Примеры задач динамического программирования

В качестве примера применения динамического программирования рассмотрим задачу из области техники расчета и проектирования реакторов. На рис. 15-22, а изображена схема ряда последовательно включенных реакторов полного смешения, причем в соответствии [c.347]

По ходу динамического программирования ключевое значение получает состояние 5 главного потока, входящего в отдельный элемент процесса, так как оно определяет оптимальное значение технологической переменной базовой системы ступени и состояние главного потока на выходе. Таким образом, при динамическом программировании в базовую систему элемента процесса не будут входить переменные целевой функции (в примере программирования работы компрессора — значения и и ), а будут приняты те переменные, которые характеризуют состояние главного потока (в примере с компрессором — значения давленип Р2 и Рз). Это изменение создает большие преимущества для расчета. Представленная на рис. 15-19 первоначальная задача состоит в том, чтобы одновременно оптимизировать единую целевую функцию с Р переменными [c.346]

Единый подход к решению широкого класса задач па разыскание экстремума функции большого конечного числа переменных дает теория динамического программирования Веллмана [7]. Сущность этой теории покажем на примере типичной задачи оптимизации, возникающей в химической технологии. Требуется найти оптимальный режим для последовательности N реакторов (или Л -стадийного аппарата), причем на каждой стадии варьируется М независимых переменных. Пронумеруем реакторы в обратном порядке, так что первый номер присваивается последнему, а N-й — первому по ходу потока реактору. Состояние потока на выходе п-го реактора обозначим индексом 71 в соответствии с этим исходное состояние потока обозначается индексом -/V 1 (рис. 1Х.З). Состояние реагирующего потока в общем случае описывается некоторым вектором X. Вектор X часто совпадает с вектором состава С в более сложных случаях, однако, компонентами вектора X могут быть, помимо концентраций ключевых веществ, также и температура потока, давление и пр. [c.381]

В приведенных ниже примерах 1-3 и 1-4 иллюстрируется применение метода динамического программирования. Они относятся к простым задачам, которые могут быть решены и более элементарными методами. [c.220]

Общая процедура решения задачи методом динамического программирования. Проиллюстрируем процедуру решения задачи оптимизации многостадийного процесса на примере процесса,. в котором размерность векторов состояния № и управления) uW на каждой стадии равна единице. Это позволяет повысить [c.268]

Выше уже отмечалось, что метод динамического программирования находит весьма широкое применение при решении задач оптимизации процессов химической технологии. Значительное число примеров соответствующих оптимальных задач, сформулированных в терминах указанного метода, можно найти в литературе [2, 3]. В подавляющем большинстве практических задач конечное решение получают только в численной форме. Однако в очень простых случаях оно может быть найдено в аналитическом виде, что видно из приведенных ниже примеров, которые наглядно позволяют проследить основные моменты использования метода динамического программирования при решении задач оптимизации. [c.287]

Задача нахождения оптимального температурного профиля в реакторе идеального вытеснения для обратимых реакций рассматривалась выше (см. пример III-8). Однако в данном случае представляет интерес получить ее решение методом динамического программирования, чтобы подробнее проанализировать [c.303]

Рассмотренные в настоящей главе примеры использования метода динамического программирования для решения оптимальных задач затрагивают лишь относительно небольшую область возможного применения этого метода. Более полные сведения об его использовании для решения задач оптимизации могут быть найдены в достаточно подробном изложении в литературе [2, 3, 5, 6]. [c.308]

К многомерной схеме динамического программирования приводится не только задача выбора диспетчерских правил управления водохранилищами, но и ряд других из области водного хозяйства и мелиорации. Приведем два примера. [c.201]

Хорошим примером метода, использующим специфические свойства ступенчатых систем, является динамическое программирование. Поэтому мы и начнем с него как с пути, ведущего к непрерывной задаче и вариационному исчислению. [c.297]

Когда динамическое программирование может быть применено, размерность задачи можно оценить следующим образом. Предположим для примера, что в уравнении (4) ш = 5 для интегрирования от = 0 до / = 7 необходимо рассмотреть 100 временных интервалов. Тогда можно предложить путь выбора и путем оценки всех возможных результатов. Например, если положить, что и может иметь 20 различных значений, то количество различных значений Р, из которых следует сделать выбор, будет равно [c.304]

В работе приводится пример графического решения задачи распределения для кусочно-линейных характеристик, основанный на методе динамического программирования. [c.57]

В качестве примера задачи с четырьмя переменными рассмотрим оптимизацию степени превращения сернистого ангидрида путем подбора температур на входе в каждый из четырех слоев реактора SO2. Предполагается, что эти температуры можно свободно изменять. Хотя действующие в сернокислотном производстве теплообменники и ограничивают свободу выбора входных температур слоев, найденное оптимальное их распределение все же полезно сравнить с фактическим распределением. Это позволит определить, насколько производственный температурный режим далек от оптимального. Блок-схема процесса показана на фиг. 12.3а. Далее в этой же главе данная задача будет решена также методом динамического программирования. [c.285]

У-10. к примеру 1У-5. Решение задачи методом динамического программирования. [c.235]

В данной главе, на которой базируется все последующее изложение материала, отмечаются характерные особенности подхода к решению задач с помощью динамического программирования, а также преимущества и недостатки этого метода. Большинству инженеров-технологов описываемая методика решения задач с помощью динамического программирования покажется новой. Поэтому мы попытаемся в первой главе помочь читателю понять сущность этой новой методики. Более подробные объяснения и примеры будут приведены в соответствующих местах книги. [c.13]

При приложении динамического программирования к решению конкретных задач мы часто встречаемся с одними и теми же словесными выражениями и соображениями. Эти общие положения излагаются здесь в качестве отправных моментов. Лучшему пониманию существа предмета будет способствовать рассмотрение конкретных примеров, проводимое в последующих главах. [c.15]

В качестве иллюстрации рассмотрим числовой пример, полагая й = 3, = 10. Обычный комбинаторный подход требует в этом случае анализа 3 л 5,9-10 комбинаций. В противоположность этому метод поэтапного расчета, применяемый в динамическом программировании, требует анализа только 30 комбинаций. Если теперь рассмотреть процесс, где й = 3 и = 100, то окажется, что обычный комбинаторный подход потребует анализа 3 я 5,15-10 возможностей, тогда как, пользуясь методом динамического программирования, достаточно проанализировать лишь 300 комбинаций. Перечисление и классификация возможностей в рассматриваемом случае комбинаторным методом является очень сложной задачей. Так, если допустить, что на оценку каждой имеющейся возможности затрачивается 10 сек, то для полного анализа потребуется около 10 час. Такое большое ожидание ответа, конечно, немыслимо. [c.23]

В этой главе читатель в первый, но не в последний раз столкнется с вычислительной стороной метода динамического программирования. Крайне желательно при этом тщательно рассмотреть числовые примеры, что позволит уяснить смысл функциональных уравнений. В этой связи от читателя требуется хорошее понимание поэтапного характера решений методом динамического программирования, а также того, каким образом этот метод позволяет решать задачи, перед которыми пасуют обычные методы прямого расчета и вариационного исчисления. [c.26]

В гл. 5 сделана попытка изложить общую точку зрения на вычислительные аспекты динамического программирования. Предложен стандартный метод решения задач, а также рассмотрены ситуации, при которых обычный подход неприменим. Последнее в основном относится к многомерным задачам методы их решения обсуждаются в ряде разделов. Во многих случаях подробно рассматриваются числовые примеры. Так как эти примеры настолько просты, что их можно решить без вычислительных машин, читателю будет полезно получить результаты самостоятельно. [c.176]

Опишем кратко содержание главы. В разд. 2 обсуждается необходимость применения численных методов при использовании динамического программирования. В разд. 3 объясняется разница между комбинаторным методом и динамическим программированием и дается простой числовой пример, который решается обоими методами. В разд. 4—9 описана техника вычислений для дискретных задач. Рассмотрено также решение многомерных задач. В разд. 10 сравниваются методы решения задач распределения с помощью динамического программирования и дифференциального исчисления. Следующие несколько разделов посвящены вопросам, связанным с последовательными приближениями, аппроксимациями в пространстве функций и аппроксимациями в пространстве стратегий. Простейшая задача распределения решается несколькими [c.176]

Размерность задачи, определяемая числом управляющих переменных и фазовых координат, часто требует рассмотрения сеток большой размерности. Это существенный недостаток метода. Как при увеличении размерности сетки, так и при уменьшении шага сетки быстродействие и объем памяти машины становятся недостаточными. Задачам большой размерности уделялось много внимания, и было потрачено много усилий для их решения. Если бы нам в настоящее время нужно было указать пример принципиального ограничения применимости динамического программирования, мы, без сомнения, назвали бы задачи большой размерности. В этой главе будут рассмотрены некоторые приемы и способы сокращения размерности. [c.179]

Из этого примера видно, что с помощью дифференциальных уравнений и множителей Лагранжа действительно можно решать такие задачи. Вопросы, связанные с возможными трудностями при решении уравнений для различных комбинаций т] и должны быть рассмотрены другими приемами. Именно в связи с этим динамическое программирование оказывается более простым методом. Вместо того чтобы совместно решать большое число уравнений, с помощью динамического программирования можно свести задачу к рассмотрению последовательности функций, зависящих лишь от одной из переменных, описывающих концентрации (см. разд. 2 гл. 3). В методе, использующем дифференциальные уравнения, каждому ограничению соответствуют два уравнения одно—для ограничения, другое—для связанного с ним множителя Лагранжа. В методе динамического программирования каждое ограничение сужает допустимую область и в сущности облегчает решение задачи. [c.199]

В динамическом программировании часто бывает удобно рассматривать непрерывные варианты задач. В этом разделе сначала будет описан непрерывный вариант задачи управления запасом при фиксированном начальном запасе, а затем получена оптимальная стратегия. Для иллюстрации используемых методов приведен специальный пример. Из непрерывного варианта будет получен аналог УУ-стадийного процесса. [c.378]

В книге в доступной форме изложены основы методов оптимизации химических производств (классический анализ, вариационное исчисление, принцип максимума, динамическое, линейное, нелинейное и геометрическое программирование). Сформулированы общие положения, касающиеся выбора критериев оптимальности химико-технологических процессов, и приведены их математические модели. Рассмотрены задачи оптимизации конкретных процессов. Второе издание (первое издание выпущено в 1969 г.) дополнено изложением основ геометрического программирования, а также примерами, иллюстрирующими практическую реализацию методов нелинейного программирования. [c.4]

Кроме того, на примере оптимизации реактора изложен подход к решению реальной вариационной задачи с ограничениями типа неравенств. Решение этих задач представляет собой, вообще говоря, весьма сложную проблему. Однако задачу оптимизации реактора идеального вытеснения все же можно решить, если принять во внимание некоторые свойства оптимизируемого процесса. К сожалению, и общем случае не представляется возможным указать достаточно удобные методы решения вариационных задач с ограничениями тйпа неравенств. Поэтому для каждого конкретного процесса приходится искать са.мый удобный прием или же решать задачу с помощью других методов, например динамического программирования или принципа максимума, более приспособленных для решения таких адач. [c.222]

Общая процедура решения задачи методом динамического программирования. Проиллюстрируем процедуру решения задачи оптимизации многостадийного процесса на примере процесса, в котором размергюсть векторов состояния и управления на каждой стадии равна единице. Это позволяет повысить наглядность проводимых рассуждений при помощи графическ[1Х построений. [c.255]

Выбор метода решения определяется, прежде всего, спецификой инженерной постановки задач. Естественно, всегда, когда возможно, целесообразно использовать суш,ествующие методы решения задач, в частности стандартные, но часто необходима разработка новых методов. Приведем несколько примеров специальной разработки или модификации методов решения математических задач применительно к водным проблемам. Схема ветвей и границ использована для решения ряда водохозяйственных задач в потоковой постановке [Хранович, 2001]. Решение задачи вертикальной планировки орошаемых земель базируются на методе групповой координатной оптимизации [Коробочкин и др., 1972]. Метод разгонки невязок [Левит-Гуревич, 1969] был разработан для решения задач гидравлики. Многошаговые схемы динамического программирования находят широкое применение в многочисленных водохозяйственных приложениях. Модификации этой схемы для решения конкретных задач излагаются в последуюш,их главах настояш,ей монографии. [c.63]

Единый подход к аналитическому решению широкого класса задач на разыскание экстремума функции большого конечного числа переменных дает теория динамического программирования Веллмана [1]. Сущность этой теории покажем на примере типичной задачи оптимизации, возникающей в химической технологии. Требуется найти оптп. 1альный режим для последовательности N реакторов (или Л -стадийного аппарата), причем на каждой стадии варьируется М независимых переменных. Пронумеруем реакторы в обратном порядке, так что первый номер присваивается последнему, а И-я — первому по ходу потока реактору. Состояние потока на выходе /г-го реактора обозначим индексом п в соответствии с этим исходное состояние потока обозначается индексом //-Ы (см. нижеи.риведенную схему) [c.238]

Динамическое программирование применяется при решении многих задач, связанных с управлением химическими процессами. Наприйер, в процессе используется катализатор, активность которого падает с течением времени, вследствие чего его надо периодически заменять требуется выбрать условия ведения процесса и назначить сроки замен катализатора для максимизации прибыли Описаны и другие примеры Можно ожидать дальнейшего развития метода и расширения области его применения [c.446]

Задача распределения нагрузок между реакторами с катализатором различной активности рассматривается в статье В статье Робертса а также в его монографии для решения задачи распределения нагрузок между реакторами используется метод динамического программирования. В работе Коттера подробно рассматривается задача распределения нагрузок между конкретными промышленными аппаратами с помощью метода наискорейшего спуска и метода динамического программирования. Приводятся подробно разработанные примеры распределения нагрузок газовых компрессоров и теплообменников. [c.78]

Ниже рассматриваются методы поиска и возможности стыковки этих методов с программой PA ER. Сначала дается пример поиска по одной переменной методом золотого сечения . Затем излагается метод Хука — Джинса — прямой поиск в многомерном пространстве. И наконец, обсуждается динамическое программирование — метод, позволяющий разбить многостадийную задачу на ряд более простых задач. [c.280]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология