Пограничный слой типы уравнения

Эту трудность можно преодолеть путем использования метода вспомогательных функций, аналогичного описанному в 1 и позволяющего свести уравнение диффузионного пограничного слоя к уравнению типа теплопроводности. При этом концентрацию на входе в пограничный слой задаем как некоторую неизвестную функцию вспомогательных переменных. Построим далее обычным методом поля концентрации во внутреннем диффузионном пограничном слое и внутреннем следе, в выражения для которых войдет эта неизвестная функция, и осуществим процедуру асимптотического сращивания распределений концентрации в окрестности передней критической точки и в следе. В результате получается интегральное уравнение для определения введенной функции [23, 84, 86], решив которое найдем искомое поле концентраций внутри капли. [c.294]

В основе метода лежит приближенное преобразование нелинейных уравнений свободного турбулентного пограничного слоя в уравнения типа теплопроводности. [c.20]

Кинетическое уравнение для гетерогенного процесса описывает его суммарную скорость. Это заставляет нас выяснить, как включать скорости процессов переноса для отдельных стадий в общее выраже--ние скорости. Проблема нахождения скорости сложных процессов встречается при исследовании теплопередачи путем теплопроводности через слои различных материалов, конвективной тепло- и массопередачи от одной жидкости к другой через неподвижные пограничные слои, а также при изучении сложных реакций. Однако во всех указанных случаях суммарная скорость характеризуется скоростями процессов одного типа. [c.324]

Глава 5 посвящена методам численного моделирования течений в пограничных слоях, струях и каналах. Теория пограничного слоя — один из важнейших разделов современной гидрогазодинамики. Она нашла широкое распространение и применение для расчета трения и теплопередачи на телах, движущихся в потоке жидкости и газа. Методы теории пограничного слоя используются также для анализа течений в следах за движущимися телами, течений в струях и течений в каналах. В главе 5 сначала формулируются основные математические задачи, которые моделируют указанные течения, затем на примере простейшей системы уравнений теории пограничного слоя — уравнений Прандтля — строится разностная схема и приводится алгоритм расчета. Далее этот метод обобщается п дается описание схемы (получившей название основной) для интегрирования систем уравнений типа пограничного сдоя. Решение стационарных задач пограничного слоя разностными методами получило в настоящее время широкое распространение. Методы, описанные в этой главе, оказались легко применимыми к различным задачам этого класса и достаточно эффективными с точки зрения скорости счета и загрузки оперативной памяти ЭВМ, что позволяет применять их на машинах малой и средней мощности. [c.13]

Основная разностная схема для интегрирования систем уравнений типа уравнений пограничного слоя [c.124]

Рассмотрим один частный случай, при выполнении условий которого задача может быть решена до конца. Он соответствует движению типа пограничного слоя, т. е. высокоскоростной струе с ярко выраженной локализацией скоростного профиля вблизи оси. В следующем параграфе будет показано, что движения такого типа сохраняют статическое давление поперек слоя. Следовательно, постоянная интегрирования = 0. Кроме того, как указывается в [70], С2 = О, 1 — = 1 — т]о, а членом 4r]f можно пренебречь. В результате вместо (1.24) получаем уравнение [c.16]

Принципиальное значение имеет вопрос возможно ли свести расчет пограничного слоя к расчету профилей скорости и температуры только в одном сечении слоя, например 5 = 5о- Иными словами, возможно ли свести нелинейную систему дифференциальных уравнений параболического типа (1.52) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений На этот вопрос существует положительный ответ оказывается, что при степенном (и экспоненциальном) законе изменения скорости внешнего движения уравнения неразрывности и баланса количества движения приводятся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению, правда нелинейному. Такие движения, как было показано, возникают при обтекании клина. [c.39]

Будем считать течение струи в области, достаточно удаленной от выходного сечения сопла, течением типа пограничного слоя. Уравнения, определяющие такое течение, неавтомодельны из-за наличия выталкивающей силы. Их можно решить численным методом, как это сделано в статье [14]. Уравнения приведены к безразмерному виду, причем за характерные величины приняты скорость ыо и температура /о в выходном сечении и вер- [c.199]

Уравнения неразрывности (5.1.7) и энергии (5.1.8) остаются прежними. Заметим, что при 0=я/2 градиент Рт отрицателен. Но как будет показано в разд. 5.3, это не приводит к натеканию на переднюю кромку и развитию течения типа пограничного слоя, начинающегося от передней кромки. [c.216]

Два наиболее широко исследованных типа криволинейных поверхностей— это симметричные, двумерные плоские (клиновидные) тела, изображенные на рис. 5.1.2, а, и осесимметричные (конусообразные) тела, изображенные на рис. 5.1.2, б. При исследовании таких поверхностей обычно предполагается, что толщина пограничного слоя мала по сравнению с местным радиусом кривизны. Поэтому нормальной составляющей выталкивающей силы Вп и давлением рт пренебрегают. Тогда в приближении теории пограничного слоя и в этих предположениях применимы уравнения (5.1.11) — (5.1.13). [c.251]

Теплоотдача при умеренных и малых числах Грасгофа. Имеется много прикладных вопросов и экспериментов, в которых реализуются такие условия. Метод пограничного слоя в этих случаях неприменим. Преобладающими оказываются весьма существенные при малых числах Грасгофа явления, связанные с кривизной пограничного слоя, которыми пренебрегают в анализе методом пограничного слоя. В этом случае требуется получить более детальное решение полной системы двумерных уравнений Навье — Стокса совместно с уравнением энергии. В работе [133] получено одно из таких численных решений при Рг=0,72 для чисел Грасгофа Ог от 10 до умеренных величин порядка 10 . Использовано преобразование типа преобразования Блазиуса (см. выражения (5.4.24) и разложения (5.4.28) — (5.4.30)), и уравнения относительно главных членов разложений, функций /о и фо, решены численным методом. На рис. 5.4.4 показаны расчетные профили температуры и скорости при различных величинах ОТ . С уменьшением числа Грасгофа профили температуры, по-видимому, почти перестают зависеть от Ог . Но приведенные в следующей таблице величины о(О) значительно изменяются в зависимости от Сг [c.264]

При таянии плоской вертикальной ледяной пластины, расположенной даже в соверщенно спокойной соленой воде, создается свободноконвективное течение. В этих условиях движение жидкости представляет собой течение типа пограничного слоя и его характеристики можно рассчитать, как будет показано ниже.. Основными уравнениями для установившегося течения жидкости с постоянными теплофизическими свойствами являются уравнения (9.3.1) — (9.3.3). Уравнение концентрации получается из уравнения (6.2.35) и имеет вид [c.550]

Расчет характеристик устойчивости развивающихся при естественной конвекции течений различного типа, которые рассматривались в разд. 11.2, 11.8—11.10 и 11.12, основан на обычных предположениях теории пограничного слоя и параллельности течения. С помощью этих предположений из системы полных уравнений устойчивости (11.2.11) — (11.2.13) были получены путем исключения некоторых членов порядка 0(0- ) уравнения Орра — Зоммерфельда (11.2.30) и (11.2.31). Члены такого же порядка малости исключались и из уравнений основного осредненного течения. Можно показать, что эти члены уравнений содержат производные более низкого порядка, чем члены в правой части уравнений (11.3.30), (11.2.31), и поэтому ими можно пренебречь. [c.109]

Решение приведенных выше уравнений является более сложной задачей, чем ранее. Однако во многих случаях можно использовать различные упрощающие приближения. Так, например, при малых разностях температур в области, где исследуется перенос, можно пренебречь изменениями свойств жидкости, учитывая при этом только различия в плотности, которые, собственно говоря, и являются причиной свободноконвективных движений. Далее в случае установившихся течений производные по времени оказываются равными нулю. Наконец, к еще большим упрощениям приводит использование приближений типа пограничного слоя. Все эти аппроксимации подробно обсуждались нами в гл. 2—5 для различных течений ньютоновских жидкостей. Аналогичные упрощающие соображения применяются также и при описании процессов переноса в неньютоновских жидкостях. [c.421]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Многие течения вблизи нагретых или охлаждаемых поверхностей можно считать установившимися и двумерными примером такого рода могут служить течения около вертикальной плоской поверхности или около цилиндра. Кроме того, для многих видов тепловых граничных условий можно использовать аппроксимации типа пограничного слоя. Для таких течений, внешних по отношению к плоской наклонной, двумерной плоской либо криволинейной поверхности, поддерживаемой при температуре и, в бесконечной покоящейся среде с температурой основные определяющие уравнения (если пренебречь при этом в уравнении энергии членами, характеризующими вязкую диссипацию и работу сил давления) принимают вид [c.421]

Пограничный слой, возникающий при естественной конвекции вблизи полубесконечной вертикальной пластины конечной толщины, рассматривался в работе [42]. Предполагалось, что в пластине имеются произвольным образом распределенные источники тепла, причем выделяемая ими энергия рассеивается в жидкости за счет ламинарной естественной конвекции в установившемся режиме. Используя преобразование Фурье для уравнений теплопроводности и метод разложения в ряд для уравнений пограничного слоя, авторы работы [42] построили распределения температуры и теплового потока в пластине. Проведено исследование ламинарной естественной конвекции около конического, обращенного вершиной вниз ребра [54]. При этом процесс теплопроводности в ребре считался одномерным, а для описания течения использовались приближения типа пограничного слоя, что позволило получить соответствующие профили скоростей и температур. Исследовались течение около вертикальной пластины конечной толщины при постоянном тепловом потоке на ее поверхности и условия кондуктивной теплопередачи в пластине. Геометрическая схема этого случая представлена на рис. 17.5.1, в. Условие постоянства теплового потока приводит к появлению поперечного температурного градиента при у = О, который и обусловливает развитие процесса теплопроводности внутри пластины. [c.480]

Так же, как и в случае клина, вдоль конуса могут иметь место два типа течений с числами М< 1 и М> 1. Образующийся вдоль поверхности конуса пограничный слой будет иметь в двух этих случаях разные граничные значения на внешней его поверхности, уравнения же для него будут одинаковыми. Для формулировки этих последних удобно воспользоваться сферической системой координат (6,24), учитывая при этом независимость всех величин от угла ср. [c.251]

Трудность решения уравнения (1.17) определяется сложностью структуры пограничного слоя, т. е. части атмосферы, испытывающей непосредственное влияние подстилающей поверхности. Различия в рельефе, шероховатости и альбедо - главные причины значительных вариаций условий на ее границе с атмосферой. Кроме того, турбулентное движение состоит из вихрей разных размеров, взаимодействующих и обменивающихся между собой энергией и количеством движения. Небольшие вихри играют очень важную роль в диссипации энергии и вещества, поэтому необходимо принимать во внимание даже самые мелкие из них. Однако при учете всех этих особенностей аналитическое решение уравнений материального баланса типа (1.17) становится нереальной задачей даже для случая хи.мически инертных компонентов (что позволяет пренебречь членом Д, в правой части). Поэтому для решения уравнения с учетом многочисленных химических реакций приходится прибегать к существенным упрощениям, в первою очередь - за счет членов, описывающих адвективный и турбулентный перенос. Некоторые прие.мы такого упрощения будут приведены в последующих разделах. [c.22]

Для нерегулярной насадки типа ЗСК (глава 5) коэффициенты массоотдачи в газовой и жидкой фазах найдены по уравнениям полученных на основе модели диффузионного пограничного слоя в работах [1,36]. Выполним аналогичную замену коэффициентов бинарной диффузии на матрицу коэффициентов многокомпонентной диффузии. [c.152]

Учет влияния степени перемешивания жидкости на скорость протекания параллельных и последовательно-параллельных газожидкостных реакций является весьма сложной операцией. Даже для необратимых реакций типа А + В р1 и С + В р2, протекающих в пограничном слое, удалось получить расчетные уравнения для скорости массопередачи только при предельных гидродинамических режимах. Трудность увеличивается, если некоторые реакции протекают и в основной массе жидкости. В этом случае скорость массопередачи в значительной степени определяет величину концентрации реагентов. [c.157]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Таким образом, в результате упрощений, сделанных при выводе уравнений пограничного слоя из уравнений Навье-Стокса, порядок системы понизился с четвертого до третьего. Показательно также, что в стационарном случае д/дт = 0) при переходе к уравнениям пограничного слоя тип системы меняется с эллиптического на параболический. В этой связи наряду с очевидными граничными условиями при у = О ф = О, дф/ду = О, следующими из условий непротекания и прилипания, необходимо [c.166]

Дальнейшее развитие гидродинамическая теория вязкого подслоя получила в работе Шуберта и Коркоса [43, 44]. В ней линеаризованные уравнения Навье — Стокса для пульсаций скорости упрощались за счет того факта, что в области вязкого подслоя отсутствует нормальный градиент пульсаций давления. Шуберт и Коркос положили этот факт в основу линейной теории и на этой основе смогли разрешить многие из отмеченных трудностей в постановке граничных условий. При этом подслой рассматривался как узкая область типа пограничного слоя, реагирующая на турбулентные флуктуации давления, которые создают известную движущую силу для процесса переноса импульса в подслое. Предположение о том, что р(х,у,гх)=р х,хг) (где индекс ш — условие на стенке), позволило учесть условия во внешней части пограничного слоя, связав тем самым процессы эволюции турбулентных возмущений в этих частях пограничного слоя, и в то же время дало возможность ограничиться следующими простыми усло-вия.ми обычные условия прилипания на стенке и требование, чтобы при возрастании у влияние вязкости в решении исчезало. [c.179]

В плоскости X, у линии тока ф = е у - х) + + е = onst при е = 10 изображены на рис. 4.1. Стрелками показано направление течения. При х = 1пе величина и = О, и функция у(х) на линиях тока достигает максимума. Для выяснения типа решения (пограничный слой или регулярное решение) в различных областях подставим (1.11) в уравнение (1.4). Получим [c.181]

Уравнения Прандтля. Одним из важнейших разделов современной аэрогпдромеханики является теория пограничного слоя, основанная в 1904 г. Л. Прандт-лем и получившая широкое распространение п применение для расчета трения и теплопередачи на телах, движущихся в потоке жидкости и газа. Методы теории пограничного слоя нашли так ке применение для анализа течений в аэродинамических следах за телами, для исследования течений в струях п каналах. Прп определенных физических предполон енпях указанные течения описываются системами нелинейных уравнений параболического типа (имеющими много общего), которые в дальнейшем мы будем называть уравнениями типа пограничного слоя. [c.104]

Система (5.3.1), (5.3.2) слуногт для определения к + неизвестных V и / , I = 1, 2,. . ., к. Заметим, что одна из функций /, доляша совпадать с и, так как уравнение движения всегда может быть приведено к виду (5.3.1). Запись системы уравнений типа пограничного слоя в впде (5.3.1), [c.124]

Разностные методы решения уравнений типа пограничного слоя. Изложенные в предыдущих параграфах этой главы, могут быть применены к широкому кругу задач. В настояш ем параграфе будут даны примеры расчетов, иллюстрируюн] ие возможности описанных методов для решения различных задач аэродинамики. [c.138]

В большинстве случаев для каждого типа течения в некотором дианазопе чисел Ке существует единственное устойчивое стационарное решение уравпений Навье — Стокса, для получения которого можно использовать либо стационарные уравнения, либо нестационарные, рассматривая искомое решение как предел при i оо (метод установления). При увеличении числа Рейнольдса стационарное решение перестает быть единственным и начинает зависеть от начальных данных. При дальнейшем увеличении числа Ке реализуются только нестационарные режимы. Решение при этом имеет пе только нерегулярный характер во времени, но существенно усложняется и его пространственная структура, в частности, теряет устойчивость и дробится пограничный слой, в ядре появляются вторичные течения и т. д. Для онисания режимов такого типа стационарные уравнения Навье — Стокса недостаточны. [c.172]

Уравнение (1.88) — линейное, параболического типа. Для его решения при указанных краевых (т. е. начальных и граничных) условиях можно воспользоваться численным методом [например, методом сеток, заменив точное уравнение (1.88) приближенным конечно-разностным]. Такой путь уже давно освоен в теории пограничного слоя (С. Леви [92]. Флюгге-Лотц [85] и др.). Основным препятствием для их использования является незнание температурного профиля в начальном сечении. [c.52]

В случае когда температура поверхности поддерживается постоянной, аналогичное решение для таких течений типа пограничного слоя на диске впервые получили Ротем и Клаассен [147]. Рассмотрены только случаи оттекания от оси, но численные результаты не приводятся. Бланк и Гебхарт [18] рассмотрели эти течения при более общем законе изменения температуры поверхности. Показано, что уравнения пограничного слоя допускают автомодельное решение при степенном законе изменения температуры поверхности to—to = Nx . Но физически реальные решения существуют при to > ta лишь для значений п в диапазоне —1/2 /г 2, а при to toa — B диапазоне —4/3 и —1/2. В статье [18] обсуждаются также точные решения для некоторых течений на диске и пластине. [c.237]

Краткий обзор. Математическое исследование линеаризован- ных уравнений движения в роторе требует соответствующих граничных условий, определенных типом источника циркуляции и тепловыми условиями на стенке (например, стенка теилопроводящая или теплоизолированная). Ранние исследования движения быстро-вращающейся несжимаемой жидкости, изложенные в книге Грин-спана [4.10], показали, что вращение порождает ряд новых областей пограничного слоя, схематически изображенных на рис. 4.5. Метод решения состоит в определении течения в каждой из шести областей и в корректном согласовании полученных решений. Главное различие между теорией, развитой в книге Гринспана, и ее приложением к центрифуге состоит в учете сжимаемости газа и очень сильного радиального изменения его плотности [4.11, 4.12]. [c.188]

Численная реализация моделей течений, учитываюгцих неравновесные эффекты, сводится к решению смешанных нелинейных краевых задач для систем уравнений в частных производных высокого порядка с малыми параметрами перед старшими производными, и представляет собой сложную проблему. Кроме того, решения должны быть получены в областях, в которых наряду с подобластями гладких течений содержатся зоны резких неоднородностей типа ударных волн, пограничных слоев и с заранее неизвестными границами. Все это требует разработки и применения эффективных численных и аналитических методов исследования таких задач. [c.8]

Системы уравнений пограничного слоя, тонкого и полного вязких ударных слоев, параболизованные уравнения Навье-Стокса имеют эволюционный тип по продольной координате, поскольку вторые производные по этой координате в них отсутствуют. Однако маршевые методы решения будут корректными только для первых двух моделей, имеюгцих параболический тип во всем поле течения. [c.188]

Уравнения для пограничного слоя [уравнения (17)—(19)] были решены с помощью вычислительной машины для реакции второго порядка аррениусовского типа при определенных значениях безразмерной энергии активации, безразмерной энтальпии горения, чисел Прандтля и Шмидта и при различных значениях относительной температуры поверхности. На фиг. 3 показаны профили скорости, температуры, концентрации и скорости реакции в ламинарном пограничном слое на различных расстояниях от передней кромки горячей пластинки при отношении Тгс1Тсо = 3,9. Значения безразмерных энергии активации и энтальпии горения, чисел Прандтля и Шмидта равны 57,5 6,64 [c.143]

Исследование слоя Кнудсена на неравновесных поверхностях типа (22) показало, что макроскопические граничные условия для релаксационных уравнений энергии в многотемпературном пограничном слое могут быть записаны в виде следующих соотношений [19, 21, 22] [c.120]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология