Отклонение стандартное среднего результата

Доверительный интервал ( х). Если воспроизводимость результатов измерений (методики анализа) характеризуют стандартным отклонением, то сами результаты измерений (определений) характеризуют доверительным интервалом среднего значения Ах, который рассчитывают по формуле [c.30]

Особый интерес представляет стандартное отклонение среднего результата х или, что то же самое, стандартное отклонение среднеарифметической величины х [c.55]

Стандартное отклонение среднего результата, выборочную дисперсию среднего значения, доверительный интервал и точность определения используют для различных статистических расчетов. При оценке точности полученных результатов вычисляют стандартное отклонение среднего результата (среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического) [c.195]

Сопоставим погрешности разной природы с основными метрологическими характеристиками воспроизводимостью и правильностью результатов анализа. Отсутствие в Химическом анализе систематических погрешностей обеспечивает его правильность. Кучность отдельных результатов, степень их. близости к среднему значению характеризует воспроизводимость анализа. Воспроизводимость-характеристика случайных погрешностей химического анализа. Ее численной мерой является абсолютное 3 или относительное Зг стандартное отклонение, вычисляемое из результатов нескольких параллельных определений. Количественной оценкой систематической погрешности анализа или правильности служит разность между средним арифметическим результата многократных анализов и истинным значением определяемой величины [c.31]

Основным количественным выражением неопределенности измерения являются стандартная неопределенность (и) и суммарная стандартная неопределенность (мс). Под стандартной неопределенностью понимается неопределенность результата измерения, выраженная в виде среднего квадратического отклонения (СКО), под суммарной стандартной неопределенностью - стандартная неопределенность результата измерения, полученного через значения других величин, равная положительному квадратному корню из взвешенной суммы дисперсий или ковариаций этих величин в соответствии с тем, как результат измерения изменяется при изменении этих величин. Эти определения ясно показывают, что введенные понятия являются полными аналогами известных понятий теории погрешностей среднеквадратическая погрешность ( среднее квадратическое отклонение погрешности ) и среднеквадратическая суммарная погрешность . [c.260]

Как вычислить стандартное отклонение среднего результата [c.193]

Рассчитывают средний результат Х = 2Х,//г и стандартное отклонение отдельного результата [c.194]

Стандартное отклонение среднего результата определяем по формуле (6) [c.198]

Коэффициент /р, / показывает, во сколько раз разность между истинным и средним результатами больше стандартного отклонения среднего результата [c.32]

Генеральная совокупность и выборка в известном смысле соотносятся между собой так же, как исследуемый объект и анализируемая проба. Так же как проба должна представительно отражать состав материала, выборка должна представительно отражать генеральную совокупность результатов измерений. Это достигается оптимальной величиной выборки (числом опытов п). Значения стандартного отклонения 5 и среднего арифметического, например, у, рассчитанные для ограниченного числа определений, называют оценочными величинами для (7 и л генеральной совокупности. Проще можно рассчитать более грубые оценочные величины для стандартного отклонения — это так называемый диапазон значений Я = ут х — —г/тш, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим результатом выборки, а для среднего арифметического — так называемое серединное значение или медиану у. Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений — как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним (или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений (п>10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [c.438]

Иначе говоря, получают абсолютное значение разности сравниваемых средних значений и делят ее на величину стандартного отклонения, рассчитанного для результатов обеих серий определений (в соответствии с уравнениями (498) и (500)) по формулам [c.471]

И стандартное отклонение среднего результата [c.127]

Стандартное отклонение среднего результата равно [c.139]

Распределение величины I по = п—степеням свободы носит название распределения Стьюдента. Сравним его с распределением Лапласа. Если мера отклонения среднего результата измерений от математического ожидания в единицах генерального стандартного отклонения среднего о(л ), то коэффициент Стьюдента — аналогичная мера в единицах выборочного стандартного отклонения среднего результата и- = (Х - ц)/а (Г) = АХ- л/п/а-, 1- = (Х - ц)/5 (X) = АХ- / 3 . [c.833]

Провести выбраковку результатов измерений на уровне значимости р = 0,05, оценить средний результат и стандартное отклонение. [c.837]

По таблице Стьюдента — Фишера (табл. 12) находят критерий Стьюдента для числа измерений п и избранной доверительной вероятности (надежности) а. В обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью а = 0,9 или 0,95. Критерий со степенью надежности а показывает, во сколько раз модуль разности между истинным значением измеряемой величины а и средним результатом X не может быть больше стандартного отклонения среднего результата 5 (средней квадратичной ошибки) [c.133]

Результаты расчетов сводят в таблицу по приводимой ниже форме. Обозначения в таблице следующие а — истинное содер жание компонента п — число измерений X — средний результат 5 — дисперсия стандартное отклонение отдельного резуль [c.134]

И стандартное отклонение среднего результата (средняя квадратичная ошибка среднего арифметического серии измерений) [c.236]

Разброс результатов измерения числа распадов характеризуется величиной ожидаемого стандартного отклонения от среднего значения. Квадрат ожидаемого отклонения (дисперсия) выражается следующим уравнением [c.324]

Рассчитать средний результат и , выборочную дисперсию 5 и стандартное отклонение Sj. [c.818]

Пример. 5. Среднее из ряда измерений э.д.с. гальванического элемента равно 0,674 В. Генеральное стандартное отклонение измерений не превышает 0,003 В. Полагая, что отклонение любого единичного результата, которое реализуется с вероятностью р < 0,003, происходит вследствие значимой причины— промаха, оценить, можно ли считать промахом частный результат Е = 0,693 В. [c.832]

В этом случае границы доверительного интервала определяют как произведение стандартного отклонения среднего результата на критерий / [c.135]

Выявление грубых погрешностей. Приближенно грубыми погрешностями можно считать такие их значения, у которых абсолютное отклонение от среднего превышает утроенное значение стандартного отклонения отдельного результата, т. е. Х1—х>Ззх. [c.136]

Пример 5. Среднее из ряда определений марганца в стали равно 1.74 /о-Генеральное стандартное отклонение для содержаний марганца 0,5—3 % составляет примерно 0,07 %. Полагая, что отклонение любого единичного результата от среднего, которое реализуется с вероятностью < 0,003, происходит вследствие значимой причины — промаха, оцепить, можно ли считать частный результат анализа ха = 1,99 % промахом [c.89]

НЫ грубые погрешности, приступают к вычислению границ доверительного интервала и точности анализа. Начинают расчеты с определения среднего значения х (среднего арифметического или медианы). Затем вычисляют дисперсию 5 и стандартное отклонение среднего результата по формулам (см. табл. 7.2). Величину доверительного интервала определяют как х ер, где гр = = р5- Значения /я приведены в табл. 7.5. [c.138]

Среднего о (л ), то (ц — аналогичная мера, оцененная в единицах выборочного стандартного отклонения среднего результата 5( с) [c.93]

Относительные стандартные отклонения среднего результата при использовании метода двойного стандарта в 1,5—3 раза меньше, чем при работе с единичным стандартом примерно на порядок снижается и систематическая составляющая погрешности. [c.232]

Средние результаты, полученные в обеих лабораториях, очень близки это может свидетельствовать о правильности анализа, т. е. об отсутствии систематических ошибок. Тем не менее расчет стандартных отклонений обеих лабораторий показывает следующее. [c.66]

Это стандартное отклонение является выражением точности метода (оно характеризует разброс рсзул1 .татов). Как указано выше, оно определяет пределы ( 5), в которых заключено 68% вероятности обнаружить результат каждого следующего и .мерения. Не следует отождествлять его ео стандартным отклонением среднего ирифметического измеряемых значений (5т). Результат измерений часго записывают, указывая среднее арифметическое + стандартное отклонение (в нашем примере, 25,9 0,9) однако правильнее указывать точное значение измеряемой величины как среднее арифметическое стандартное отклонение этого среднего, з, , вычисленное по формуле [c.515]

Число точечных проб должно быть тем больше, чем неоднороднее опробуемый материал. Чтобы предел погрешности опробования не превосходил нормированную погрешность анализа необходимое число точечных проб определяют экспериментально, исходя из того, что разброс средних содержаний компонента в объединенных пробах обычно уменьшается пропорционально корню квадратному из числа N объединяемых точечных проб. Напр., отбирают 60-90 точечных проб, получают для каждой результат анализа в соответствии с используемой (возможно более точной) методикой анализа. Находят среднее из всех 60-90 результатов анализа, стандартное отклонение i единичных результатов анализа от их общего среднего (чем неоднороднее материал, тем больше 5) и предел соответствующей случайной погрешности, равной 2 (при обычно принимаемой доверит, вероятности 0,95 см. Метрология химического анализа). Необходимое число точечных тоб N приближенно находят из соотношения (2л/ ) е < /Ю- [c.95]

Пример 4. Среднее из шести определений углерода в пробе органического вещества равно 44,3 %. Выборочное стандартное отклонение S, = 0,4 %. Определить доверительную вероятность того, что средний результат отягощен случайной погрешностью IДЛ 0,25%. В предположении о том, что выборочное стандартное отклонение при дальнейшем увеличении числа параллельных анализов изменится не больше чем на 20 % в сравнении с Su найти, какое число параллельных анализов п надо провести, чтобы повысить до 90 % доверительную вероятность случайной погрешности в оценке среднего значения х, не превышающей 0,25 %. [c.95]

В ходе элементного анализа химик-аналитик нашел, что среднее содержание углерода х, по данным шести параллельных анализов, равно 30,45 % при значении выборочного стандартного отклонения 0,36 %. Значимо ли отклонение среднего результата от теоретически ожидаемого Значимость расхождения может означать либо несоответствие состава анализируемого образца стехиометрическому составу карборунда, либо указывать на наличие систематической ошибки в методике анализа карборунда. [c.110]

Согласно ГОСТ 6356-52 стандартное определение температуры вспышки в закрытом тигле проводится на аппарате типа аппарата Мартенс-Пенского. На этом приборе испытывают продукты как с температурой вспышки выше 50° С, так и ниже 50° С. Для продуктов с температурой вспышки выше 50° С определение проводят точно так же, как и в случае работы на аппарате Мартенс-Пенского. При анализе продуктов с температурой вспышки ниже 50° С нагрев проводят со скоростью 1° в минуту, а испытание на вспышку яачинают при температуре на 10° ниже ожидаемой и проводят через 1°. В момент испытания отверстия крышки открывают на 1 сек. Допускаемые расхождения между параллельными определениями не должны превышать следующих величин отклонений от среднего арифметического сравниваемых результатов при температуре вспышки до 50° С 1° при температуре гзспышки выше 50 +2°. [c.132]

Таким образом, а и характеризуют в идеале стандартное отклонение и среднее арифметическое совокупности результатов всех 1 мерений, так называмой генеральной совокупности, а 5у н у или соответственно Зг я г — стандартное отклонение и среднее арифметическое результатов измерений, полученных на практике для небольшого числа опытов, так называемой выборки результатов измерений из их генеральной совокупности. [c.438]

Статистические методы позволяют установить число параллельных измерений п, необходимое для получения среднего результата с заданной точностью е. Для этого предварительно находят стандартное отклоненне 5 из небольшого числа опытов. Задаются величиной п, вычисляют по формуле (11) значение t и сравнивают его с табличным (а,/ при выбранной надежности а и = п—1. Если то заданное число п обеспечивает точность [c.197]

Результаты расчетов сводят в таблицу по приводимой ниже форме. Обозначения в таблице следующие а — истинное содержание компонента п — число измерений X — средний результат — дисперсия 5 — стандартное отклонение отдельного результата (средняя квадратичная ошибка) — стандартное отклонение среднего результата (средняя квадратичная ошибка серии нзмере- [c.237]

Решение. Доверительной вероятности р = 2а = 0,95 согласно табл. XIV. 1 отвечает ширина доверительного интервала 2о. Следовательно, для единичного измерения показателя преломления полуширина доверительного интервала ДХ1 = ЛХ2 = = 4-10 , т. е. с вероятностью 0,95 результат не выпадает из интервала [1,3326 < 23 1ззз4 Стандартное отклонение среднего из десяти измерений ст (йо) = о/Ую = 6,3 10 - С вероятностью 2а = 0,95 средний результат не выпадает из интервала п 2ст(й ). Иначе говоря, доверительный интервал среднего [c.831]

В основе микростатических оценок нормально распределенных случайных величин лежит распределение Стьюдента, которое связывает между собой три основные характеристики выборочной совокупности ширину доверительного интервала, соответствующую ему доверительную вероятность и объем выборки или число степеней свободы выборки = п — . Применение распределения Стьюдента для оценки неизвестного среднего ц нормальной случайной величины х основано на следующем. Пусть х, х , Хп — независимые наблюдения (результаты анализа) нормальной случайной величины X с неизвестными наблюдателю средним р, и дисперсией (т . Вычислим соответствующие выборочные параметры j и 5 и составим дробь t — х — р,) /5. Эта Дробь имеет рас- пределение Стьюдента с = п—1 числом степеней свободы. Сравним величину I с аргументом функции Лапласа и. Если ыл — мера отклонения среднего результата анализа от математического чэжидания р, в единицах генерального стандартного отклонения [c.92]

Решение. Средние результаты xi, выборочные стандартные отклонения S , содержание меди в добавках С и рассчитанные из этих данных параметры а, Ь, Sa И Si-i, а также предельно допустимые на уровне значимости Р = 0,05 значения случайных погрешностей оценки парметра а и 6 — 1 в соответствии с рас-тфеделением Стьюдента для числа степеней свободы / = 2 — 2 = 8 приведены ниже [c.112]

Возвращаясь к изображенному выше графику, можно пояснить смысл величины s следующим образом. В достаточно большой еерии измерений 68,26% результатов характеризуются отклонением от среднего значения, не превышающим 1 стандартного отклонения (площадь под кривой между точками составляет 68,26% общей площади). Далее, 95,46% измерений характеризуются отклонениями, не превышающими 25 99,73%—отклонениями, не превышающими 3s. Квадрат стандартного отклонения s- нaзывaef я дисперсией распределения дисперсия является основной мерой отклонения, а также еще одним способом выражения прецизионности измерений понятие дисперсии, однако, применяется реже, чем 5, поскольку дисперсия измеряется в единицах, соответствующих квадратам единиц измеряемых величин. [c.515]