Дифференциальные уравнения динамического программирования

Таким образом, из функционального уравнения динамического программирования мы получили нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (19). Решение этого уравнения с учетом соотношений (20) — (27) привело к соотношению (28), которое оказалось тождественным уравнению Эйлера — Лагранжа, выведенному с помощью методов вариационного исчисления. При другом варианте применения метода динамического программирования f х, у) можно было бы получить непосредственно из уравнения (19). Для этого нужно найти производные в каждой точке (х, у). [c.146]

Применение метода динамического программирования для оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации приводит к решению диф([)еренциальных уравнений в частных производных. Вместо решения таких уравнений зачастую значительно проще представить непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий. Подобный прием оправдан особенно в тех случаях, когда имеются ограничения на переменные задачи и прямое решение дифференциальных уравнений осложняется необходимостью учета указанных ограничений. [c.32]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Большая часть методов решения оптимальных задач основана на предположении, что математическая модель оптимизируемого объекта известна. Более того, многие методы оптимизации используют конкретные свойства объекта и его математического описа-, ния. Например, для многостадийных процессов эффективным методом оптимизации является динамическое программирование для процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, — принцип максимума. [c.27]

В предыдущих разделах настоящей главы рассматривались вопросы применения метода динамического программирования для оптимизации дискретных многостадийных процессов. Именно при анализе таких процессов, которые допускают четкое разбиение на стадии, наиболее наглядно проявляются основные достоинства этого метода как способа решения оптимальных задач для процессов с произвольным числом управляемых стадий. Однако метод динамического программирования можно использовать также и для оптимизации процессов с распределенными параметрами и нестационарных процессов с сосредоточенными параметрами, которые изменяются непрерывно. При этом закон их изменения описывается системами дифференциальных уравнений [c.295]

Проблеме оптимизации процессов в химических реакторах посвящен ряд монографий [8—10], поэтому мы ограничимся рассмотрением и обоснованием решения задачи А. Применим для решения этой задачи аппарат динамического программирования при условии соблюдения достаточной общности в постановке задачи. Эти условия сводятся к следующим четырем требованиям 1) управление процессом осуществляется s-вектором 2) процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка при этом порядок исследуемых реакций может быть произвольным, и, следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1) в общем случае не линейна 3) исследуемый процесс является многомерным, т. е. число реагентов может быть произвольным 4) на переменные управления и фазовые переменные наложены ограничения. [c.145]

Для сложных реакций оптимизация селективности промышленного процесса обычно играет первостепенную роль. Включение в число оптимизируемых переменных параметров пористой структуры и размера зерна катализатора для сложных реакций чрезвычайно усложняет задачу оптимизации химического реактора. В принципе аналитические методы (динамического программирования, принцип максимума Понтрягина) позволяют получить условия оптимальности для параметров, характеризующих пористую структуру катализатора. Однако факт, что для определения скорости реакции необходимо решать краевую задачу для системы дифференциальных уравнений 2-го порядка, определяющих изменение концентраций реагентов в зерне, делает бесполезными аналитические методы. [c.199]

Для периодических процессов или тех случаев, когда динамика процесса существенна для решения. задач автоматического регулирования, применяется и широко используется другой метод, названный динамическим программированием Он может с успехом применяться как при решении задач, с которыми мы уже встречались при подсчете вариаций, так и других разнообразных проблем. Он сильно отличается от метода подсчета вариаций. Процесс представляется рядом дифференциальных уравнений, которые позволяют рассчитать его последовательные состояния. Выбор наилучших значений устанавливаемых переменных имеет в этом случае многозначное решение. Динамическое программирование основано на принципе оптимальности, который утверждает Метод оптимизации заключается в том, что каковы бы ни были начальные состояния и начальные решения, последующие решения должны составляться оптимально по отношению к результирующему состоянию, достигнутому после первого решения . [c.446]

В динамическом программировании дискретные процессы и дискретные переменные часто возникают в связи с 1) аппроксимацией дифференциальных уравнений конечными разностями 2) рассмотрением N -стадийных процессов 3) поиском оптимума на сетке переменных. [c.18]

Формулировка метода динамического программирования показывает, что он используется для максимизации или минимизации функций. Этот метод, однако, не дает алгоритма оптимизации. Представляется возможным использовать другие способы оптимизации, основанные на применении дифференциального исчисления, градиентных методов, метода поиска, метода проверки или даже методов приближенного решения уравнений типа (1) [1]. [c.21]

Интересно отметить, что метод динамического программирования приводит к задаче с начальными условиями (задаче Коши) для дифференциального уравнения в частных производных. Классические же методы вариационного исчисления дают и двухточечную граничную задачу для уравнения Эйлера—Лагранжа. Вообще говоря, граничная задача решается с большими трудностями, чем задача с начальными условиями. [c.132]

Из этого примера видно, что с помощью дифференциальных уравнений и множителей Лагранжа действительно можно решать такие задачи. Вопросы, связанные с возможными трудностями при решении уравнений для различных комбинаций т] и должны быть рассмотрены другими приемами. Именно в связи с этим динамическое программирование оказывается более простым методом. Вместо того чтобы совместно решать большое число уравнений, с помощью динамического программирования можно свести задачу к рассмотрению последовательности функций, зависящих лишь от одной из переменных, описывающих концентрации (см. разд. 2 гл. 3). В методе, использующем дифференциальные уравнения, каждому ограничению соответствуют два уравнения одно—для ограничения, другое—для связанного с ним множителя Лагранжа. В методе динамического программирования каждое ограничение сужает допустимую область и в сущности облегчает решение задачи. [c.199]

Применение динамического программирования для решения рассматриваемой задачи управления особенно полезно, так как позвол-яет получить ответ в численном виде. Как показано в гл. 4 и 5, поставленную задачу можно сформулировать заново, используя в качестве математического аппарата дифференциальные уравнения в частных производных. Вышеуказанный подход является, по-видимому, наиболее прямым и простым. [c.278]

В разд. 10 гл. 5 указывалось, что для детерминированных процессов решение можно получить как с помощью динамического программирования, так и с помощью дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление позволяет определить всю последовательность функций у,- как решение системы из N уравнений. Метод динамического программирования приводит к тем же результатам на каждой стадии посредством последовательного вычисления величины соответствующего дохода и значения управляющей переменной и,. Для случая детерминированных процессов можно применять как динамическое программирование, так и дифференциальное исчисление. [c.443]

На основе этого утверждения построен алгоритм оптимизации, являющийся модификацией градиентного метода, рассматриваемого в гильбертовом пространстве [156]. Этот алгоритм использовался для решения задачи, поскольку применение алгоритмов, основанных на принципе максимума Понтрягина или динамическом программировании, затруднено вследствие нелинейности дифференциальных уравнений исходной системы. [c.102]

Для достижения указанных целей в основу этих моделей должны быть положены адаптированные для описания функционирования трубопроводных и канальных систем базовые уравнения механики и электродинамики сплошных сред, современные алгоритмы нелинейного и динамического программирования, методы теории дифференциальных уравнений и оптимального управления. Взаимосвязь между моделями внутри комплекса целесообразно осуществлять путем взаимного формирования краевых условий и модификаций общей базы данных. [c.15]

В соответствии с материалом Раздела 1.1 в основу этих моделей должны быть положены адаптированные для описания функционирования трубопроводных систем базовые уравнения механики и электродинамики сплошных сред, современные алгоритмы нелинейного и динамического программирования, методы качественной теории дифференциальных уравнений. [c.39]

Первый способ состоит в приведении дифференциальных кинетических уравнений к системе нелинейных алгебраических уравнений с последующей минимизацией среднеквадратичного критерия одним из методов нелинейного программирования, что в терминах теории динамических систем означает сведение динамической задачи идентификации к статической задаче наблюдения. При этом оперирование со скоростями химических реакций как с параметрами в статической задаче наблюдения осложняется значительными ошибками, неизбежно возникающими нри экспериментальном определении скоростей химических реакций. [c.461]

Метод принципа максимума для сложвцх процессов значительно экономнее метода динамического программирования. На основе данного метода удается создать общий подход к решет нию задач оптимизации стационарных и нестационарных каталитических процессов. Этот метод заключается в решении краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и определении оптимального управления на каждом шаге интегрирования исходя из условия максимума некоторой функции Решение состоит в выборе некоторых начальных условий и их дальнейшего уточнения для нахождения оптимального режима. Указанная процедура позволяет разработать эффективный численный метод решения краевых задач. [c.495]

Непосредственное применение метода динамического программирования к этим задачам приведет к необходимости решения специального вида дифференциального уравнения в частных производных, в то время как принцип максимума приводит к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, что является в общем значительно более простой задачей. Правда, следует отметить, что если решение но методу динамического ирограммирования найдено, то мы получаем значительно больше информации, так как в результате становятся известными оптимальные режимы для всех начальных условий. Принцип максимума и вариационное исчисление дают оптимальный режим только для одной комбинации начальных условий. [c.38]

Арис [1, 2] дает введение к использованию динамического программирования для оптимизации дискретных и непрерывных процессов и рассматривает применение этого метода к широкому классу реакторов. Четкое описание способов использования классического вариационного исчисления для определения наилучшего распределения температур в реакторах с принудительным движением потока дано Катцем [5]. Катц показал, что применение динамического программирования к этой задаче приводит к дифференциальному уравнению в частных производных. Рассмотренные в предыдущей главе доклады Хорна посвящены применению градиентного [c.381]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология