Ньютона метод решения уравнений

Таким образом, решение краевой задачи формально свелось к решению некоторой системы нелинейных конечных уравнений. Для решения этой задачи могут быть использованы стандартные методы решения систем нелинейных уравнений, рассмотренные в главе III метод простой итерации, метод Ньютона, метод Вольфа и другие методы с памятью . [c.109]

Как же найти общий целенаправленный путь решения систем нелинейных уравнений Для этого рассмотрим снова один из методов решения уравнения с одним неизвестным, а именно метод Ньютона, относящийся к группе итерационных методов. Чтобы найти приближенное решение уравнения вида /(х) = О, выбирается начальное приближение х - Хд, которое потом уточняется по следующей итерационной формуле [c.275]

Формально описываемый метод сводится к решению системы нелинейных уравнений, поэтому для решения последней можно, вообще говоря, применять обычные методы решения систем нелинейных уравнений. Правда, следует иметь в виду, что поскольку порядок системы может быть велик (М может достигать нескольких десятков), целесообразно использовать не все методы. Вряд ли желателен, например, метод Ньютона, применение которого потребовало бы в данном случае на каждой итерации вычислять матрицу частных производных порядка М. По той же причине нецелесообразно использовать метод Вольфа, требующий предварительного построения [М + 1)-го приближения. С другой стороны, может оказаться полезным применение методов с памятью , у которых т М. [c.111]

Типы численных методов. Решение уравнений. Отделение корней. Методы дихотомии, Ньютона, простых итераций. Алгоритмы методов. 2 [c.158]

В случае нелинейной системы дифференциальных уравнений для решения уравнения (7.9) можно воспользоваться методом Ньютона—Рафсона, (см. формулу (7.7)). Для этого найдем матрицу частных производных дО (Х")/ЗХ [c.272]

Аналогичными уравнениями описывается распространение тепла в твердом теле. Совпадение математического описания процессов диффузии и теплопроводности позволяет полностью использовать весь математический аппарат теории теплопроводности, рассматривающий методы решения уравнения (2.41), основы которого были разработаны Фурье [96]. Законы теплопроводности и диффузии, отраженные в уравнении (2.40), в сочетании с уравнениями Ньютона для тепловых потоков [97] или Щукарева— Нернста для потоков вещества [67, 98], где постулированы пропорциональность потоков разности температур между поверхностью твердого тела и окружающей средой или разности соответствующих концентраций, позволили распространить круг решаемых задач на гетерогенные системы. [c.88]

Поскольку ни С, ни ре/р не изменяются заметно при изменении состава смеси, на практике при решении полученной системы удобно рассматривать уравнение импульса отдельно от уравнений неразрывности компонентов и энергии и решать егО отдельно с помощью релаксационного метода (разд. 6.1), параллельно используя нестационарный алгоритм для остальных уравнений сохранения. При фиксированном значении градиента скорости а обеспечивается весьма быстрая сходимость по f и V к профилям, соответствующим преобладающим значениям температуры и плотности. Непосредственное применение метода Ньютона к решению уравнений неразрывности компонентов и энергии не приводит, как правило, к успеху, и в настоящее-время нестационарный подход является, по-видимому, наиболее предпочтительным. Соответствующие нестационарные соотношения, используемые вместо уравнений (7.36) и (7.46),, имеют вид [c.119]

Методы решения задач динамики. При решении задач динамики механизмов, например при исследовании движения машинного агрегата или отдельных элементов машин, обычно применяют уравнения динамики в одной из трех форм второго закона Ньютона, уравнения кинетической энергии, уравнения Лагранжа второго рода. [c.43]

Общий шаг итерационного процесса Ньютона для решения такой системы будет состоять из 1) решения каким-либо из численных методов уравнений (10.14) при некоторых начальных условиях р, (0) и параметрах X,- 2) построения и решения системы линейных алгебраических уравне- [c.143]

В своих работах Рафсон цитирует Ньютона, который использует аналогичный метод для решения уравнения Кеплера. Это и есть метод Ньютона - Рафсона, который часто называют просто методом Ньютона, поскольку мы не знаем, кто первый применил метод к решению систем нелинейных уравнений. [c.262]

Считается, что метод решения систем линейных уравнений известен при наличии лишь нескольких переменных пользуются детерминантами, а в общем случае — матричным методом. По методу Ньютона — Рафсона систему нелинейных уравнений с исходными переменными сводят к системе линейных уравнений, выраженных через поправки к исходным переменным. Возьмем, чтобы не усложнять задачу, систему уравнений с тремя неизвестными [c.562]

Решение уравнения (3.1.14) можно осуществить методом Ньютона, согласно которому шаг dt по направлению параметра t на i-й итерации определяется по формуле [c.132]

Отметим, что уравнение (111,18) можно получить, применив метод Ньютона для решения системы fi (х) = О, г = 1,. . ., п. [c.135]

Интегралы вычисляются с помощью ряда (3.113) с использованием блочной структуры матрицы и и векторов fl и f2. Затем ищется решение уравнения (3.108) методом Ньютона с начальным приближением корня О = 1. Если ньютоновские итерации сходятся, т.е. получено решение с шагом [c.84]

В данной работе для вычисления интеграла использовался метод Симпсона, для решения уравнения (2) метод Ньютона. В табл. I приведены примеры решения уравнения (2) для различных параметров распределения Гаусса. [c.99]

В настоящее время наиболее часто применяются локальные методы решения систем нелинейных уравнений — метод простой итерации, метод Ньютона и метод Вольфа. [c.91]

Они являются аналогом и обобщением известных электротехнических методов контурных токов и узловых напряжений для расчета линейных электрических цепей в сочетании с методом Ньютона для решения системы нелинейных алгебраических уравнений [242, 247, 248, 132, 140] Как известно [57, 177 и др.], при решении системы нелинейных урав-иений (х) = С 1 ( ) I , I относительно векторного аргумента [c.66]

Необходимые условия экстремума для (11,15) сводятся к сложной системе нелинейных уравнений, решение которой требует преодоления многих вычислительных трудностей, увеличивающихся по мере роста ошибок измерений и степени несовместности системы. Поиск работоспособного метода решения данной задачи привел к следующей модификации метода Ньютона. [c.155]

В примере 15 была решена подобная задача при этом решение уравнения для определения температуры кипения (см. рис. 3.12) было выполнено методом Ньютона. [c.137]

Решать систему уравнений (2.10) при фиксированных температурах и плотности вследствие ее нелинейности и достаточно большой размерности целесообразно численными методами. Использование метода Ньютона для решения приводит к еле дующей итерационной схеме, сводящейся в основном к решению системы линейных уравнений относительно поправок А/, [c.28]

Методом, который в принципе лучше использует информацию и не зависит от экспериментальных данных, является метод ограниченной молекулярной динамики. Этот метод основан на использовании по возможности наиболее хорошей исходной структуры, параметры которой вводят в качестве коэффициентов в N классических уравнений движения Ньютона для отдельных атомов, входящих в макромолекулу. Решения уравнений движения находят численным интегрированием. Ускорение г-го атома массой nil определяется производной по пространственным координатам потенциала взаимодействия между атомами V [c.142]

Метод Ньютона — Рафсона может применяться для совместного решения уравнений. В ситуациях, похожих на описываемую, обычно предпочитают найти численные значения необходимых производных, например [c.493]

Искомыми переменными являются (УУ значений), Т. Всего имеется N + 1 переменных. Так как система уравнений (6.44), (6.45) нелинейная, то рещение ее проводится итерационными метода . Рассмотрим алгоритм решения уравнений (6.44), (6.45) методом Ньютона. [c.235]

Другим возможным методом решения рассматриваемой задачи является метод релаксации. Здесь также в качестве независимых переменных выбирают составы жидкости на тарелках колонны, но в отличие от метода Ньютона уравнения покомпонентного баланса (6.85) представляют в виде [c.262]

Расчетные формулы для решения уравнения (7.3896) методом Ньютона при выражении коэффициентов активности по уравнению НРТЛ имеют вид [c.410]

В результате из необходимых условий экстремума при условиях (56) получено недостававшее нам ранее уравнение. Теперь можно решать систему уравнений (56), (8) относительно неизвестных 1п любым методом решения систем нелинейных уравнений. Мы воспользуемся методом Ньютона. Производйьхе от (56) но 1п Ь суть элементы / = 1, 2,. . ., т—2), а [c.178]

Эти офаничения в основном были преодолены за счет применения алгоритмов одновременного решения всех уравнений с использованием итерационных методов линеаризации Ньютона, которые фуппировали уравнения по ступеням контакта. [c.236]

К итерационным методам решения систем нелинейных уравнений относятся метод простой итерации и такие его разновидности с улучшенной сходимостью, как метод модифицированной итерации метод доминирующего собственного значения (DEM) [21 ] и обобщенный метод доминирующи.х собственных значений (GDEM) [22] метод Ньютона и его модификации различные разновидности метода секущих, в частности, методы Вольфа, Барнза, Бройдена, методы с памятью и др. [c.67]

Бели построить итерационный процесс (4) для произвольной дважды дифферепцируемон функции / (х), полученный метод совпадает с методом Ньютона для решения системы уравнений (т) = О и будет методом Ньютона для минимизации функции / (х). Метод Ньютона является квадратичным. Это связано с тем, что для положительно определенной квадратичной формы метод (4) находит минимум За один шаг. [c.268]

Однако если разорвать потоки 14 — 10 и 7—8, для согласования условно-выходных и условно-входных переменных нужно решать систему нелинейных уравнений (27Уз + 2)-го порядка. Тако разрыв схемы позволяет значительно снизить порядок решаемой системы, что особенно сказывается при наличии большого числа параллельных агрегатов. Например, для схемы одного из заводов, СК где N<2 = 1, а Л з = 2, при разрыве первым способом получается система 20-го порядка, вторым — 6-го. При реализации процесса в одну техноло1 ическую цепочку эта разница не так значительна (системы 6-го и 4-го порядков). Однако опыт расчета подобной схемы на машине Минск-22 показал, что при одинаковых начальных условиях и методе решения системы уравнений (метод Ньютона) число итераций сократилось незначительно, а время расчета — в 1,5—2 раза за счет уменьшения объема вычислений на. каждой итерации. С увеличением значений ТУз преимущество второго способа разрыва схемы перед первым по числу итераций и времени расчета существенно возрастает. [c.303]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

Система (II, 6) должна быть близка к линейной это условие будет выполняться, если начальное приближение находится достаточно близко от решения системы (И, 6). Действительно, при этих условиях шаг в соответствии с (II, 14), (II, 23) будет почти ньютоновским, примененным к системе, близкой к линейной, а, как мы видим, метод Ньютона дает решение системы линейных уравнений за один шаг. При невыполнении этих условий трудно ожидать хорошей сходимости метода. А поскольку при плохом начальном приближении второе условие часто не вьшолняется, то и метод в этих случаях сходится не очень быстро. И, действительно, типичная картина зависимости нормы правых частей системы от номера итерации проиллюстрирована на рис. 9. Вначале достаточно долго наблюдается очень медленная сходимость, и только в конце итерационного процесса норма начинает очень быстро уменьшаться, т. е. сверхлинейная сходимость появляется только в конце итерационного процесса, когда выполняются оба условия, матрица Я становится близкой обратной матрице Якоби, а система (II, 6) вследствие близости итерационной точки к точке решения становится близкой к линейной. [c.71]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Ниже будет описан только один метод решения систем нелинейных уравнений — метод Ньютона — Рафсона. Он имеет достаточно широкую область применения, достаточно прост по своей сути и вполне приемлем для решения задач, рассматриваемых в данной книге. На практике иногда может возникнуть необходимость в использовании более сложных методов, для которых в библиотеках имеются машинные программы. Некоторые из этих методов однованы на решении системы уравнений [c.561]

Решение уравнений (6.419) - (6,424) находим, используя метод Ньюто-.ча. Для системы уравнений произвольного порядка алгоритм метода Ньютона в обобщенном виде может быть представлен как [c.312]