Факторизация матрицы

Если мы вычтем энергию Е из диагональных матричных элементов Hkk и проведем факторизацию матрицы гамильтониана, то получим набор секулярных детерминантов, равных нулю и имеющих следующий общий вид [c.165]

При теоретическом расчете спектров трехмерных кристаллов, построенных из регулярных полимерных цепей, используют математический аппарат факторизации матриц, применяемый для анализа колебаний одномерной спиральной цепи. При этом трехмерность колеблющейся системы учитывается введением трех величин сдвига фаз между колебаниями эквивалентных атомов, расположенных на трех независимых кристаллографических осях . Вероятно, именно такой подход может дать максимум информации относительно природы наблюдаемых в спектре кристалла сдвигов и расщеплений полос, оценить величину и характер межмолекулярных взаимодействий в решетке. [c.65]

Для сцепленных с полом генов выражение имеет следующий смысл отношение между бабкой со стороны отца и внучкой такое же, как между матерью и дочерью, как будто бы отца как промежуточной ступени и не было. Конечно, это объясняется тем, что отец всегда передает те же самые гены Х-хромосомы, которые он получил от своей матери. Это произведение двух переходных матриц эквивалентно факторизации матрицы Т для аутосомных генов, происходящей в два этапа на первом этапе определяется вероятность того, что какой-либо ген будет передан от родителя к потомку, а на втором — вероятности образования трех генотипов, если один ген задан. [c.128]

Для решения этих уравнений применяется метод исключения Гаусса [68, 69]. Мы используем обычную /-факторизацию матрицы V в левой части уравнения [c.86]

Вторичные подсистемы рещаются посредством неявной блочной Ш- (или иЬ-) факторизации, которая эквивалентна стандартному или реверсивному блочному исключению Гаусса, так называемому алгоритму Томаса. В процессе блочного исключения необходимо рещить третичные линейные подсистемы, чьи матрицы являются либо подблоками на главной диагонали, обозначенные буквой В на рис. 5.6, либо матрицы, которые их замещают в процессе исключения. На щагах 1Ь, 2Ь и т. д. схемы блочного уменьшения по строкам для решения фундаментальной линейной системы, как показано на рис 5.7 и обсуждаемом ниже, необходимо решить дополнительные подсистемы, которые будем называть системами малого ранга (соответствуют нижнему окаймлению на рис. 5.6). Априори нельзя определить ранг Т-матриц на рис. 5.7 или матриц, которые их замещают в процессе уменьшения по строкам. Разреженный участок рис. 5.6 лучше использовать в случаях, если [c.256]

Общая структура решения. В результате использования всех факторизаций (по симметрии, по оператору по слабой связи спинов) исходная матрица гамильтониана размерности 2" разбивается на подматрицы меньшей размерности г. Это приводит к существенному упрощению диагонализации, так как степень соответствующего векового уравнения понижается. Уровень сложности задачи, очевидно, будет определяться размерностью максимальной подматрицы Гт- [c.51]

Так как функции, соответствующие различным неприводимым представлениям групп, не смешиваются, то исходная матрица гамильтониана размерности 8x8 распадается на две подматрицы размерности 2x2 и 6x6, относящиеся к антисимметричным и симметричным функциям. Если учесть факторизацию по Jz, то четыре функции ф1 = 5з/2 фз = 1/2 ф7 = 0-1/2 ф8=З-з/г будут одновременно и собственными функциями оператора Ж остальные функции попарно смешиваются [c.61]

С П/П РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЛОЧНОЙ С ТРИДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ М-ДОМ ФАКТОРИЗАЦИИ [c.396]

В качестве начальных условий (А = 0) рекуррентного соотношения (3.72), (3.73) принимаются условия (3.68), после чего проводится факторизация модифицированной матрицы [/С ] [АГ] +Ьг [М] [c.115]

Факторизация за счет симметрии. Дополнительное упрощение матриц может происходить, если применять определенные операторы симметрии, которые могут коммутировать с гамильтонианом, причем переходы между различными типами симметрии запрещены. [c.97]

Обращение матрицы е-ьа производилось при помощи предварительной факторизации. Если главные миноры некоторой матрицы В не равны нулю, то такая матрица может быть представлена в виде произведения [c.7]

Процедура факторизации индуктивна и легко реализуема, обращение матриц Е+р, Б+Q элементарно. [c.7]

Следует отметить, что вследствие неоднозначности нахождения систем собственных векторов матриц и [6] как процедура сингулярного разложения произвольной прямоугольной матрицы в общем случае, так и процедура факторизации данных в частности не являются однозначными. [c.70]

Формальная, математическая сторона решения всех этих задач остается неизменной и включает следующие этапы формирование матрицы наблюдений нормировка или стандартизация данных в соответствии с конкретным характером решаемой задачи получение ковариационной или корреляционной матрицы факторизация данных, т. е. определение числа значимых факторов и получение решения АФА преобразование решения АФА. [c.73]

Поскольку на практике удобнее работать с действительными матрицами, введем действительные координаты факторизации [18] [c.254]

Здесь У° бс)—матрица потенциальной энергии внутримолекулярного взаимодействия в декартовых координатах факторизации. Если, например, кристаллографическая ячейка содержит две молекулы (й = 2 полиэтилен, [c.265]

Многочисленные сравнения разных методов нелинейной фильтрации [35, 44, 66] показали, что расширенный фильтр Калмана с факторизацией ковариационной матрицы ошибок Р = (где — верхняя треугольная матрица, а Б—диагональная матрица) [15] дает наименьшую неустойчивость при числовых расчетах и наибольшую нечувствительность к вариациям принимаемых априори статистик входных возмущений. Фильтр квадратного корня (фильтр Поттера—Шмидта) [16] с Р = 55 (где 5 — квадратная матрица) также является удовлетворительным методом нелинейной фильтрации. [c.171]

Использование симметрии молекул приводит к факторизации дзета-матрицы способом, подобным факторизации нормальных координат, рассмотренной в предыдущем разделе. Все выведенные выше соотношения, записанные через обобщенные координаты 5г, справедливы (с необ.ходимыми изменениями) и для координат симметрии. Свойства симметрии, которыми обладают матрицы М , С и позволяют значительно упростить расчет. Наиболее важное из этих свойств известно как правило Яна [244], на основании которого делается заключение, между какими колебательными состояниями имеет место кориолисово взаимодействие. Так, если Qi и Qj — нормальные координаты г-го и /-го нормальных колебаний, то 5 отлично от нуля в том случае, когда прямое произведение представлений Г(Сг)ХГ(С ), к которым принадлежат координаты Q и Qj, содержит представление Г(/ а) для вращения вокруг оси координат а. [c.293]

Теперь, после того как найден Н, можно видеть, что коммутационные условия (5.4.20) формально эквивалентны таким же условиям, имеющим место в случае замкнутых оболочек поэтому факторизация (5.4.1) применима и в нашем случае. Следовательно, как и для случая замкнутых оболочек, столбцы матриц Т1 и Та могут быть получены как решения следующей задачи на собственные функции и собственные значения [c.169]

Гиперэллиптические кривые. В разделе 4 мы покажем, как ШТ(Л) связано с многообразием Якоби гиперэллиптических кривых. Многообразие 9Л(Л) п-мерно, однако факторизация по 1-мерной группе приводит к (п —1)-мерному многообразию Ш, которое изоморфно многообразию Якоби гиперэллиптических кривых рода п — 1. Это обобщает утверждение для геодезического потока на эллипсоиде, в случае которого Ш получается отождествлением прямых х х зу с точками и факторизацией по отражениям Xj Xj. Доказательство основано на введении второй матрицы М = М(у), чей спектр f.lj, вместе со спектром Ь = Ь х,у) определяет ж, у. Другими словами, х, у описываются двумя спектрами, каждый из которых задается множеством функций в инволюции. Спектр М рассматривается как дивизор отображения Якоби. Вычисление симплектической формы а в этих переменных принимает вид [c.135]

Используем для матрицы плотности реу(0 факторизацию ре == рер.,. Усредняя полученные уравнения по временам, большим по сравнению с периодом. осцилляций недиагональных элементов р - (/), р ( ), получим систему [c.225]

Общий метод (7-факторизации в этом случае заключается в следующем преобразовании матрицы коэффициентов [c.107]

Не входя в детали математической обработки подобных матриц, мы хотели бы указать еще один путь, представляющий альтернативу ранее обсужденной процедуре факторизации матрицы на секулярные детерминанты. Этот путь служит основой для серии компьютерных программ решения квантовомеханиче-скйх задач. Рассматриваемый здесь вопрос излагается в математических руководствах под рубрикой проблема собственных значений. [c.167]

Однако поскольку был использован блочный метод при решении задачи линеаризации, то полоса заполнения Якобиана не ифает существенной роли. В-матрицы на блочной диагонали Якобиана или матрицы, которые замещают их в ходе блочной факторизации, могут быть факторизованы скалярно-элементным способом. Поэтому на диагональ помещались основные производные уравнений энергетических балансов по температуре, что позволяет устранить ненужные перестановки при решении задачи линеаризации. В результате уравнения были упорядочены в следующей последовательности Л/, 1,. .., Л/д с, Е Q, I,. .., Qi и затем продифференцированы. [c.250]

Мы уже указывали, что характером представления называется след соответствующей ему матрицы (сумма ее диагональных элементов). Характеры одномерного, двумерного и трехмерного представлений для тождественного преобразования равны 1, 2 и 3, а для операции вращения — соответственно 1, 2со5ф и l- -2 os . Последние соответствуют характерам представлений вращения в одномерном, двумерном и трехмерном пространствах. В трехмерном пространстве наряду с вращениями вокруг оси Z имеются еще вращения вокруг осей х и у. Матричные представления для каждого индивидуального вращения можно факторизовать на одно- и двумерные матрицы. Однако матрицы всех трех вращений не поддаются одновременной факторизации на одномерную и двумерную матрицы. [c.72]

Матрицу О можно построить при помощи матрицы В, а матрицу Р — при помощи координат В результате получатся матрицы размерности 10X10 и секулярный детерминант ЮХЮ. Их можно факторизовать с учетом симметрии, как это было проделано на примере воды. Однако легче сначала найти координаты симметрии (выполнить факторизацию по симметрии), так чтобы вообще не пришлось строить больших матриц Р и О. Эта процедура, в сущности, не отличается от построения матриц на симметризованных функциях в задачах, относящихся к теории молекулярных орбиталей. Симметризованные координаты можно получить с учетом локальной и перестановочной симметрии. Координаты / , имеют локальную симметрию Сз и перестановочную симметрию Ог. Эти координаты преобразуются в группе Сзи по представлению Ау. Рис. 16.1 позволяет убедиться, что координаты валентных смещений могут приводить к колебаниям Ау либо Гг. Комбинация, соответствующая представлению А перестановочной группы Ог, приводит к колебанию Ль а комбинации Ву, Вг п Вз дают каждая по одной компоненте колебания Гг. Эти колебания нетрудно записать, пользуясь таб- [c.341]

ОбычгО оказывается, что эти состояния взаимодействуют попар /о, что приводит к факторизации 4 X4-матрицы на две 2Х2-матрицы. При этом одну пару составляют Фл->л и Фв в, а другую —Ф.д в и Фв л. [c.164]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология