Преобразование косинусное

Определяемое выражением (6.5.19) косинусное преобразование косинусного амплитудно-модулированного сигнала (6.5.17) дает спектр [c.382]

По аналогии с выражениями (6.4.6)—(6.4.11) гиперкомплексное фурье-преобразование в выражении (6.4.39) можно записать как вещественные косинусное и синусное фурье-преобразования вещественных компонент s , Sn, Sjr и Sji [c.371]

Поскольку сумма двух экспоненциальных функций вида (6.5.16) пропорциональна косинусному члену в выражении (6.5.17), амплитудную модуляцию можно представить себе как суперпозицию двух взятых с одинаковым весом путей переноса когерентности с частотами в период эволюции оЙ и - оЙ - Действительно, комплексное фурье-преобразование выражения (6.5.17) дает симметричную пару пиков в смешанной моде в точках с частотными координатами (о)], шг) = (о и о г ) и (-о)Й [c.382]

МИ, так и нечетными порядками, все множители можно сделать вещественными (следовательно, С = О = 0). Затем при условии, что два множителя переноса имеют одинаковые амплитуды и знаки (В = 0), посредством косинусного преобразования можно получить 2М-ПИКИ чистого поглощения, как показано на рис. [c.385]

В спектрах спинов 5, входящих в слабо связанную систему, мультиплеты симметричны относительно Ш1 = 0. Следовательно, для тех экспериментов, где химические сдвиги исключаются из ш1-области, можно использовать процедуру, описанную в разд. 6.5.3, а для получения спектра чистого поглощения достаточно выполнить реальное (косинусное) фурье-преобразование по. [c.447]

Поскольку для таких спектров вьшолняются условия симметрии, сформулированные в разд. 6.5.3.1, спектр в моде чистого поглошения можно получить с помощью вещественного (косинусного) фурье-преобразования по Л. [c.456]

В случае когда /3 = тг/2, вещественное косинусное фурье-преобразование приводит к неискаженным двумерным противофазным кросс-пикам поглощения и неискаженным двумерным синфазным диагональным пикам дисперсии. На рис. 8.2.3 показан экспериментальный 2М-спектр, соответствующий рис. 8.2.2, б с /3 = тг/2. [c.488]

О < /3 < тг/2 и тг/2 < /3 < тг вклады в кросс-пики [слагаемые (и) и (м) в выражении (8.2.3)] взвешены функцией 81п /3, но при этом они сохраняют свою симметрию относительно ал = 0. Следовательно, если по 1 осуществляется косинусное фурье-преобразование и спины слабо связаны, то кросс-пики всегда появляются в виде чистого двумерного [c.488]

Амплитуды переноса когерентности ш для данной связанности нетрудно получить из выражения (6.2.14), представляя оператор преобразования R как каскад вращений R Яг Ri. .. Rn, действующих на отдельные спины, и используя выражения (2.1.109), (2.1.118) и (2.1.119). Если вещественное косинусное фурье-преобразование выполняется относительно t, то мы имеем пики с фазами, определяемыми выражением (6.5.22) [c.497]

В слабо связанных системах вещественное косинусное фурье-преобразование приводит к неискаженным по фазе сигналам, т. е. к чистому 2М-поглощению или к чистой 2М-дисперсии соответственно для кросс- и диагональных пиков (рис. 8.2.2, б). В сильно связанных системах, даже если 0 = ж/2, сигналы оказываются смешанными по фазе, поскольку амплитуды Z ,u и Z u,, представленные на рис. [c.503]

Групповая скорость соответствует скорости распространения вершины импульса. Часть энергии распространяется со скоростью, превышающей групповую, и возможно частичное наложение сигналов, переносимых различными волнами. Поэтому особое значение приобретает рассмотрение нестационарных процессов, обусловленных импульсным возбуждением звукопровода. Соответствующая задача может быть решена применением к уравнениям движения, а также начальным и граничным условиям двойных интегральных преоб -разований - синус-косинусного преобразования Фурье для пространственных координат и преобразования Лапласа по времени. Решения в замкнутом виде получены лишь для простейших случаев, имеющих ограниченное практическое значение. Однако можно предположить, что на значительном расстоянии от места возбуждения для не слишком высоких частот характер возмущения практически не зависит от распределения возмущающей нагрузки по возбуждаемому сечению стержня. Показано, что если изменение возбуждающей функции/(0 происходит за время, которое велико по сравнению с наибольшим периодом собственных колебаний тела, эффекты, обусловленные пространственным распределением приложенной силы, затухают на расстояниях, сравнимых с размерами тела, определяющими наименьшую частоту собственных колебаний (динамический принцип Сен-Венана). [c.122]

Основным методом вычисления р (хуг) в соответствии с уравнениями (6.10) и (6.11) является громоздкое разложение косинусной функции. Описание соответствующих программ можно найти в работах [51, 52]. Представляет большой интерес развитие новых методов для ускорения этих вычислений, особенно применение алгоритма быстрого Фурье-преобразования [53, 54], который используется при вычислении -карт. [c.257]

Если интерферограмма не симметрична, то для ее обработки обычно используется комплексное преобразование. В этом случае арктангенс отношения мнимой части спектра у) (синусная часть преобразования) к действительной части Ir ) (косинусная часть преобразования) является фазовым углом, т. е. [c.94]

Косинусное преобразование произведения двух четных функций, таких как (б) и р(б), является сверткой косинусных преобразований каждой функции. Косинусное преобразование (6) является спектром /(V), в то время как преобразование р(Ь) определяет форму вычисляемой спектральной линии. В этом случае интенсивность спектра на произвольной частоте V находится с помощью выражения [c.98]

Первым примером является случай центросимметричной структуры если начало координат выбрано в центре инверсии, то в формуле остается только вещественная часть — косинусные члены суммы. К определенным преобразованиям формул приводит присутствие и других элементов симметрии. [c.113]

С учетом (61) легко вывести выражения в преобразованных координатах для различных спектральных функций, например, для.косинусного спектра [c.221]

Такое наблюдение сигнала называется квадратурным детектированием. Реально оно состоит в использовании двух фазочувствительных детекторов с одинаковыми опорными частотами, ио с различающимися на 90 фазами (рис. 4.19). Для простоты предположим, что первый настроен иа регистрацию косинусной компоненты намагниченности, а второй-синусной (на практике каждый из них регистрирует смесь обеих компонент). Оба сигнала оцифровьшаются отдельно друг от друга и становятся действительной и мнимой частями комплексного спектра. После выполнения комплексного преобразоваиня Фурье мы получим правильно распределенные положительные и отрицательные частоты. Чтобы понять, почему это происходит, нам пришлось бы углубиться в математику преобразования Фурье дальше, чем это нужно неспециалисту. Одиако мы вполне можем понять происходящее на качественном уровне, если используем одно из известных свойств преобразования Фурье сохранение симметрии функции. [c.119]

Под симметрией функции подразумевается ее поведение при изменении знака переменной. Мы выделим два случая если/(-х) =/(х), то функция/ будет называться четной, если же /(— х) = —/ х), нечетной. Мы сразу сообразим, что синус-это нечетная функция, а косинус четная (рис, 4.20). Четность или нечетность функции во временной области (т.е, наличие косинусной или синусной компоненты) сохранится и в частотной области, где будет проявляться в совпадении или различии знаков амплитудь двух комгюиент комплексного спектра поглощения на частотах -ь 5 и — 8. Следовательно, выполнив преобразование, вклю- [c.119]

Рис. 6.5.7. Физическое происхождение сигналов, появляющихся симметрично на частотах = шЙ и Ш1 = = -шЙ в 2М-спектрах, полученных комплексным фурье-преобразованием относительно (вверху слева). В корреляционных и многоквантовых 2М-спектрах пик в смещанной моде, показанный на верхнем квадранте, обусловлен процессом переноса когерентности 10<и1 - 1г><51, интенсивность которого пропорциональна НпНш, а пик в смешанной моде на нижнем квадранте обусловлен процессом переноса 1и> 1г><5 , интенсивность которого пропорциональна (выражение (6.5.24)]. В 2М-спектрах, полученных с помошью вещественного (косинусного) преобразования (внизу слева), имеется только один 2М-пик, который в общем случае состоит из смеси мод дисперсии и поглощения, что определяется выражениями (6.5.24) и (6.5.22). Для когерентности 10<и1 стрелки направлены от вектора состояния бра (и к вектору состояния кет Ю.

Пути р = О - -1- -1 [ Р-пики с параметром к > О в выражении 6.5.11] и р = О +1- -1 [ Ы-пики , к < 0] в традиционных корреляционных экспериментах без зедержки дают симметричные относительно ол = О сигналы. Тогда после вещественного косинусного фурье-преобразования получим пики в чистой моде (разд. 6.5.3.1), а последующая коррекция на наложение дает (сдвинутые) пики в чистой моде. [c.406]

Рис. 6.6.3. Примеиеиие регистрации с задержкой в гомоядерной корреляционной спектроскопии, а — для последовательности т/2 - /1 - /3 - ti( OSY). Р- и N-пнки, соответствующие путям переноса когерентности р = 0- -1- -1 и /> = 0- +1- -1в слабо связанной двухспиновой системе, обозначены соответ-ственио точками и светлыми кружками. Спектры в чистой моде могут быть получены при помощи косинусного преобразования относительно ii б—прн использовании последовательности т/2 - Н/2 - 0 - h/l - ti (SE SY) все сигналы сдвигаются иа величину = (oii + разности между химическими сдвигами уменьшаются в 2 раза, в то время как мультиплетные расщепления остаются теми же.

Этот же способ можно использовать для получения пиков в чистой моде посредством вычисления вещественного косинусного преобразования по 1 (разд. 6.5.3.1). В этом случае выбирают V = р, где р является порядком, который необходимо наблюдать (для когерентностей с р = имеем = тг(Г /ДГ1)/2, что дает сдвиг частоты сигналов на половину частоты Найквиста). Такой сдвиг сигналов целесообразен в том случае, когда несущая частота расположена в пределах спектра, как показано на рис. 6.6.4. Сигналы Р-и N-пикoв сдвигаются в противоположных направлениях, поскольку они соответствуют порядкам р противоположных знаков. Очевидно, для того чтобы избежать эффекта отражения в ситуации, показанной на рис. 6.6.4,6, скорость выборки и частота Найквиста должны быть увеличены в два раза. Если симметричные сигналы имеют равные амплитуды, то пики в чистой моде (т. е. в 2М-моде чистого поглощения или чистой дисперсии) получаются после вычисления вещественного фурье-преобразования относительно 1. [c.408]

Если относительно ii (верхняя часть) вычисляется комплексное фурье-преобразоваиие (ФП), то все пики имеют составные формы вида [а(<л)а(с.ч) - rf(фурье-преобразование (нижняя часть) дает 2М-моду чистого поглощения, если все сигналы в верхней части симметричны относительно = О (т. е. одинаковые символы для обозначения положительных и отрицательных <л), а при несимметричных относительно <1)1 = О сигналах — 2М-моду чистой дисперсии. [c.417]

Рис. 8.2.2. а — схематическое представление корреляционных 2М-спектров слабо связанных двухспнновых систем для значений /3 = 0, т/2 и т в предположении комплексного фурье-преобразоваиия относительно Н, поскольку несущая расположена за пределами спектра, все сигналы в иижиих квадрантах связаны с путями переноса когерентности р = 0 -1 - [к =+ в выражении (6.5.11), так называемые Р-пики], в то время как сигналы в верхних квадрантах обусловлены путями р = О +1 = -1 (к = -1, так называемые N-пики) б — схематическое представление 2М-спектров, полученных после вещественного косинусного фурье-преобразования относительно /1 в — пики в смешанной моде 5(о)1, 0)2) = Аа(оц)а(оп.) - указаны полярными диаграммами, представляющими [c.487]

М-спектры на рис. 8.2.2, б, получаемые с помощью вещественного косинусного фурье-преобразования относительно Н, нетрудно получить из комплексных фурье-преобразованных спектров, представленных на рис. 8.2.2, а, складывая вклады от положительных и отрицательных ал-частот. Фазы сигналов, полученных при вещественном косинусном фурье-преобразовании, могут быть также определены посредством идентификации не обращающихся в нуль наблюдаемых членов в выражении (8.2.3) и суперпозицией соответствующих мультиплетных картии, показанных в нижней части рис. 6.7.1. [c.488]

Рис. 8.2.3. Экспериментальный корреляционный 2М-спектр системы протонов АВ в 2,3-дибромтиофене прн частоте РЧ-сигнала 60 МГц, полученный с помощью косинусного фурье-преобразования относительно Ь прн /3 = г/2. Кросс-пнки появляются главным образом в моде чистого 2М-поглощення, в то время как диагональные пики имеют форму почти чистой 2М-дисперсии (малые отклонения обусловлены влиянием сильной связи, как обсуждалось в разд. 8.2.4.). (Из работы [8.123].)

Рис. 8.2.3. <a href="/info/304050">Экспериментальный корреляционный</a> 2М-<a href="/info/131878">спектр системы</a> протонов АВ в 2,3-<a href="/info/1148798">дибромтиофене</a> прн частоте РЧ-сигнала 60 МГц, полученный с помощью косинусного <a href="/info/65442">фурье-преобразования</a> относительно Ь прн /3 = г/2. Кросс-пнки появляются <a href="/info/460974">главным образом</a> в моде чистого 2М-поглощення, в то время как диагональные пики имеют форму почти чистой 2М-дисперсии (<a href="/info/1327661">малые отклонения</a> обусловлены <a href="/info/1372294">влиянием сильной</a> связи, как обсуждалось в разд. 8.2.4.). (Из работы [8.123].)

Рис. 8.2.13. Формы пиков в корреляционном 2М-спектре сильно связанной двухспиновой системы, полученном прн /3 = ж/2 и масштабированном соотношением 2т7/(Па - Яв) = 0,75, как на рис. 8.2.12, за исключением того, что здесь было выполнено вещественное косинусное фурье-преобразование по /ь Коэффициенты А и В вкладов 2М-П0Глощения и 2М-дисперсии представлены полярными диаграммами с вектором, характеризуемым фазовым углом ф = ar tg (В/А), как показано на рис. 8.2.2,в. Заметим, что вне зависимости от величины взаимодействия регрессивные и параллельные пики (обозначенные ли/) появляются в виде соответственно чистого отрицательного поглощения и чистой отрицательной дисперсии.

Рис. 8.2.13. <a href="/info/250475">Формы пиков</a> в корреляционном 2М-спектре <a href="/info/249833">сильно связанной двухспиновой системы</a>, полученном прн /3 = ж/2 и масштабированном соотношением 2т7/(Па - Яв) = 0,75, как на рис. 8.2.12, за исключением того, что здесь было выполнено вещественное косинусное <a href="/info/65442">фурье-преобразование</a> по /ь Коэффициенты А и В вкладов 2М-П0Глощения и 2М-дисперсии представлены <a href="/info/96412">полярными диаграммами</a> с вектором, характеризуемым фазовым углом ф = ar tg (В/А), как показано на рис. 8.2.2,в. Заметим, что вне зависимости от <a href="/info/1675901">величины взаимодействия</a> регрессивные и параллельные пики (обозначенные ли/) появляются в виде соответственно <a href="/info/431662">чистого отрицательного</a> поглощения и <a href="/info/431662">чистой отрицательной</a> дисперсии.

Если выполнено комплексное фурье-преобразование относительно h, как показано схематически на рис. 8.2.12, то амштитуды пропорциональны квадратам соответствующих интенсивностей в 1М-спектрах, так что слабые сигналы трудно заметить. При вычислении вещественного косинусного фурье-преобразования (рис. 8.2.13) динамический диапазон амплитуд сигнала уменьшается. Это представляет собой другую причину для предпочтения вещественного фурье-преобразования. [c.506]

Рис. 8.2.14. Кросс- и диагональные мультиплеты в корреляционных 2М-спектрах слабо связанных систем с магнитной эквивалентностью. Фазы сигналов показаны по аналогии с рис. 8.2.2,в в случае вещественного косинусного фурье-преобразования по 1 и смешивающего импульса с 0 = х/2. Кросс-пнки имеют форму чистого 2М-поглощения с чередующимися знаками, в то время как мультиплеты с центром на диагонали появляются в виде чистой отрицательной дисперсии (см. обозначения на рис 8.2.2). Амплитуды, представленные кружками различных диаметров.соотносятся как 1 2 4 8 для системы АгХ и 1 3 9 12 48 для системы АзХ.

Рис. 8.2.14. Кросс- и <a href="/info/250052">диагональные мультиплеты</a> в корреляционных 2М-спектрах <a href="/info/250280">слабо связанных</a> систем с <a href="/info/109035">магнитной эквивалентностью</a>. Фазы сигналов показаны по аналогии с рис. 8.2.2,в в случае вещественного косинусного <a href="/info/65442">фурье-преобразования</a> по 1 и смешивающего импульса с 0 = х/2. Кросс-пнки имеют <a href="/info/232386">форму чистого</a> 2М-поглощения с чередующимися знаками, в то время как мультиплеты с центром на диагонали появляются в <a href="/info/423478">виде чистой</a> <a href="/info/328084">отрицательной дисперсии</a> (см. обозначения на рис 8.2.2). Амплитуды, представленные кружками <a href="/info/1584499">различных диаметров</a>.соотносятся как 1 2 4 8 для системы АгХ и 1 3 9 12 48 для системы АзХ.

Разрешение, даваемое формулой (27) (без анодизации), получается нри применении косинусного преобразования Фурье (24), которое подразумевает знание точки нулевой разности хода. Вопрос о влиянии ошибки в определении нуля на аппаратную функцию подробно изучала Ж. Конн, которая показала, что требуется высокая точность нахождения точки нулевой разности хода [41]. Этой трудности можно избежать, если снимать интерферо-грамму в симметричных пределах, затем вычислять косинусное и синусное преобразование Фурье и спектр находить как корень квадратный из суммы их квадратов. В этом случае разрешающая способность уменьшается вдвое при том же полном перемещении зеркала L ба = 1/2L. [c.177]

Представляя косинусное и синусное преобразования в следу- ощем виде [c.43]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология