Математический анализ Уравнения пограничного слоя

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Глава 5 посвящена методам численного моделирования течений в пограничных слоях, струях и каналах. Теория пограничного слоя — один из важнейших разделов современной гидрогазодинамики. Она нашла широкое распространение и применение для расчета трения и теплопередачи на телах, движущихся в потоке жидкости и газа. Методы теории пограничного слоя используются также для анализа течений в следах за движущимися телами, течений в струях и течений в каналах. В главе 5 сначала формулируются основные математические задачи, которые моделируют указанные течения, затем на примере простейшей системы уравнений теории пограничного слоя — уравнений Прандтля — строится разностная схема и приводится алгоритм расчета. Далее этот метод обобщается п дается описание схемы (получившей название основной) для интегрирования систем уравнений типа пограничного сдоя. Решение стационарных задач пограничного слоя разностными методами получило в настоящее время широкое распространение. Методы, описанные в этой главе, оказались легко применимыми к различным задачам этого класса и достаточно эффективными с точки зрения скорости счета и загрузки оперативной памяти ЭВМ, что позволяет применять их на машинах малой и средней мощности. [c.13]

Было рассчитано влияние выталкивающей силы на характеристики течения в пограничном слое на плоской горизонтальной поверхности, которая обращена вверх и имеет температуру io(- i). При to > to выталкивающая сила создает отрицательный градиент давления, а при io < i — положительный градиент давления (гл. 5). Поскольку в общем случае уравнения, описывающие течение в условиях смешанной конвекции, не допускают автомодельных решений, в анализе приходится применять иные математические методы. [c.593]

Введенное Прандтлем (1905 г.) понятие пограничного слоя в турбулентном потоке оказало большие услуги гидродинамике и наукам, связанным с нею. Аналогично теории подобия эта концепция стала своего рода заменителем математического анализа там, где уравнение Навье— Стокса становится ошибочным. [c.345]

Исследование формирования облака частиц в турбулентном пограничном слое, возникающем за лидирующей УВ, было продолжено в работе [10]. Концентрация пыли, изменяющаяся за время наблюдений на несколько порядков, определялась по ослаблению излучения гелий-неонового лазера. Пыль помещалась в кювету длиной 300 мм (к сожалению, глубина ее не сообщается). Верхняя поверхность слоя сглаживалась заподлицо с нижней стенкой ударной трубы. Измерения концентрации частиц проводились в сечении на расстоянии 280 мм от передней кромки кюветы на различных высотах от дна ударной трубы. Профили концентрации были аппроксимированы экспоненциальными функциями, зависящими от времени для чисел Маха инициирующей УВ М = 1.1, 1.18 и 1.29. Аналогичные профили получаются в теории пневматического переноса в турбулентном течении двухфазной смеси в трубе. Эта теория основана на гипотезе пути смешения Прандтля. Для теоретического анализа турбулентного смешения слоя пыли с газом в данной работе использована математическая модель [11], описывающая процесс поднятия пыли на основе уравнения турбулентной диффузии. Исходными параметрами служили коэффициент диффузии в направлении, перпендикулярном оси ударной трубы, ку = ку (i), а [c.188]

Отличительной чертой творческих поисков этого талантливого и эрудированного исследователя является стремление создать достаточно точный и надежный, универсальный метод расчета самого обширного круга задач конвективного переноса импульса тепла и массы, одинако-30 приемлемый как для научных работников, так и для инженеров, работающих в различных отраслях техники и производства (авиация, энергетика, химическая и пищевая технология и др.). В прошлом Д. Б. Сполдингу удалось разработать такой унифицированный инженерный расчетный метод, опирающийся на несложную модель потока Рейнольдса. Метод был по необходимости предельно упрощенным, поскольку его автор задался целью обойтись только средствами и приемами элементарной математики, отказавшись от привлечения аппарата математической физики и численного анализа. Вследствие этого Д. Б. Сполдингу тогда пришлось отказаться от решения сложных дифференциальных уравнений переноса и использования эффективной теории пограничного слоя. Расчеты базировались на алгебраических соотношениях интегральных балансов сохранения. Естественно, такой подход, несмотря на его универсальность, простоту и доступность для инженера, был все же ограниченным в своих возможностях и не позволял решать некоторые задачи совместного вынужденного тепло- и массообмена, представляющие интерес для новой техники. [c.3]

Мы в дальнейшем будем иметь дело с турбулентными течениями. В своем анализе мы будем пользоваться лишь осредненными зо времени величинами. Перемешивание, обусловленное пульсациями скорости, будет фигурировать в членах, выражающих эффективные касательные напряжения и потоки они же в свою очередь представляются в виде произведений эффективных коэффициентов обмена на поперечные градиенты соответствующих величин. Достоинством такой формулировки является возможность использовать уравнения в форме, такой же, как для ламинарного пограничного слоя. Поэтому способ решения, излагаемый в книге (гл. 2), одинаково хорошо применим как к ламинарным, так и к турбулентным течениям. Мы будем опираться на этот факт в исследованиях математической точности численного метода. [c.24]

Сложность гидродинамической обстановки в газожидкостных реакторах не позволяет пока достаточно строгим анализом получить уравнения для расчета коэффициентов массопереноса как в газовой, так и жидкой фазах, и затруднения, прежде всего, обусловлены подвижностью границы раздела фаз, что осложняет математическое описание проникновения турбулентных пульсаций в пограничный диффузионный слой. Поэтому в настоящее время при расчетах массопередачи в промышленных аппаратах приходится пользоваться эмпирическими уравнениями, ориентируясь на надежность результатов только в условиях, близких к экспериментальным. [c.42]

Книга У. X. Дорренса Гиперзвуковые течения вязкого газа является первой монографией, в которой излагаются проблемы высокотемпературного пограничного слоя при наличии химических реакций. Содержание книги целиком относится к первому направлению численные методы решения в книге не затрагиваются. Поэтому естественно, что анализ исследуемых в ней задач имеет лишь чисто качественный характер. Автор в большинстве случаев рассматривает раздельно влияние различных факторов, и полученные выводы поэтому являются обычно лишь указанием на то, в какую сторону тот или иной фактор влияет. Но из-за существенной нелинейности уравнений пограничного слоя на основании этого еще нельзя сделать заключения о количественных эффектах при совместном воздействии различных факторов. Точные количественные характеристики могут быть получены сейчас только в результате численных расчетов с помощью вычислительных машин. Однако все же понимание физической картины явлений в пограничном слое имеет важнейшее значение и для точной математической формулировки задач, и для конструкторских работ при решении практической задачи теплозащиты гиперзвуковых аппаратов, указывая пути, на которых можно иайти их решения, после чего уже можно с помощью точных численных расчетов получить и некоторые количественные характеристики. [c.6]

Анализ основных положений приведенных выше взглядов различных исследователей по вопросу массопередачи в системе газ — жидкость, проведенный А. М. Розеном, Б. А. Кадером и В. С. Крыловым, освещен в монографии Астариа [180]. Авторы считают, что значительная часть существующих в настоящее время теорий массопередачи использует слишком грубые допущения и подменяет учет конкретных гидродинамических условий введением не поддающихся расчету и недоступных для непосредственного наблюдения и количественного определения различных параметров. С их точки зрения представляется перспективной теория диффузионного пограничного слоя, дающая возможность введением физически обоснованных упрощений преодолеть математические трудности, связанные с решением уравнения конвективной диффузии и подойти к описанию турбулентного режима массопередачи. [c.270]

Кинетика гетерогенных процессов обмена в общем случае определяется скоростяхми протекания целого комплекса микро-и макроскопических процессов скоростями химических реакций, интенсивностью адсорбционно-десорбционных процессов, скоростью диффузии реагентов в гидродинамическом пограничном слое и т.д. Полное и точное математическое описание всех этих процессов приводит к громоздким системам дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, решение которых с необходимой точностью не всегда удается получить не только аналитически, но даже численными методами. Трудности полного математического описания кинетики гетерогенных процессов являются причиной широкого распространения методов формальной кинетики, в которой используются линейные или нелинейные кинетические дифференциальные уравнения, в состав которых входят константы, определяемые в результате обработки экспериментальных данных. Такие кинетические уравнения удовлетворительно описывают кинетику процессов обычно только для отдельных элементов общей поверхности межфазного контакта для отдельного зерна катализатора, для единичного элемента диспергированного адсорбента и т. д. С другой стороны, расчет технологических процессов требует анализа кинетики гетерогенного обмена для всей поверхности межфазного контакта, с учетом реальных условий протекания процесса в конкретном аппарате или реакторе. На практике в большинстве случаев условия протекания гетерогенного обмена неодинаковы в различных частях общей поверхности межфазного контакта и могут различным образом изменяться во времени. Причинами этого являются застойные зоны, флуктуации скоростей относительного движения фаз, пузыри и каналообразованне в реакторах с кипящим слоем и т. д. Таким образом, даже если в распоряжении исследователя имеется адекватное математическое описание кинетики процесса для отдельного элемента поверхности межфазного контакта, переход к описанию кинетики исследуемого процесса на всей поверхности межфазного контакта в условиях реального промышленного аппарата может оказаться достаточно сложным вследствие того, что многие физические процессы, влияющие на функционирование реальных аппаратов, имеют стохастическую природу. [c.197]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология