Гильберта уравнение

Уравнения Адамса — Гильберта [c.97]

Уравнения Адамса - Гильберта (2.100) можно рассматривать как уравнения Хартри — Фока с недиагональными множителями Лагранжа [c.99]

Это и есть уравнения Адамса — Гильберта, в которых А = С — Р. Отсюда С = 1 + А. Следовательно, орбитали, удовлетворяющие уравнениям Адамса - Гильберта (2.100), представляют собой такие нормированные на 1 функции изЛ у, которые сообщают экстремум функционалу [c.101]

Таким образом, уравнения Адамса — Гильберта можно записать в двух эквивалентных формулировках — в виде системы уравнений (2.100) и в виде системы уравнений (2.104) в зависимости от того, как именно учитывают дополнительные условия, налагаемые на орбитали ( - с помощью оператора А или с помощью оператора С. [c.101]

Указанное разбиение орбиталей на группы соответствуют нашему интуитивному представлению о том, что молекулы состоят из атомов (ионов). Этому представлению соответствуют и уравнения Адамса -Гильберта (2.105). Действительно, если ввести оператор Фока Рр атома (иона) р и ввести оператор [c.102]

Если исходить не из канонических уравнений Хартри - Фока, а из уравнений Адамса - Гильберта, то задачу для отыскания валентной орбитали при заданных остовных можно свести к задаче о движении частицы в эффективном поле, и тогда указанные вьппе трудности встречаться не будут. [c.280]

Напишем уравнения Адамса — Гильберта (см. гл. 2, 6) для рассматриваемого изолированного остова [c.280]

Для интерпретации кривых резонансного поглощения уравнения Ландау— Лифшица и Гильберта эквивалентны, так как в большинстве известных экспериментов выполняется соотношение а <0,1. Поэтому даже для-образцов с широкими линиями поглощения замена у на у, как видно из выражения (677), вносит ошибку, не превышающую 1%. [c.382]

Теперь мы приближенно решим уравнение Крамерса (8.7.4) для больших Y с помощью систематического разложения по степеням Непосредственное применение теории возмущений в этом случае невозможно, потому что производная по времени оказывается в числе малых членов. Это обстоятельство приводит нашу задачу к проблеме сингулярной теории возмущений, но в этом случае можно получить решение способом, предложенным Гильбертом, а также Чепменом и Энскогом для уравнения Больцмана . [c.217]

Аналогия между пространствами Гильберта и Лиувилля позволяет ввести супероператоры, которые определяли бы операторные соотношения в пространстве Лиувилля. . [2.7—2.9]. Примером такого операторного соотношения может служить коммутатор в уравнении (2.1.17) [c.40]

В работе Нокса и Гильберта [39] выведено уравнение для ЖХ в открытой капиллярной колонке с использованием приведенных величин [c.60]

Решение уравнения Больцмана в общем виде было выполнено лишь в начале XX века в работах Чепмена, Гильберта, Энскога и др. Очень краткий, но содержательный обзор по этому вопросу дан в работе [5]. [c.39]

Более убедительное доказательство того факта, что при низких концентрациях гидроксильных ионов ионизация гидразина как основания затрудняется, было получено Гильбертом [166] в его исследовании скорости окисления гидразина феррицианидом. Скорость реакции возрастала по мере увеличения pH. В кислых растворах окисление не происходит. Кинетически реакцию окисления можно рассматривать как реакцию третьего порядка, поскольку ее скорость зависит от концентрации ионов гидразония, гидроксила и феррицианида и определяется уравнением [c.139]

Умножив на т/(1в) (1в/(18), где 6 — длина дуги образа профиля в плоскости Уд (направление обхода индуцируется обходом окружности 9 = 1), получим однородное характеристическое уравнение Гильберта [26] относительно и в) = в в) т в)/(1в [c.154]

Из широко известных неразрешимых проблем укажем еще десятую проблему Гильберта, выдвинутую им в числе других в 1901 г. на Международном математическом конгрессе в Париже. Она гласит найти алгоритм, определяющий для любого диофантова уравнения, имеет ли оно целочисленные решения. [c.29]

В настоящее время нельзя серьезно заниматься колебаниями без знания интегральных уравнений. Литература по колебаниям пропитана интегральными уравнениями. В классической книге Куранта и Гильберта половина вопросов рассматривается методом интегральных уравнений. Это — несколько формальная оценка их значения можно привести и более существенные доводы. [c.443]

В 1910 г. знаменитый математик Гильберт опубликовал исследование математической структуры уравнения Больцмана. Ограничившись случаем твердых сферических молекул, Гильберт показал, что уравнение Больцмана эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для которого оказалось возможным построить строгую математическую теорию. Таким образом, Гильберт смог доказать существование и единственность решения и установить некоторые из его свойств. Результаты Гильберта можно найти в его исследовании по теории интегральных уравнений [100]. Этот чисто математический [c.18]

Для уяснения положения дел укажем на следующее обстоятельство. В уравнении Больцмана носителем информации является функция распределения, а основной временной масштаб связан со средним временем свободного пробега (10 с в нормальных условиях). С другой стороны, в гидродинамике временной масштаб определяется временем распространения звуковой волны на макроскопически конечное расстояние (обычно 10 3 с), а вся существенная информация определяется небольшим числом макроскопических параметров плотностью, гидродинамической скоростью и температурой. Иными словами, переходу от кинетической теории к гидродинамике соответствует сокращение формального описания. Такая ситуация напоминает ситуацию, рассмотренную в гл. 3. Там сначала проводилось динамическое описание задачи N тел с помощью ТУ-частичной функции распределения, удовлетворяющей уравнению Лиувилля, которое затем сводилось к описанию с помощью сокращенного числа переменных путем перехода к одночастичной функции распределения, удовлетворяющей (обобщенному) уравнению Больцмана. Удовлетворительное решение проблемы рассматриваемого здесь сокращения описания было впервые получено Гильбертом в 1912 г. в работе [100], посвященной существованию и единственности решения уравнения Больцмана. Рассматривая ограниченный соответствующим образом класс функций, в котором ищется решение уравнения Больцмана, Гильберт доказал наличие для любого момента времени взаимооднозначного соответствия между решением для функции распределения / и первыми пятью моментами этой функции плотностью, тремя компонентами гидродинамической скорости и температурой. Необходимо отметить, что тем самым устанавливается связь единственности любого решения уравнения Больцмана с решением уравнений гидродинамики. Теория Гильберта будет рассмотрена в 5.1. [c.117]

Уравнения (2.100), рассматриваемые как нелинейные уравнения, заменяющие уравнения (2.96) в системе (С), часто назьтают д рдвненгАЯ-ми Адамса - Гильберта. [c.99]

Дш1ее, уравнения Адамса - Гильберта можно написать в более общем виде. Нет никакой необходимости использовать один и тот же оператор А (С) для всех орбиталей. Можно поступить следующим образом. Разобьем все N орбиталей на т групп и занумеруем каждую группу индексом р, р — 1,2.....т. Число орбиталей в группе р обозначим через Пр. Очевидно, [c.101]

Физической предпосылкой метода псевдопотенциала является энергетическая и пространственная разделенность электронных состояний. Математически в основе метода псевдопотенциала лежит переход к неканоническим орбиталям. Рассмотрим вначале физические предпосылки метода, а затем вьшедем основные уравнения метода псевдопотенциала, причем при вьшоде будем опираться на уравнения Адамса - Гильберта. [c.272]

При применении уравнения Ландау—Лифщица к процессам импульсного перемагничивания тонких пленок оказывается, что с ростом параметра затухания а время полной переориентации намагниченности убывает. Для того чтобы избежать этого противоречия, Гильберт (1955 г.) предложил уравнение движения для намагниченности [c.382]

Для слабых высокочастотных полей, когда можно принять Рг Ро< нелинейные по существу уравнения Ландау—Ли( )шица, Гильберта и модифицированное уравнение Блоха эквивалентны [14, с. 72]. Форма линии поглощения во всех этих случаях — лорентцова и, таким образом, нечувствительна к виду уравнения движения. В сильных высокочастотных полях, когда становятся существенными нелинейные эффекты [18], предпочтение тому или иному уравнению движения может быть отдано только на основании эксперимента. [c.382]

Для описания течений газа с малыми значениями числа Кнудсена (в так называемом режиме сплошной среды), когда макроскопические параметры газа мало меняются на длине свободного пробега и в интервалах времени порядка времени соударения молекул, в работах Гильберта, Чепмена, Энскога, Н. Н. Боголюбова, В. В. Струминского были предложены асимптотические методы решения кинетических уравнений [2 — 5]. В последние годы в работах [6 — 12, 17, 26] эти исследования были продолжены развиты соответствующие модифицированные асимптотические методы малого параметра, применимые к рассмотрению сильно неравновесных высокотемпературных течений газа за ударными волнами, в пограничных и энтропийных слоях и т. д. Эти методы позволяют определить единственный вид гидродинамических уравнений движения и соответствующих граничных условий, рассчитать необходимые параметры, содержащиеся в уравнениях и краевых условиях (такие, как диссипативные коэффициенты [c.108]

Гильбертом [2]. В зоне В, как было показано автором [6], имеет место модифицированное разложение Гильберта, дающее в первом приближении нелинейные уравцения Прандтля, а в последующих — линеаризованные уравнения пограничного слоя с правой частью, зависящей от предыдущих приближений. В зоне С необходимо, вообще говоря, уже в нулевом приближении исследовать решения нелинейного уравнения Больцмана [25, 26]. [c.111]

Первые попытки построения приближенных решений (2) принадлежат Гильберту (см., например, [23]), методы которого были затем усовершенствованы Энскогом и Чепменом [24], а в последнее время Струминским [25, 26]. Метод Энскога — Чепмена позволяет, если принять известные ограничения, построить интересующее нас решение в виде функционального ряда каждый шен его может быть найден из решения соответствующей системы уравнений. К сожалению, ряд Энскога сходится асимптотически . Поэтому точность приближения не только не растет, но даже убывает с увеличением количества используемых членов. Хорошо известно также, что этот способ решения применим лишь для начальных состояний, близких к термодинамически равновесному, хотя часто он привлекается при решении таких задач, в которых это условие заведомо не выполнено (например,в работе [27] для исследования химически реагирующей смеси газов). Позже Грэд [28] предложил свой способ решения уравнения (2), основанный на разложении искомой функции / (i, г, v) в ряд по обобщенным полиномам Эрмита [c.267]

См. Курант и Гильберт, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 1951. Следует заметить, что там приведена функция Грина для однородных граничных условий. Нетрудно показать, что те же формулы годятся и для неоднородных граничных условий типа (43.46) при Г Г ,. При Г = Го два решения однородного уравнения, из которых одно удовлетворяет граничным условиям (43.46) при г = 0, а другое—при г->- оо, оказываются линейно зависимыми. Поэтому второе решение при Г = Го надо выбирать так, чтобы оно при г со удовлетворяло не условию (43.46), а какому-то другому, например условию (43.46) без стоячей волны (как это имеет место при Г й Гд). Тогда в выражении для Рпоявляется дополнительный член — первое слагаемое правой части (43.55). Отметим также, что введенная здесь функция О противоположна по знаку функции, использовавшейся в книге Курэнта и Гильберта. Такое определение в настоящее время более принято. [c.598]

Теория псевдоаналитических функций и квазиконформных отображений в принципе позволяет обобщить изложенный метод на случай дозвукового течения сжимаемого газа. В монографии [66] О это достигнуто путем доказательства существования обобщенного решения задачи Гильберта (содержащей задачу Дирихле) для квазилинейного равномерно эллиптического уравнения, описывающего квазиконформное отображение. Это отображение позволяет найти скорость набегающего потока и профиль крыла по заданному распределению скорости (при условии выполнения двух условий разрешимости, обеспечивающих замкнутость контура). По-видимому, тот же результат, но уже для классического решения, может быть получен на основе принципа подобия для псевдоаналитических функций, аналогично теореме существования дозвукового обтекания заданного профиля потоком достаточно малой дозвуковой скорости (см. 2). Псевдоаналитическая функция, выражающая сопряженную комплексную скорость Ш = и — гу, допускает представление [c.146]

Решения уравнения (5) для частных случаев элементарных химических реакций приведены в работах Гильберта (1944), Хог-тона (1962), Левеншпиля и Трамбуза (I960, 1962). В общем виде решение уравнения (5) без учета поперечного перемешивания можно записать так [c.198]

При нахождении нормальных колебаний колеблющихся струн, приливов и т. д. нам приходилось решать некоторые дифференциальные уравнения второго порядка с определенными граничными условиями. При рассмотрении более сложных систем этот метод непосредственного решения дифференциального уравнения часто оказывается неприменимым из-за возникающих математических трудностей. К счастью, существует ряд методов нахождения приближенных решений, и в настоящей главе мы рассмотрим эти методы. Они основаны на так называемой теории Штурма — Лиувилля, которая рассматривает общие глатематические свойства уравнений типа возникающих в случае колеблющихся систем. Мы начнем с краткого изложения этой теории. Более подробно она изложена в книге Маргенау и Мэрфи ([П, стр. и сл.) и еще более подробно в книге Гильберта и Куранта ([2], том I). [c.82]

Задачу подлинной разработки формализма, позволяющего найти решение уравнения Больцмана, независимо решили Чепмен и Энског вскоре после опубликования результатов Гильберта. Работа Чепмена, в которой используется метод Максвелла, основана на применении уравнений переноса, в то время как подход Энскога основан на построении решения уравнения Больцмана для функции распределения по скоростям. Оба метода приводят к одинаковым выражениям для кинетических коэффициентов. В двух статьях 1916 и 1917 гг. Чепмен [28, 29] вьшел формулы для коэффициентов вязкости и теплопроводности простого газа и газовой смеси, приняв (как и Максвелл), что для слабо неоднородного газа функцию распределения по скоростям можно записать в виде /=/ (1 + ф) при этом предполагается, что в однородном газе функция ф должна обращаться в нуль. Теория Энскога, опубликованная в его докторской диссертации [64] в 1917 г., основана на решении уравнения Больцмана с помощью разложения в ряд. Такой подход был впервые применен Гильбертом, который пытался разработать (к сожалению, безуспешно) аналогичный формализм, основанный на последовательных приближениях. [c.19]

Линеаризованный оператор столкновений играет важную роль в методах нахождения приближенных решений уравнения Больцмана, принадлежапщх Гильберту, Чепмену и Энскогу. Как мы видели в предьщущем параграфе, он является линейным интегральным оператором с симметричным ядром. В данном параграфе мы введем некоторые другие интегралы, которые встречаются в теории Чепмена — Энскога и которые непосредственно связаны с линеаризованным оператором столкновений. [c.103]

Исследуя уравнения кинетической теории, Гильберт [100] доказал теорему единственности, к изложению которой мы теперь приступим. Прежде всего отметим, что если не учитывать движения молекул из одной области пространства в другую, то функция распределения в результате столкновений становится максвелловской за время порядка нескольких времен между столкновениями. Более того, если макроскопические градиенты малы, распределение по скоростям молекул, попадающих в некоторую небольшую область, слабо отличается от распределения молекул, вылетающих из этой области различие приводит к изменениям, заметным лишь в макроскопической шкале времени, упомянутой в начале настоящей главы. Таким образом, столкновения играют основную роль в релаксации газа к состоянию теплового равновесия. Чтобы подчеркнуть это, введем малый параметр е, придающий большее влияние столкновительному члену. При этом для простого газа вместо уравнения (4.1.1) мы записьгеаем [c.118]

Обозначим решение в первом случае через / ( , с, t е). Поскольку во втором случае начальные условия зависят от е, обозначим параметр разложения через [л, а решение — через /(г, с, е, ). Затем мы должны рассмотреть предел этой функции при [л е при условии, что значение параметра е зафиксировано. При этом функция /(г, с, Г е, е) представляет собой разложение по степеням е. Она характеризуется тем, что при = 0 выражаюпщйся через нее вектор равен и совпадает с начальным значением вектора )8, выражаюпщмся через / (г, с, е). Таким образом, обе функции /(г, с, 1 е, е) и/ (г, с, е) являются решениями системы уравнений (5.1.3) и (5.1.4) с одинаковым начальным значением вектора /9. Поскольку мы доказали, что решение этих уравнений однозначно определяется начальным значением /9, рассмотренные две фзгнкции тождественны. Тем самым доказана тео-рема единственности Гильберта в классе решений уравнения Больцмана, которые могут быть представлены в виде ряда по степеням е, существует взаимооднозначное соответствие между решением /(г, с, О [c.123]

Однако следует отметить, что на данном этапе нет никакой гарантии, что разложение (5.1.2) сходится, и поэтому совсем не очевидно существование решений такого типа вообще. Единственно в чем мы уверены — это в том, что если решения существуют, то они однозначно определяются начальньп значениями своих первых пяти моментов относительно скоростей. Вопрос о сходамости разложений фактически остается открытым. Следуя Трэду [83], мы будем называть рассмотренный в данном параграфе класс решений уравнений Больцмана классом Гильберта, или классом нормальных решений. [c.123]

В предыдущем параграфе мы доказали, что в классе нормальных решений уравнения Больцмана функция распределения однозначно определяется значениями своих первых пяти моментов, заданных в начальный момент времени t=tQ, (Это обстоятельство иногда называют па-радоксом Гильберта,) Следовательно, плотность, гидродинамическая скорость и температура в произвольный момент времени t определяются непосредственно их значениями в начальный момент Более того, так как взаимооднозначное соответствие между функцией распределения по скоростям и ее первыми пятью моментами сохраняется во времени, моменты выспшх порядков, в частности тензор напряжения и вектор теплового потока, могут быть выражены в любой момент времени непосредственно через плотность, гидродинамическую скорость и температуру. Следовательно, подстановка подобных выражений в общие уравнения сохранения, выведенные в 4.1, превращает их в замкнутую систему уравнений. [c.124]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология