Уравнения Фоккера — Планка и Ланжевена

Составные марковские процессы 190 Глава 8. Уравнения Фоккера — Планка и Ланжевена 195 [c.3]

УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА —ПЛАНКА И ЛАНЖЕВЕНА [c.195]

Уравнение Фоккера — Планка является частным случаем основного кинетического уравнения и часто используется как его приближенная форма. Уравнение Ланжевена отличается от уравнения Фоккера— Планка, но математически эквивалентно ему. Оба уравнения оказываются полезными в линейных задачах, хотя для нелинейных систем их использование наталкивается на некоторые трудности. [c.195]

MX f (X-x) + Y + ( - ) = - + где К и L — независимые силы Ланжевена. Постройте уравнение Фоккера — Планка. Найдите константы Г для К и L. [c.222]

Уравнение Фоккера — Планка (8.8.8) дает те же значения для первых двух моментов V, что и уравнение Ланжевена (8.8.1) с условиями (8.8.2) и (8.8.3), Тем не менее нельзя утверждать, что они эквивалентны, потому что высшие моменты не согласуются. Хотя уравнение Фоккера —Планка дает определенные выражения для них, уравнение Ланжевена—пока нет, потому что высшие моменты L(i) еще не определены. Поэтому обычно три приведенных выше предположения дополняют еще одним. [c.222]

Упражнение. Запишите уравнение Ланжевена, соответствующее уравнению Фоккера — Планка (8.7.1) для диффузии в силовом поле. [c.227]

Однако даже в настоящем случае можно было бы записать нелинейное уравнение Фоккера — Планка и соответствующее уравнение Ланжевена, которые в части, касающейся приближений линейного шума, привели бы к тем же самым результатам, что и найденные здесь . [c.249]

В гл. 1, разд. 7 рассмотрены системы стохастических дифференциальных уравнений, в которые линейно входят случайные дельта-коррелированные по времени функции с заданными вероятностными свойствами. Мы отмечали, что решения подобных уравнений Ланжевена определяют некоторый диффузионный марковский процесс, и привели уравнение Фоккера—Планка, отвечающее этому процессу. В отличие от обсуждавшихся нами ранее уравнение (4.4.13) является стохастическим дифференциальным уравнением в частных производных. Тем не менее упомянутые результаты могут быть непосредственно обобщены и на случай таких уравнений . [c.124]

Теперь мы можем показать эквивалентность уравнения Фоккера— Планка уравнению Ланжевена, дополненному предположением 4 следующим образом. В соответствии с (8.8.4) значения V(() являются линейной комбинацией значений, которые L принимает во все предыдущие моменты времени (О С Поскольку совместное распределение величин L(i ) является гауссовым, той V ( ) является гауссовым. По этой же причине совместное распределение V ( j), [c.223]

Традиционный вывод уравнения Фоккера — Планка (10.1.5) или (8.1. ) основывается на математическом доказательстве Колмогорова, в котором предполагается, что имеется бесконечно много бесконечно малых скачков. Однако в природе все скачки имеют некоторый конечный размер . Следовательно, не бывает дифференциальным оператором, а всегда имеет вид типа (5.1.1). Обычно У содержит подходящий параметр разложения и имеет канонический вид (9.2.3). Если оказывается, что выполняется равенство (10.1.1), то разложение в нижнем приближении приводит к нелинейному уравнению Фоккера— Планка (10.1.5). Уравнениям Фоккера — Планка и Ланжевена нельзя приписать более фундаментального смысла, чем тот, который приписывается ему настоящим приближением. [c.261]

Поскольку амплитуда Ь поля является комплексной величиной, то уравнения Ланжевена (4.78) эквивалентны уравнению Фоккера-Планка для плотности вероятности Р(Ь1,Ь2,1) наличия поля с компонентами в интервале (Ь,Ь+ёЬ) в момент времени I [c.197]

Допущение (7.10) автоматически включает в себя утверждение, что стохастический процесс, описываемый с помощью д, есть марковский процесс. Это сильное допущение лишь приближенно выполняется во многих приложениях, однако вероятности переходов / /(д д ) обычно имеют прямую физическую интерпретацию в терминах микроскопических величин - сечения столкновений, квантовомеханические матричные элементы. Отметим, что имеются случаи, когда управляющее уравнение (7.12) выполняется, а приближения Ланжевена и Фоккера-Планка не приводят к правильным результатам. [c.176]

Для основных кинетических уравнений, которые нельзя решить точно, вместо интуитивных приближений Фоккера — Планка и Ланжевена необходимо иметь систематический приближенный метод. Такой метод—степенное разложение по параметру й—мы рассмотрим в этой главе. Этот метод позволяет также понять, каким образом макроскопическое уравнение получается из стохастического описания в терминах основного кинетического уравнения. [c.233]

Флуктуации в моделях (7.3) и (7.4) исследовались как аналитически, так и на ЭВМ в работе [26]. Стандартный прием аналитического исследования основан на методе Ланжевена. В правые части уравнений добавляются случайные функции времени с малой амплитудой, коротким интервалом корреляции и нормальным распределением (так называемый шум динамических переменных ). Под влиянием шума изображающая точка совершает броуновское движение вдоль устойчивой ветви аттрактора. Вычисляются времена достижения точки срыва (т. е. экстремума аттрактора) и функция плотности распределения по этим временам. (Эта функция подчиняется уравнению типа Фоккера —Планка.) Этот метод широко используется в статистической физике он применим как в случае, когда стационарное состояние устойчиво, но близко к точке срыва (ждущий режим), так и в случае автоколебательного режима, если изображающая точка движется по устойчивой ветви аттрактора достаточно медленно (см., например, [П47]). [c.152]

Теперь мы можем показать эквивалентность уравнения Фоккера— Планка уравнению Ланжевена, дополненному предположением 4 следующим образом. В соответствии с (8.8.4) значения V t) являются линейной комбинацией значений, которые L принимает во все предыдущие моменты времени t О - t). Поскольку совместное распределение величин L(t ) является гауссовым, то и V(i) является гауссовым. По этой же причине совместное распределение V (/J, V (f ),. . . является гауссовым. Тогда процесс V (), определенный уравнением (8.8.1) с начальным значением V(0), является гауссовым. С другой стороны, мы знаем, что решение уравнения (8.8.4) с этим начальным значением гауссово. Далее, коэффициенты уравнения (8.8.8) мы выбрали так, чтобы первый и второй моменты обоих гауссианов совпадали. Следовательно, гауссианы тождественно совпадают, что и требовалось доказать. [c.223]

Это уравнение отражает эволюцию любого начального распределения дисперсных частиц по размерам У к равновесному состояншо. Картина, описываемая уравнением Фоккера — Планка, согласуется с уравнением Ланжевена (7.5.4.1), рассматриваемым совместно со статистическими допущениями относительно г р,(х). Однако в уравнении (7.5.4.5) информация об изучаемом процессе представлена в значительно более компактной форме. Статистическое обоснование полного кинетического уравнения (7.5.3.5) можно найти в работе [83]. Непосредственное его решение возможно только для довольно ограниченного числа частных случаев [59], При решении многих прикладных задач нет необходимости рассматривать непрерывный процесс как таковой, поскольку при некотором приближении можно интересоваться не точным объемом частицы, а вероятностью того, что частица пршгадлежит заданному интервалу объемов. Такой подход оправдан тем, что решение задачи проводится с помощью ЭВМ. Возникает задача разработки дискретной модели непрерывного процесса. В связи с этим рассматривают систему, имеющую конечное число возможных состояний Ух, Уп, Для системы дисперсных частиц в качест- [c.686]

Данное уравнение совпадает с полученным ранее (1.82 ) из феноменологических соображений и отражает эволюцию любого начального распределения кристаллов по размерам о к равновесному состоянию. Чтобы понять физический механизм, описываемый этим уравнением, примем распределение кристаллов по размерам V, которое в начальный момент времени имеет острый пик при V = Уо- Поскольку при кристаллизацпи имеет место систематический рост частиц, максимум этого распределения в последующие моменты времени сдвигается в сторону больших значений объема частиц. Кроме того, в результате флуктуаций скорости роста максимум постепенно смещается вниз и появляется конечная дисперсия распределения кристаллов по размерам. Картина, описываемая уравнением Фоккера — Планка согласуется с уравнением Ланжевена (3.1), рассматриваемым совместно со статистическими допущениями относительно Ло(т). Однако в (3.9) информация об изучаемом процессе представлена в значительно более компактной форме. [c.143]

Уравнения Аристотеля и Ланжевена — простейший, следующий за ЧЭДТ шаг в иерархии ИМММ, вслед за которым можно взять за основу уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова и далее основное кинетическое уравнение [12, 16]. При этом каждый следующий метод иерархии либо использует предыдущие как источник экспериментальных коэффициентов, либо полностью включает их на определенных этапах вычислительных процедур. Необходимо подчеркнуть, что объектами вычислений здесь уже являются функции распределения, а не координаты и импульсы отдельных частиц, как в ЧЭДТ, [c.84]

Таким образом, скорость ферментативного катализа определяется внутримо-лекулярной динамикой фермент-субстратного комплекса. В качестве уравнения для описания этих стохастических движений можно воспользоваться либо уравнением Ланжевена (см. (XI.1.8)), либо эквивалентным ему уравнением Фоккера - Планка (см. (ХШ.8.1)). [c.432]

Такую структуру поля турбулентности при высоких числах Рейнольдса можно описать с помощью стохастического уравнения Ланжевена с соответствующей интерпретацией различных членов [89, 94, 95]. Чангу удалось вывести, используя уравнение Ланжевена и некоторые дополнительные упрощающие предположения, уравнение типа уравнения Фоккера — Планка для функции распределения элементов жидкости в фазовом пространстве. Помимо того, что это уравнение достаточно полно описывает поле турбулентности, оно является статистически замкнутым следовательно, все уравнения для моментов, получаемые из этого уравнения, также замкнуты. Более того, отпадает необходимость отыскивать различные моменты как независимые неизвестные функции, поскольку моменты всех порядков теперь связаны через функцию распределения элементов жидкости. Следовательно, уравнения для моментов в теории Чанга имеют несколько другой смысл по сравнению с таковыми уравнениями в классических статистических теориях или в обычных феноменологических теориях турбулентного переноса. Эти уравнения нужны лишь для того, чтобы облегчить решение уравнения Фоккера — Планка, по аналогии с методами, используемыми для решения уравнения Больцмана в кинетической теории газов [400—403]. [c.284]

Вывод состоит в том, что феноменологический подход непригоден при работе с шумом в нелинейных системах. Невозможно постулировать нелинейное уравнение Ланжевена или Фоккера—Планка, а затем пытаться однозначно определить его коэффициенты из макроскопических данных . Для того чтобы вывести уравнения для флуктуаций, нужно исходить из более подробного описания порождающего их механизма. С другой стороны, вывод из микроскопических уравнений с помощью техники проецирования является просто алгеб- [c.231]

Такую структуру поля турбулентности при высоких числах Рейнольдса можно описать с помощью стохастического уравнения Ланжевена с соответствующей интерпретацией различных членов [53, 54]. Чангу удалось вывести, используя уравнение Ланжевена и некоторые дополнительные упрощающие предпо1тожения, уравнение типа Фоккера — Планка для функции распределения ЭЛ L J TOF жидкости в фазовом пространстве. Помимо того, что это [c.204]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология