Гильберта метод решения уравнения

Формальный метод решения уравнения (5.10.21) ничем не отличается от метода Гильберта. Каждая функция получается путем поочередного решения (при возрастающих п) неоднородных интегральных уравнений (5.10.23). Каждая ф содержит дополнительный параметр (или вектор дополнительных параметров, если собственное значение вырождено, как, например, собственное значение Я=0 в теории Гильберта), который входит линейно, как в (5.1.14). Условия совместности для нахождения последовательности решений порождают дифференциальные уравнения в частных производных для некоторых макроскопических собственных состояний сГд, представляющих фурье-образы [c.166]

О методе Гильберта решения кинетического уравнения Больцмана. [c.540]

С другой стороны, теорию Гильберта всегда можно довести до конкретных результатов, так как методы решения уравнений Эйлера хорошо изучены, чего нельзя сказать о гидродинамических уравнениях высших порядков теории Чепмена—Энскога, представляющих собой дифференциальные уравнения всегда первого порядка относительно временных производных, но последовательно возрастающего порядка относительно производных макроскопических переменных по пространственным координатам. Разрешению этой трудности была посвящена работа Грэда [84], в которой показано, что для любого конечного значения времени результаты Гильберта и Чепмена—Энскога являются асимптотическими решениями уравнения Больцмана. Алгоритм построения последовательности решений Гильберта всегда можно реализовать получаемый результат ограничен при любом конечном времени гидродинамические уравнения высших порядков теории Чепмена—Энскога и, в частности, уравнения первого порядка (уравнения Навье—Стокса) приводят к решению, ограниченному при любых временах. Однако, если не удается решить уравнения теории Чепмена—Энскога, нам не остается ничего иного, кроме как использовать разложение Гильберта. В 5.10 мы вернемся к рассмотрению этого вопроса. [c.130]

Для описания течений газа с малыми значениями числа Кнудсена (в так называемом режиме сплошной среды), когда макроскопические параметры газа мало меняются на длине свободного пробега и в интервалах времени порядка времени соударения молекул, в работах Гильберта, Чепмена, Энскога, Н. Н. Боголюбова, В. В. Струминского были предложены асимптотические методы решения кинетических уравнений [2 — 5]. В последние годы в работах [6 — 12, 17, 26] эти исследования были продолжены развиты соответствующие модифицированные асимптотические методы малого параметра, применимые к рассмотрению сильно неравновесных высокотемпературных течений газа за ударными волнами, в пограничных и энтропийных слоях и т. д. Эти методы позволяют определить единственный вид гидродинамических уравнений движения и соответствующих граничных условий, рассчитать необходимые параметры, содержащиеся в уравнениях и краевых условиях (такие, как диссипативные коэффициенты [c.108]

Первые попытки построения приближенных решений (2) принадлежат Гильберту (см., например, [23]), методы которого были затем усовершенствованы Энскогом и Чепменом [24], а в последнее время Струминским [25, 26]. Метод Энскога — Чепмена позволяет, если принять известные ограничения, построить интересующее нас решение в виде функционального ряда каждый шен его может быть найден из решения соответствующей системы уравнений. К сожалению, ряд Энскога сходится асимптотически . Поэтому точность приближения не только не растет, но даже убывает с увеличением количества используемых членов. Хорошо известно также, что этот способ решения применим лишь для начальных состояний, близких к термодинамически равновесному, хотя часто он привлекается при решении таких задач, в которых это условие заведомо не выполнено (например,в работе [27] для исследования химически реагирующей смеси газов). Позже Грэд [28] предложил свой способ решения уравнения (2), основанный на разложении искомой функции / (i, г, v) в ряд по обобщенным полиномам Эрмита [c.267]

См. Курант и Гильберт, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1951. Следует заметить, что там приведена функция Грина для однородных граничных условий. Нетрудно показать, что те же формулы годятся и для неоднородных граничных условий типа (43.46) при Г Г ,. При Г = Го два решения однородного уравнения, из которых одно удовлетворяет граничным условиям (43.46) при г = 0, а другое—при г->- оо, оказываются линейно зависимыми. Поэтому второе решение при Г = Го надо выбирать так, чтобы оно при г со удовлетворяло не условию (43.46), а какому-то другому, например условию (43.46) без стоячей волны (как это имеет место при Г й Гд). Тогда в выражении для Рпоявляется дополнительный член — первое слагаемое правой части (43.55). Отметим также, что введенная здесь функция О противоположна по знаку функции, использовавшейся в книге Курэнта и Гильберта. Такое определение в настоящее время более принято. [c.598]

Задачу подлинной разработки формализма, позволяющего найти решение уравнения Больцмана, независимо решили Чепмен и Энског вскоре после опубликования результатов Гильберта. Работа Чепмена, в которой используется метод Максвелла, основана на применении уравнений переноса, в то время как подход Энскога основан на построении решения уравнения Больцмана для функции распределения по скоростям. Оба метода приводят к одинаковым выражениям для кинетических коэффициентов. В двух статьях 1916 и 1917 гг. Чепмен [28, 29] вьшел формулы для коэффициентов вязкости и теплопроводности простого газа и газовой смеси, приняв (как и Максвелл), что для слабо неоднородного газа функцию распределения по скоростям можно записать в виде /=/ (1 + ф) при этом предполагается, что в однородном газе функция ф должна обращаться в нуль. Теория Энскога, опубликованная в его докторской диссертации [64] в 1917 г., основана на решении уравнения Больцмана с помощью разложения в ряд. Такой подход был впервые применен Гильбертом, который пытался разработать (к сожалению, безуспешно) аналогичный формализм, основанный на последовательных приближениях. [c.19]

Линеаризованный оператор столкновений играет важную роль в методах нахождения приближенных решений уравнения Больцмана, принадлежапщх Гильберту, Чепмену и Энскогу. Как мы видели в предьщущем параграфе, он является линейным интегральным оператором с симметричным ядром. В данном параграфе мы введем некоторые другие интегралы, которые встречаются в теории Чепмена — Энскога и которые непосредственно связаны с линеаризованным оператором столкновений. [c.103]

Однако такое утверждение звучит не очень убедительно. Хотя решения уравнения Больцмана, полученные в низшем приближении ме-тодомТильберта, приводят к гидродинамическим уравнениям Эйлера, оказывается, что с помощью этого метода невозможно вьгеести классические уравнения гидродинамики, т. е. уравнения Навье—Стокса. Поэтому метод Гильберта не применяется, за исключением очень специфических случаев [212], и, более того, в общем случае некоторые авторы высказьшают сомнения, имеет ли этот метод практическую ценность (см. работу Струминского [198]). [c.124]

В настоящем и предьщущем параграфах мы привели описание двух различных методов получения нормальных решений уравнения Больцмана. Формально они эквивалентны, однако при рассмотрении этого вопроса необходимо отметить несколько тонкостей, что мы сейчас и сделаем. В методе Гильберта последующие коэффициенты степенного разложения функции распределения/вычисляются с помощью алгоритма, включающего в себя решения некоторого интегрального уравнения (5.1.4) и системы дифференциальных уравнений (5.1.27). При этом, чтобы получить однозначное формальное решение, требуется задать начальные значения моментов функции /. В методе Чепмена—Энскога коэффициенты выражают через 8 (т. е. через макроскопические наблюдаемые n,v и Т), после чего с помощью вычисляют тензор напряжения и вектор теплового потока также через и пространственные градиенты от , что приводит к последовательности гидродинамических уравнений для /9 в нарастающем порядке приближения, содержащих параметр разложения е. Следовательно, различие между этими двумя методами решения состоит в том, что Гильберт разлагает в степенной ряд решение /, в то время как Чепмен и Энског разлагают не только решение, но и уравнения (см. работу Грэда [83]). Если гидродинамические уравнения метода Чепмена— Энскога решать в форме разложения по степеням е, мы придем к результату Гильберта. Однако при правильном использовании этих уравнений высшего порядка обычно прибегают к более ухищренным приемам, чем просто к поиску решения в виде степенного ряда по е. [c.130]

В предыдущих параграфах мы ограничились изучением взаимосвязи между уравнением Больцмана, решаемым методом Гильберта, и уравнениями гидродинамики. Не имеет смысла пытаться детально исследовать эту взаимосвязь в случае решения уравнения Больцмана методом Чепмена—Энскога, а не Гильберта. Здесь возникают дополнительные трудности, связанные с отсутствием общей теории уравнений Бернетта и гидродинамических уравнений более высоких порядков, из-за чего невозможно оценить их решения. Обсуждение приближения Навье—Стокса содержится в цитированной выше статье Грэда [85] ). [c.167]

Теория псевдоаналитических функций и квазиконформных отображений в принципе позволяет обобщить изложенный метод на случай дозвукового течения сжимаемого газа. В монографии [66] О это достигнуто путем доказательства существования обобщенного решения задачи Гильберта (содержащей задачу Дирихле) для квазилинейного равномерно эллиптического уравнения, описывающего квазиконформное отображение. Это отображение позволяет найти скорость набегающего потока и профиль крыла по заданному распределению скорости (при условии выполнения двух условий разрешимости, обеспечивающих замкнутость контура). По-видимому, тот же результат, но уже для классического решения, может быть получен на основе принципа подобия для псевдоаналитических функций, аналогично теореме существования дозвукового обтекания заданного профиля потоком достаточно малой дозвуковой скорости (см. 2). Псевдоаналитическая функция, выражающая сопряженную комплексную скорость Ш = и — гу, допускает представление [c.146]

При нахождении нормальных колебаний колеблющихся струн, приливов и т. д. нам приходилось решать некоторые дифференциальные уравнения второго порядка с определенными граничными условиями. При рассмотрении более сложных систем этот метод непосредственного решения дифференциального уравнения часто оказывается неприменимым из-за возникающих математических трудностей. К счастью, существует ряд методов нахождения приближенных решений, и в настоящей главе мы рассмотрим эти методы. Они основаны на так называемой теории Штурма — Лиувилля, которая рассматривает общие глатематические свойства уравнений типа возникающих в случае колеблющихся систем. Мы начнем с краткого изложения этой теории. Более подробно она изложена в книге Маргенау и Мэрфи ([П, стр. и сл.) и еще более подробно в книге Гильберта и Куранта ([2], том I). [c.82]