Математические модели марковские процессы

В работе [20] предложена и подробно рассмотрена двухконтурная ячеечная модель с переменной структурой химического реактора с мешалкой, которая представляет новый рациональный подход в математическом описании структуры потоков в реальных аппаратах на основе использования свойств стохастических марковских процессов. [c.235]

Математическая модель неустановившегося потока дисперсной фазы в слое насадки [7]. Рассмотрим объем колонны достаточно больших размеров, равномерно заполненный беспорядочно уложенной насадкой, в котором происходит случайное неориентированное движение струй или капель (пузырей) дисперсной фазы. Струи (капли, пузыри) рассматриваются как однородные изолированные макроэлементы, не подверженные эффектам слияния (коалесценции) и разбиения (редиспергирования). При построении вероятностно-статистической модели процесса будем полагать, что случайный характер движения дисперсной фазы в насадке подчиняется закономерностям непрерывного марковского процесса. Это значит, что вероятность перехода элемента дисперсной фазы, находящегося в момент времени в точке насадочного пространства, в точку М, достаточно близкую к точке М , за время А4, отсчитываемое от момента 1 , не зависит от состояния системы до момента 1 . [c.351]

Математические модели кинетики роста микроорганизмов, образования продуктов биосинтеза и утилизации субстратов отличаются от известных моделей химической кинетики. В основу большинства используемых моделей роста микроорганизмов положены уравнения ферментативной кинетики микробиологических процессов [1—4, 23, 27]. Однако, учитывая значительное число протекающих в клетках стадий биохимических ферментативных реакций, применение законов ферментативной кинетики носит в большинстве случаев формальный характер. Отличительной особенностью большинства моделей является использование в качестве основного параметра модели численности или концентрации микробной популяции. Именно большая численность микробных популяций позволяет широко применять при моделировании кинетики роста детерминистический подход, опирающийся на хорошо развитый аппарат дифференциальных уравнений. В то же время известны работы, в которых используются стохастические модели кинетики [25]. Среди них распространены работы, основанные на простой концепции рождения и гибели , что в математическом аспекте позволяет применять аппарат марковских процессов. В более сложных моделях микробная популяция представляется Б виде конечного числа классов, каждый из которых ха- [c.53]

Математическое моделирование акустической эмиссии на основе теории марковских процессов [46] позволяет описать наблюдающиеся закономерности изменения интенсивности АЭ со временем, в частности их немонотонный характер. Пуассоновский поток АЭ-событий рассматривался как частный случай марковского процесса, порожденного рождением и гибелью структурных эле -ментов материала в объеме или на поверхности твердого тела (дислокации, двойника, пятна контакта поверхностей при их взаимном трении и других). При определенных значениях параметров рассмотренной модели расчетные зависимости изменения скорости счета со временем соответствуют наблюдаемым при пластическом деформировании материалов, в процессе приработки поверхностей трения, при некоторых видах коррозии. В частности объяснено появление максимума на зависимости N(t), наблюдавшегося во многих случаях после начала процесса или скачкообразного изменения его интенсивности. [c.184]

Вообще говоря, под математической цепью можно понимать любую последовательность чисел или других математических объектов (например, символов, векторов, множеств и т. д.), между которыми существует какая-то взаимосвязь. А. А. Марков под цепью понимал последовательность случайных чисел, вероятности появления которых взаимосвязаны. Точнее, вероятность значения каждого последующего числа связана с предыдущим. Таким образом, здесь, как и в механической цепи, есть звенья-чнс-ла и связь между ними, только она не механическая, а математическая— вероятностная. В дальнейшем такие математические цепи были названы в науке марковскими. Конечно, то, что сейчас было сказано, нуждается в уточнениях и разъяснениях. Это и будет сделано нами в дальнейшем. Но стоит ли в популярной форме рассказывать читателям о математических цепях Мы не случайно назвали их замечательными. Дело в том, что наряду с другими видами математических моделей (а марковские цепи — это тоже математическая модель), таких, например, как дифференциальные уравнения, нормальный закон распределения случайных величин и т. д., обладающих поразительной универсальностью и применяемых поэтому в самых различных областях науки и техники, марковские цепи занимают вполне достойное место. Они не только дают возможность математически моделировать самые разнообразные явления в природе и технике, но и послужили основой для создания новых наук теории надежности, теории массового обслуживания и др. Кроме того, марковские цепи дали начало новому большому разделу теории вероятностей — теории случайных процессов. Но есть и другие причины появления этой книги. [c.4]

Поскольку вероятность перехода в каждое последующее состояние зависит от предыдущего, то наблюдаемую нами последовательность прыжков лягушки мы можем трактовать как дискретную марковскую цепь. Эту цепь можно считать математической моделью процесса передвижения лягушки. [c.33]

Этим примером мы хотели показать, что аппарат марковских цепей может применяться и при неоднородных статистических процессах. Надо лишь, чтобы статистически однородными были этапы этих процессов. Конечно, получаемые при этом результаты будут сопровождаться теми или иными погрешностями. Но ведь и любая математическая модель отражает то или иное физическое явление только с определенной точностью. [c.121]

Мы подробно остановились только на двух простейших алгоритмах случайного поиска, математическая модель которых описывается марковскими цепями. На самом же деле их разработано довольно много. Большое число алгоритмов основано, например, на принципе самообучения, использующем целесообразное изменение вероятностных свойств алгоритма, т. е. в разумное управление вероятностью. Алгоритм начинает работу в условиях равновероятностного поиска. Затем по мере накопления информации о свойствах оптимизируемой функции переходные вероятности изменяются, обеспечивая более эффективный поиск. В этом случае мы имеем дело уже с управляемыми марковскими цепями, случайными процессами, в которых имеется неслучайное (детерминированное) управление. О них уже щла речь выше. [c.134]

Демон, о котором мы сейчас рассказали, потребуется нам для рассказа о возможности применения марковских цепей при математическом описании одного весьма сложного физического процесса, называемого диффузией. Изучение процесса диффузии имеет большое научное и практическое значение. Дыхание и питание живых организмов, обменные процессы в растениях, сохранение чистоты окружающей среды — все это основано на явлении диффузии. Получение многих веществ в химии, новых сплавов в металлургии, коррозия и средства защиты от нее, упрочнение поверхностей деталей в машиностроении, крашение и дубление кожи, изготовление многих продуктов питания — вот далеко не полный перечень технических приложений явления диффузии. Для изучения явления диффузии сделано многое, и тем не менее здесь очень нужна математическая модель, дающая возможность количественной оценки характеристик процесса. [c.145]

В качестве математической модели, описывающей эволюцию технической системы во времени, используется случайный процесс ( ), принадлежащий к одному из следующих классов случайных процессов регенерирующие случайные процессы, марковские случайные процессы, полумарковские случайные процессы. [c.286]

Необходимо при известной стоимости замены (под профилактикой в этих работах понимается замена элементов системы) определить такую стратегию (правило) замены, которая минимизирует средние удельные затраты на проведение профи-лактнк в единицу времени. Такие задачи рассмотрены в работах [12, 121, 122] и относятся к стареющим радиоэлектронным системам. В работе [12] для решгння задачи увеличения показателей готовности и надежности сложных объектов на основе определения оптимальной стратегии управления поведением системы используется математическая модель марковского процесса переходов системы из состояния в состояние. Показано, что задачи по вычислению стратегии управления, считав-щиеся задачами динамического программирования, можно решать с использованием алгоритмов линейного программирования. Однако в этих работах [12, 121, 122] не излагается практическая реализация результатов решения указанной задачи. [c.94]

Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. Он показал, что при некоторых упрощающих предположениях решениями этих уравнений являются известные в литературе функции распределения Пуассона, Танга, Кремера-Лансинга и др. С помощью математического аппарата теории дискретных марковских процессов построены модели кинетики структурных превращений в ферритах -шпинелях, активированных в планетарных машинах разработана обобщенная модель кинетики механорасщепления зерен на примере природного полисахарида - крахмала. Из основного кинетического уравнения Паули выведены стохастические модели ряда элементарных химических реакций, протекающих в дисперсных системах при механическом нагружении частиц твердой фазы. Проведен анализ выведенных уравнений и выявлены преимущества статистического метода описания кинетики химических реакций перед феноменологическим. [c.19]

Пример 7.5.5.S. Стохастическая модель измельчения для среднего размера частицы. Как следует из статистического анализа измельчения дисперсных материалов в различных аппаратах, измельчение можно рассматривать как случайный марковский процесс [102]. Такой подход впервые был использован в [ЮЗ-106], где на основе математического аппарата случайных процессов, постулируя для макрокинетических актов законы измельчения Кирпичева — Кика, Риттин-гера. Бонда и др., получено математическое описание изучаемого процесса. Учитьшая дискретность структуры дисперсных материалов, полагаем, что для описания измельчения можно использовать и математический аппарат разрывных процессов Маркова [95, 107, 108]. Следуя [110], измельчение представим в виде схемы (рис. 7.5.5.3), которая соответствует неоднородному марковскому процессу рождения. В этой схеме сочетание сплошных и пунктирных линий означает, что [c.692]

Здесь будет уместным поговорить о возможных типах стратегий. Конечно, их может быть очень много, ведь на каждом этапе требуется перебирать как разные варианты и длительности периода Т между очередными профилакти-ками, так и технологии ремонтных работ, что скажется на длительности проведения и качестве ремонта. Но сначала введем еш,е одно важное понятие, относяш,ееся к управляемым марковским процессам. Раньше мы говорили о марковском свойстве применительно к вероятностной связи между состояниями. Такую же связь можно рассматривать и между стратегиями, т. е. каждый раз определять, зависит ли наше поведение, заключаюш,ееся в выборе способа управления процессом на последуюш,ем шаге, от более ранних состояний или определяется только на основании информации о состоянии на данном этапе. Если такой зависимости нет, то стратегия называется марковской. Значит, марковская стратегия предполагает управление каждым последующим шагом только на основании данных о предыдущем. Образно говоря, марковская стратегия напоминает поведение капризного и легкомысленного человека, который поступает так или иначе, не анализируя предшествующего хода событий, а думая только о том, как ему живется сейчас, в данную минуту. Это, конечно, не значит, что такая стратегия и на самом деле легкомысленная . Ведь речь идет только о математической модели, которая всегда обладает определенной абстракцией. Можно, конечно, изучать и более глубокомысленные страте- [c.90]

Инженерные методики расчета барабанных впбросмесите-лей в настоящее время разработаны недостаточно глубоко, как это сделано, например, для виброконвейеров и виброгрохотов. Для проектирования оптимальных вибросмесителей используют математические модели, которые учитывают структуру потока частиц внутри смесительной камеры, режимные параметры, геометрию перемешивающего органа, свойства компонентов смеси. Большинство математических моделей основывается на теории случайных марковских процессов [48]. [c.168]

Тем не менее в 4.6 и 4.7 были получены приближенные выражения установившейся плотности вероятности фазовой ошибки в системе второго порядка при немодулированном сигнале и в системе первого порядка при сигнале, промоду-лированном по частоте одномерным марковским процессом. И в том, и в другом случае дифференциальное уравнение в частных производных, содержащее две переменные величины, приводилось к обыкновенному дифференциальному уравнению для фазовой ошибки ф с коэффициентами, в которые входило условное математическое ожидание. Для этого коэффициента было получено приближенное выражение при помощи линейной модели, после чего появлялась возможность решить полученное уравнение. Этот приближенный метод соответствует оценке установившейся дисперсии фазовой ошибки ф на основе линейной модели и подстановке обратного ее значения вместо величины сс в выражение [c.149]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология