Арифметическое среднее выборочной совокупности

Коэффициенты Стьюдента используют для вычисления доверительного интервала вокруг среднего арифметического выборочной совокупности (сравнить с формулой 10.7) [c.142]

Рассмотрим результаты некоторого эксперимента, состоящего из п повторностей — х (выборочная совокупность объема п). Будем предполагать, что форма распределения генеральной совокупности известна (например, нормальная). Можно показать [5, 34, 57], что лучшей (несмещенной, состоятельной, эффективной) оценкой среднего значения является выборочное среднее — х (среднее арифметическое), рассчитываемое по формуле [c.140]

В теории погрешностей доказывается, что если погрешности следуют закону распределения Гаусса, то наиболее вероятным и надежным значением измеряемой величины является математическое ожидание или среднее арифметическое полученных равноточных результатов измерений. Строго это положение относится к гипотетической генеральной совокупности, т. е. совокупности всех наблюдений, мыслимых при данных условиях. Арифметическое среднее этих наблюдений называют генеральным средним ц. В аналитической химии число параллельных определений обычно невелико и совокупность полученных результатов называют выборочной совокупностью или случайной выборкой. Сред-нее значение результатов случайной выборки называют в ы-борочным средним. Методами статистического анализа можно по результатам случайной выборки оценить параметры генеральной совокупности и таким образом найти наиболее вероятное значение содержания компонента в пробе. [c.126]

Определение 2. Выборочной средней хв называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности. [c.300]

В выборочной совокупности результаты располагаются вокруг арифметического среднего этой совокупности [c.140]

Для конечной выборки из п наблюдений выборочная средняя X представляет собой среднее арифметическое из п наблюдений но мере того, как п стремится к бесконечности, х в пределе приближается к генеральной средней д. Соответственно выборочное стандартное отклонение 5 приближается в пределе к стандартному отклонению совокупности а. Выборочное стандартное отклонение выражается уравнением [c.583]

По вариантам выборочной совокупности вычисляют арифметическое среднее мпыб- Закономерность появления отклонений у него близка к той, которая наблюдается в случае генеральной совокупности. Однако небольшие отклонения появляются реже, а более значительные —чаще. Такое распределение отклонений называют [c.133]

Выборочная совокупность. Закон -распределения Стьюдента. Доверительный интервал среднего арифметического выборки. [c.137]

На практике при экспериментальном изучении различных явлений исследователи не имеют в своем распоряжении истинных значений характеристик случайных величин. Поэтому им приходится оценивать характеристики на основании опытных данных. Ввиду ограниченности экспериментальных данных такие оценки являются приближенными и их называют выборочными оценками-, выборочная дисперсия 2, выборочное математическое ожидание и т. д. Выборочное математическое ожидание для набора параллельных определений вычисляют как среднее арифметическое ( ). Весь набор значений случайной величины называют генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, получаемую исследователями из экспериментов, называют выборкой. [c.12]

Проверка соответствия выборочной и генеральной средних при известных характеристиках генеральной совокупности. Постановка задачи. Известны характеристики (среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение или дисперсия или коэффициент вариации) какого-либо процесса или величины (генеральная совокупность). Имеется также ряд дополнительных значений этой величины (результаты текущего контроля, измерения после каких-либо изменений процесса, выборочные дан- [c.116]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

Рассчитанное значение / -функции для двух сравниваемых выборок находят как частное 5 /5 , причем оно составлено таким образом, что в числителе всегда находится большая из двух сравниваемых выборочных дисперсий. Если рассчитанное значение Р на заданном уровне значимости меньше табличного значения кр (/ь /г) ( 1 соответствует выборке с большей дисперсией), можно считать, что анализы, представленные соответствующими выборками, равноточны. Отсюда следует возможность их совместной обработки — усреднения и вычисления генерализованной дисперсии. Естественно, усреднение результатов можно производить только в том случае, если нет значимых различий не только для дисперсий, но и для средних арифметических выборочных совокупностей. [c.105]

Значение арифметического среднего Ивыбг вычисленного в случае выборочной совокупности, не совсем совпадает с арифметическим ст)едним й, вычисленным в случае генеральной совокупности. Несовпадение носит вероятностный характер и может быть оценено с учетом несовпадения -распределения с распределением в случае генеральной совокупности. На практике для этой цели пользуются доверительным интервалом [c.134]

Среднее арифметическое ряда параллельных анализов лучше характеризует результат анализа, чем отдельные значения, т. е. отягощено минимальной случайной ошибкой. Получив представительную выборочную совокупность результатов измерений (л>20), стандартное отклонение оценивают по дисперсии [c.111]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

Выборочный контроль по количественному признаку (ГОСТ 20736—75) заключается в том, что у определенного количества единиц продукции (выборка) измеряют значение контролируемого параметра, вычисляют среднее арифметическое для выборки и оценивают его отклонение от граничного значения. Иногда принимают два (верхнее и нижнее) граничных значения. Эти отклонения сравнивают с заранее установленными контрольными нормативами и по результата сравнения принимают решение о соответствии или несоответствии продукции установленным требованиям. При таком контроле ставится задача оценки некоторой измеряемой величины X (прочности материала, геометрического размера изделий) в большой партии изделий N (генеральной совокупности) путем измерения X в выборке из п случайно отобранных образцов. Теория вероятности должна решить задачу о необходимом количестве образцов для достижения требуемой точности оценки. [c.46]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

Если этот параметр неизвестен, то приходится вычислять выборочное его значение. Достаточно хорошее приближение значения 5 к сг (за счет достаточной репрезентативности) достигается, если обрабатываются данные не менее 20—30 измерений. По мере уменьшения выборки вероятность меньшей репрезентативности (т. е. несовпадения значений х и а) возрастает. Это обстоятельство приходится учитывать, тем более что при малом числе наблюдений приходится увеличивать доверительные пределы значения среднего арифметического (для генеральной совокупности) 1, компенсируя этим элемент неопределенности из-за малого количества наблюдений. Это увеличение тем больше, чем меньше число наблюдений. [c.32]

Отсюда следует, что выборочная средняя вне этого диапазона маловероятна. То есть арифметическая средняя, равная 2600, значима, что указывает на маловероятность ее достижения на старом оборудовании. Следовательно, совокупность показателей дневной выработки изменилась. Это подтверждает заявление начальника производственного отдела о том, что при использовании нового оборудования выработка стала другой. [c.90]

Пример I. Сравнение двух выборочных средних арифметических и двух дисперсий. Были поставлены две группы параллельных экспериментов. Исследователя интересует, являются ли результаты экспериментов выборками из одной генеральной совокупности, т. е. являются ли средние величины xi и xz, полученные из этих групп измерений, оценками одного и того же математического ожидания и являются ли выборочные дисперсии и 2 оценками одной и той же генеральной дисперсии а (х). [c.18]

Предположим, что среднее арифметическое значение х и выборочное среднеквадратическое отклонение 5 определены по результатам выборки объемом п из генеральной совокупности X. Тогда по таблицам /-распределения для и - 1 степеней свободы находим значение 1 , дня которого справедливо равенство [c.31]

Разумеется, выборочная средняя для различных выборок того же объема п из той же генеральной совокупности будет получаться, вообще говоря, различной. И это не удивительно — ведь извлечение г-го по счету объекта есть наблюдение случайной величины Xi, а их среднее арифметическое [c.300]

При таком определении между выборочными квадратичной и средней арифметической ошибка.ми останется такое же соотношение, какое имеет место для соответствующих величин в генеральной совокупности. Определение [c.75]

Если статистической обработке подвергаются большие выборки, функция распределения которых не сильно отличается от нормального закона, то в этом случае для выборочных квадратичной и средней арифметической ошибок можно пользоваться тем соотношением, которое имеет место для соответствующих величин в генеральной совокупности, так как при достаточно большом п величина /(п—1)/п в выражении (4.10) мало отличается от единицы. Но этот прием становится совершенно непригодным, когда материал, подлежащий обработке, представляет совокупность, состоящую из небольших групп измерений. Если мы подсчитаем две средние арифметические ошибки для одного и того же множества измерений. [c.76]

Если величину возможного отклонения (ошибки) выборочной средней от среднего арифметического всей совокупности объектов обозначить через т, то [c.90]

При отборе средней пробы, испытания которой давали бы надежные результаты для оценки всей партии, одной из важных задач является установление численности образцов, составляющих среднюю пробу. Для решения этой задачи необходимо задаться желае.мой точностью результатов. Показатель точности Р представляет собой отношение возможного отклонения (ошибки) выборочной средней т к генеральной средней (среднего арифметического всей совокупности М), выраженное в процентах, [c.92]

Надо определить, какое значение pH более оптимально для синтеза рибофлавина Ba illus sublilis. Прежде всего необходимо посмотреть, не совпадают ли точки двух закономерностей. Для этого применим критерий достоверности разности между средними арифметическими двух выборочных совокупностей. Разница (/Иг — Л ]) имеет статистическую ошибку, с которой ее можно сравнить и установить, достоверна эта разница или нет. Нуль гипотеза две изучаемые выборочные совокупности происходят из одной и той же генеральной, и разница между их М случайна, т. е. лежит в пределах ошибки выборочности. Чтобы иметь право отвергнуть нуль-гипотезу, надо доказать, что Мг — Mi) достоверна. Для этого пользуются нормированным отклонением 1 [c.53]

Статистические параметры группы, объединяющей выборка пз разных совокупностей. В отдельных случаях может возникнуть необходимость определить параметры распределения, состоящего пз нескольких частных распределений (например, графически изображенных на рис. 2). Такая ситуация может иметь место, например, при сопоставлении результатов анализа пробы в нескольких лабораториях, если выборочные значения средних арифметических л ,- или коэффициентов вариации у,-, полученных в каждой из лабораторий, столь отличны, что пренебречь этим нельзя. [c.28]

Определение. Если выборки объемом п взяты из совокупности со средней арифметической ц и среднеквадратическим отклонением а, то распределение выборочных средних имеет среднюю арифметическую ц и среднеквадратическое отклонение s Jn Л [c.88]

Поскольку в аналитической химии число параллельных определений невелико (обычно выполняют два, три или пять определений), совокупность полученных результатов называют выборочной говокупностью или случайной выборкой то, следовательно, величины X и 5 будут соответственно именоваться выборочное среднее арифметическое значение и выборочное стандартное отклонение. Необходимо помнить, что систематические погрешности, выявленные при меньшей выборке, на фоне большей могут стать случайными и что математические ожидания (X) для различных по объему выборок также не совпадают. [c.128]

В этой главе мы также рассмотрели распределение вероятностей. В частности, нормальное распределение, определяемое значениями средней арифметической и среднеквадратического отклонения. Непрерывное распределение вероятностей играет важную роль, оно возникает в ряде реальных ситуаций и особенно полезно при рассмотрении результатов выборочного обследования. Например, независимо от формы распределения, очерчиваемой исходной совокупностью, при взятии больших выборок и определении значений средних эти средние имеют тенденцию, что является фактом, приближаться к нормальному распределению. Знание такого распределения позволяет оценить вероятности различных переменных, например результаты оценочных тестов, критические объемы производства, поступление пациентов и длительность реализации проекта. Далее, нормальное распределение можно использовать при прогнозировании вероятностного диапазона получаемых значений, что достигается путем оценки участков под нормальной кривой. Это лежит в основе некоторых прак- [c.93]

Необходимо обратить внимание на то, что хорошее совпадение результатов повторных определений (хорошая воспроизводимость) еще не свидетельствует о правильности полученных результатов. При хорошей воспроизводимости среднее арифметическое выборочной совокупности Ывыб будет близко к среднему арифметическому генеральной совокупности и. Однако это не дает никакой информации о наличии или отсутствии систематических погрешностей. Сказанное поясняет рис. 31. [c.142]

Составляют таблицу, в которую за -носят в порядке возрастания значения зарядов в импульсах, число импульсов одинаковой величины, а также накопленную частоту и накопленную ча -стость. По данным таблицы строят график в логарифмически-нормальной координатной сетке. На оси абсцисс откладывают значения зарядов в импульсах, а на оси ординат — накопленную частость (рис. II). По совокупности нанесенных точек проводят аппроксимацион-ную прямую. При этом крайние точки можно не принимать во внимание. Пользуясь аппроксимационной прямой на оси абсцисс, находят точку А, соответствующую частости 50%. Логарифм значения заряда, соответствующего точке Л, есть среднее арифметическое логарифмов выборочной в импульсах [c.219]

Часто рассматривается такая важная характеристика, как выборочная средняя. Производится выборка из совокупности, и находится ее средняя арифметическая. Полученный результат позволяет сделать выводы по всей совокупности. В целом, если совокупность имеет среднюю арифметическую ц, то выборочная средняя может быть относительно близка к этому значению. И действи- [c.87]

Рассмотрим совокупность упаковок с шоколадом весом 400 г производства компании Даунбрукс . Вся продукция имеет среднюю арифметическую 400 г и среднеквадратическое отклонение 20 г. Каждый час из произведенной продукции отбираются и взвешиваются по 25 упаковок, а затем фиксируется выборочное среднее. Эту информацию можно использовать для определения распределения этих выборочных средних. Мы знаем среднее совокупности ц = 400 и среднеквадратическое отклонение совокупности а = 20, а также объем выборок п = 25. [c.88]

В компании Даунбрукс полагают, что средний вес определенного шоколадного изделия составляет 400 г. Известно, что среднеквадратическое отклонение при этом равно 20 г. На линии выборочно обследовали 100 изделий и установили, что среднее арифметическое составляет 402 г. Проверим, опровергает ли данное обследование предположение о средней совокупности. [c.90]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология