Доверительный интервал в выборочной

В основе статистических оценок нормально распределенных случайных величин по выборочным параметрам лежит распределение Стьюдента, связывающее три важнейших характеристики выборочной совокупности — ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки п (или число степеней свободы выборки / = [c.833]

Коэффициенты Стьюдента используют для вычисления доверительного интервала вокруг среднего арифметического выборочной совокупности (сравнить с формулой 10.7) [c.142]

Стандартное отклонение среднего результата, выборочную дисперсию среднего значения, доверительный интервал и точность определения используют для различных статистических расчетов. При оценке точности полученных результатов вычисляют стандартное отклонение среднего результата (среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического) [c.195]

Если определены средние выборочные значения х и 5, то для данного уровня значимости а ( называемого степенью риска) при нормальном распределении можно определить границы доверительного интервала, в котором находится истинное значение математического ожидания с вероятностью, равной 1 — а по формуле [c.42]

Доверительные интервалы для дисперсии. Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии нормальной плотности вероятности, воспользуемся тем фактом, что выборочное распределение (/г—1)5 /а совпадает с распределением случайной величины [c.122]

Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида (мочевины) при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений 5а = = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для [c.835]

Пример 2. Среднее из 8 определений содержания никеля в стали равно 1,76 %. Выборочное стандартное отклонение равно 0,08 %. Определить ширину доверительного интервала для среднего из восьми и единичного результата анализа, отвечающего 95 %-ной доверительной вероятности. [c.94]

Выборочный коэффициент корреляции является статистической оценкой генерального коэффициента корреляции и ему соответствует определенный доверительный интервал для заданного уровня значимости. В частности, с помощью специальных таблиц можно оценить значимость отличия выборочного коэффициента корреляции от нуля, т. е. проверить гипотезу о наличии линейной корреляции. [c.160]

Следовательно, 100(1—а)%-ный доверительный интервал, основанный на выборочной оценке 5 имеет вид [c.123]

Равенство (4 4 5) пропорционально равенству (4 4 3), и, согласно принципу правдоподобия, информация относительно параметра р, содержащаяся в обоих экспериментах, одинакова Если же принять метод выборочных распределений, то выводы, которые должны быть сделаны из этих двух экспериментов, будут разными, так как выборочные пространства и распределения вероятностей являются в них различными Следовательно, доверительный интервал для р в первом эксперименте отличался бы от доверительного интервала во втором [c.148]

Выборочные корреляции, для которых 95%-ный доверительный интервал не содержит нуля [c.229]

Генеральную дисперсию получить нельзя из наблюдений, ее можно только оценить при помоши выборочной дисперсии 5 . Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки п. На практике эту погрешность не учитывают при п 50 и в формуле (П.49) для доверительного интервала [c.41]

На рис 9 3 показаны 95%-ные доверительные пределы для различного числа степеней свободы выборочной спектральной оценки Эти значения взяты из [4] Например, при V = 27 и К г = 0,5 получаем доверительный интервал Р 17°) [c.143]

Уравнение (12.1-19) есть теоретическая основа для оценки генерального среднего 1 по выборочному среднему X путем расчета соответствующего доверительного интервала в виде X Ьа/л/п (более подробно см. ниже). [c.428]

Колебания фильтрационных свойств суспензий оцениваются по выборке объемом и, равной количеству обследованных операций или опытов. Коэффициент воспроизводимости В представляет собой отношение нижнего предельного значения доверительного интервала величины, характеризующей свойства суспензии к среднему или выборочному значению этой величины. В качестве величин, характеризующих свойства суспензий, могут служить Q, V o или av. Если в цикле фильтрования есть промывка и обезвоживание осадка, то размах колебаний этих операций может быть непропорциональным размаху колебаний собственно фильтрационных свойств суспензии V o и av- В этом случае величину В необходимо определять из соотношения [c.220]

В анализе следовых количеств очень редко бывает достаточно данных для того, чтобы в расчете доверительного интервала использовать а. Обычно вместо ст по уравнению (2.11) рассчитывают выборочное стандартное отклонение s тогда в уравнениях (2.12) — (2.14) k нужно заменить на t(n-i),Jl/n (односторонний интервал) или на i(n-i),2a/y (двусторонний интервал). Значения t как функции числа степеней свободы г = п 1 и а могут быть взяты из таблиц [46]. Большинство научных карманных калькуляторов имеет встроенную программу для вычисления t. [c.40]

Константы а и 6 — выборочные оценки теоретических параметров а и / . Как и для отдельных значений [уравнение (3.9)], для а и 6 можно указать доверительный интервал. Для этого сначала вычисляют дисперсию разности между опытными (у,) и рассчитанными У, значениями [c.167]

Одна из основных задач аналитика при оценке случайных погрешностей химического анализа — нахождение функции распределения, которой описываются экспериментальные данные. Из математической статистики следует, что случайная величина считается заданной, если известна функция ее распределения. Эта функция может быть представлена функциональной зависимостью или графически. Данные большинства аналитических определений при наличии генеральной совокупности результатов химического анализа подчиняются закону нормального распределения (распределение Гаусса). Однако закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (п < 20). Для обработки таких выборок в химическом анализе используют распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики ширину доверительного интервала, соответствуюш ую ему вероятность и объем выборки. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.269]

Построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X при доверительной вероятности р—0,95, если среднее выборочное х = 20,5 получено по четырем измерениям, считая дисперсию, равную 0,81 а) генеральной б) выборочной. [c.74]

Оценку неизвестного Генерального среднего квадратического отклонения сг определяют.- ло выборочной дисперсии и сопоставляют его с допустимой погрешностью измерений Сто, соответствующей установленным нормативам. По экспериментальным данным вычисляют выборочную дисперсию 8х и границы доверительного интервала, покрывающего неизвестный параметр с доверительной вероятностью р >ах >о , где [c.240]

При небольшом числе определений (2—4), когда выборочная дисперсия существенно отличается от генеральной дисперсии о , в соотношение (97) вводится коэффициент нормированных отклонений при малой выборке — (коэффициент Стьюдента), который зависит от числа определений п и коэффициента надежности а. В этом случае доверительный интервал записывается следующим образом [c.198]

Чем больше принятая доля риска для единичного результата анализа (или интервала результатов), тем больше возможность завысить точность результата. Интервал погрешностей, соответствуюший принятой доверительной вероятности Р, называют доверительным интервалом. Доверительный интервал выборочного среднего арифметического рассчитывают по формуле [c.131]

Ошибка от замены генеральной днсперсин выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки п. На практике эту погрешность не учитывают при л 50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала [c.41]

Обе эти величины 5 и а применимы к интерпретации результатов химического анализа, а их значения являются объективной мерой отклонения результатов от среднего значения, т. е. характеризуют случайные погрешности анализа. Существенно, однако, отметить, что из двух введенных стандартных отклонений только последнее является величиной постоянной, т. е. может служнть-параметром функций распределения и однозначно определять-вероятности случайных погрешностей анализа. Величина 5 органически связана с числом параллельных анализов /г и, следовательно, оценки случайных погрешностей с ее помощью должны быть опосредованы через величину п. Кроме того, ввиду недостатка информации о характере распределения для выборок малого объема статистические оценки возможных ошибок (погрешностей) с помощью выборочного стандартного отклонения должны носить более неопределенный характер, чем посредством генерального параметра а. Как будет показано ниже, это приводит-к тому, что заданной ширине доверительного интервала погрешности, оцененной через 5, отвечает меньшая доверительная вероятность в сравнении с оценкой через о. [c.76]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Доверительный интервал для среднего значения. Чтобы проиллюстрировать метод выборочных распределений и продемонстри- [c.120]

Следовательно, 100(1 — а)%-ный доверительный интервал, осно-ваный на выборочных оценках 5 и полученных из двух независимых выборок, имеет вид [c.123]

Под заголовком Ряд 2 в табл 5.3 приведена типичная выборочная корреляционная функция, сосчитанная после того, как метод получения случайных чисел был улучщен. Заметим, что лищь для Рхх (29) доверительный интервал не накрывает нуль Это находится в согласии с гипотезой о том, что временной ряд является чисто случайным [c.230]

Поэтому при построении выборочной оценки сг.ектра доверительный интервал для всех частот можно указа 1ь одним вертикальным отрезком [c.308]

Спектральный анализ радиолокационных данных. Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий метод, изложенный в разд 7 3 3 На рис 7 16 показана выборочная корреляционная функция отраженного радиолокационного сигнала, изображенного на рис 5 1 На рис 7 17 приведены выборочные оценки нормированного спектра, полученные с помощью окна Бартлетта при 2, = 16, 48 и 60 для ряда, состоящего из N = 448 членов Частотный диапазон обозначен от О до 0,5 гц, поскольку настоящий диапазон несуществен Мы видим, что при = 16 выборочная оценка плавная и не выявляет пика, существование которого можно было бы ожидать из-за осцилляций корреляционной функции При = 32 (этот случай не показан на рисунке) появляются вполне различимые пики приблизительно на частотах / = 0,07 гц и 0,25 гц Увеличение Ь до 48 выявляет эти пики очень наглядно, и далее видно, что при увеличении до 60 спектр меняется мало Поэтому было взято значение = 60, для которого эквивалентная ширина полосы частот равна 1,5/60 = 0,025 гц, и выборочная оценка на каждой из оцениваемых часгот имеет 3 448/60 22 степени свободы, что является приемлемой величиной Доверительный интервал при = [c.45]

Преобразуя это выражение, получим формулу для оценки генерального среднего /х по выборочному среднему X в виде следующего доверительного интервала [c.431]

Закон нормального распределения неприменим для обработки малого числа измерений выборочной совокупности (и < 20). Для обработки таких совокупностей в химическом анализе используют распределение Стьюдента (/-распредление), которое связывает между собой три основные характеристики пшрину доверительного интервала, соответствующую ему вероятность и объем выборочной совокупности. Прежде чем рассматривать распределение Стьюдента и его применение для обработки данных химического анализа, остановимся на некоторых основных характеристиках выборочной совокупности. [c.46]

Для проверки гипотезы о среднем значении и вычисления доверительного интервала в одномерном случае обычно используется статистика, получающаяся в результате деления разности между выборочным средним значением в и гипотетическим математическим ожиданием 0 генеральной совокупности на средкеквадратическое отклонение а. Если выборка произведена из совокупности (0, ), то величина [c.41]

Оценка математического ожидания норд1ально распределенной случайной величины. При отсутствии грубых и систематических ошибок математическое ожидание случайной величины совпадает с истинным результатом наблюдений. Поэтому оценка математического ожидания имеет важное значение при обработке наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (см. гл. II. 8). Генеральную дисперсию аг нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии iP. Ошибка от замены генеральной дисперсии выборочной будет тем меньше, чем больше объем выборки и. На практике эту погрешность не учитьшают при л >50 и в формуле (11.49) для доверительного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стандартом. В дальнейшем предполагается, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение. [c.45]

Ятс,< — это доверительный интервал величины (5, который зависит от выборочной диепереии 3-, или среднего квадратичного отклонения 3, выбраинотл степени вероятности Р и числа обследованных операций, объема выборки [c.213]

На практике / -распределение используют при проверке точности приборов, инструментов, методов исследований, устойчивости технологических процессов и т. п. В химико-аналитичебкой практике х -распределение используется для проверки гипотезы о соответствии выборочной дисперсии результатов анализа 5 с генеральной дисперсией, Оо , соответствующей нормативам точности. Доверительный интервал для оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительной вероятности р находят по табл. 15.5 таким образом, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины д, причем вероятности выхода за обе границы интервала были бы равны между собой. [c.240]

Итак, пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами а и сг, причем сг известно. Построим доверительный интервал, покрываюш,ий неизвестный параметр а с заданной надежностью 7. Данные выборки есть реализация случайных величин Х, Х2, Хп, имеюш,их нормальное распределение с параметрами а и сг ( 53, п. 1). Оказывается, что и выборочная средняя случайная [c.309]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология