с так называемой нулевой энергией оло. не исчезающей и при температуре О К. В классической механике осциллятор при самом низком энергетическом состоянии покоился бы. Различие квантовомеханического гармонического осциллятора и классического хорошо иллюстрируют графики волновых функций г цл и их квадратов 1 1>к0л1 (рис. 75). Последние указывают плотность вероятности того, что межъядерное расстояние равно г. В классической механике скорость ядер в точках возврата равна нулю, и вероятнее всего можно найти ядра именно в этих точках. В квантовой механике для нулевого колебательного уровня вероятность нахождения ядер в точках возврата очень мала, а наиболее вероятное положение ядер отвечает равновесному расстоянию (рис. 75). Для уровня с [c.158]

Сравним потенциальные кривые гармонического осциллятора и реальной молекулы (см. рис. 74). Как видно, только нижняя часть поа енциальной кривой молекулы, т. е. участок, отвечающий малым амплитудам, напоминает параболу. Поэтому приближение гармонического осциллятора пригодно лишь для малых колебаний. Кривая гармонического осциллятора — бесконечная парабола, т. е. ему можно сообщить энергию колебаний кол ° - В отличие от этого, как видно из реальной потенциальной кривой, сообщив молекуле конечную энергию, равную или более высокую, чем ее можно разорвать на два атома. Колебательный спектр реальной молекулы в отличие от спектра гармонического осциллятора состоит из ряда полос с уменьшающейся интенсивностью и сходящихся в области высоких частот к границе, за которой наблюдается область сплошного спектра (рис. 76). [c.160]

Для определения колебательной составляющей внутренней энергии необходимо суммировать 11 слагаемых, которые находим по экспериментальным значениям частот колебаний и вьфождений колебаний в таблицах термодинамических функций Эйнштейна для гармонического осциллятора [c.112]

Введем в рассмотрение функцию / , ( ) — число состояний системы с энергией Е, распределенной по / квантовым осцилляторам. Поясним рекурренту, позволяющую определять эту функцию для системы из / гармонических осцилляторов, зная ее значение для системы из (/ — 1) гармонических осцилляторов [c.254]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология