Классический вывод уравнения Больцмана

КЛАССИЧЕСКИЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [c.37]

В этой главе мы ограничимся выводом классического кинетического уравнения Больцмана. Однако, помимо интеграла столкновений Больцмана, который, как мы увидим, имеет отнюдь не универсальную область применимости, ниже будут получены также иные интегралы столкновений. Последние уже нашли широкое применение в кинетической теории ионизованных газов. [c.174]

В разделе 7.1 из цепочки Боголюбова строго выводится уравнение Больцмана — наиболее известное из интегральных кинетических уравнений. Раздел 7.2 посвящен выводу классических уравнений гидродинамики из уравнения Больцмана, при этом для коэффициентов переноса (вязкости и теплопроводности) получены явные выражения. В разделе 7.3 излагается статистическая модель псевдоожиженного слоя, основанная на использовании интегрального кинетического уравнения типа Больцмана и Фоккера — Планка для функции распределения твердых частиц по координатам и скоростям. Построена также замкнутая система уравнений, описывающая изменение во времени гидродинамических параметров обеих фаз слоя. Приведены простейшие примеры применения этой системы уравнений при изучении структуры потоков в псевдоожиженном слое. [c.313]

Необходимо остановиться на основных допущениях, которые используются при выводе уравнения Больцмана и классических зависимостей молекулярно-кинетической теории. [c.56]

Большинство современных теорий жидкого состояния вещества основано на применении классических законов распределения Максвелла и Больцмана. Исходя из общих методов статистической механики, жидкость рассматривают как систему из большого числа взаимодействующих частиц и выводят уравнения состояния, т. е. зависимости между объемом, давлением и температурой жидкости, а также объясняют неравновесные макроскопические процессы и свойства жидкости на основе свойств молекул, их движения и взаимодействий. [c.62]

Следует особо отметить, что в последние годы получили детальную разработку законы молекулярной аэромеханики, основанные на кинетической теории Газов. Строго говоря, кинетическое уравнение Больцмана справедливо для сильно разреженных слоев атмосферы, где воздух нельзя считать сплошной средой. Однако исследования показывают, что применимость теории гораздо шире, ее выводы справедливы и для достаточно плотных газов. Хорошо известно, что из уравнения Больцмана получается вся классическая аэродинамика, основанная на уравнениях Эйлера и уравнениях Навье — Стокса. Кроме того, кинетическая теория позволяет вычислить численные значения коэффициентов вязкости, теплопроводности и диффузии. Эти вычисления проводятся строго теоретически на основании данных о силах взаимодействия между молекулами. На рис. 13 приведено сравнение вычисленных значений коэффициентов вязкости для чистых газов и для смесей газов с экспериментальными их значениями. Как видно, в широком диапазоне температур совпадение вполне удовлетворительное. [c.18]

Оставшаяся часть данной главы посвящена классическим методам вывода и изучению свойств уравнения Больцмана, которое было первым кинетическим уравнением, появившимся в литературе, и до сих пор является наиболее важным из всех существующих кинетических уравнений. [c.173]

Остановимся подробно на физическом обосновании и процедуре вывода классического уравнения Больцмана. При этом будем основываться на использовании цепочки уравнений Боголюбова [см. (В.3.28)] [c.314]

Исследование кинетического уравнения Больцмана позволило сделать вывод, что энтропия идеального газа монотонно возрастает со временем. На этот вывод полезно обратить внимание. Ведь стремление энтропии к максимуму в классической термодинамике не исключает возможности ее роста по различным путям, что для биологических систем является некоторой лазейкой. Уравнение Больцмана как будто закрывает жизни и этот путь. Но в действительности вывод о монотонности относится лишь к идеальному газу, и, следовательно, и статистическая теория, описывающая изменения неравновесной системы во времени, и не запрещает жизни возникнуть на каком-либо этапе эволюции системы. [c.59]

Уравнение Больцмана. Л. Больцман сделал допущение, что энтропия есть некоторая функция вероятности, 5 = / ( ). В классической термодинамике доказывается, что в самопроизвольном процессе энтропия возрастает. С точки зрения статистической термодинамики этот же процесс сопровождается возрастанием вероятности W. При равновесии 5 и принимают свои максимальные значения. Вид функции 8 = f (1 ) выводят, исходя из принципа аддитивности энтропии, согласно которому энтропия 5 = / (1 0 системы, составленной из двух независимых систем с энтропиями 81 = f (1 1) и 5 = / (ТУ г). р вна сумме последних, 5 = 4- или [c.102]

Использование кинетических уравнений открывает один из путей построения микроскопической теории химических превращений. Тем не менее следует иметь в виду, что уравнение (2.156) обладает рядом важных недостатков. Например, оно не описывает, по-видимому, очень быстрые процессы [119]. Хорошо известно также, что не существует вполне безупречного вывода его даже в случае одних только упругих столкновений (см., например, [4]) при этом необходимо сделать предположение о независимости сечения рассеяния частиц от внешнего поля, которое в действительности может оказаться слишком грубым. Кроме того, уравнение Больцмана никак не отражает возможности тройных соударений наконец, по существу своему оно является классическим, а описываемые им объекты — квантовыми. Тем не менее система уравнений вида [c.81]

В кинетической теории газ описывается с помощью функции распределения, которая содержит информацию как о распределении самих молекул внутри рассматриваемой системы, так и о распределении молекулярных скоростей. Функция распределения в общем случае изменяется С течением времени. Если предположить, что молекулы можно рассматривать как классические точечные центры, окруженные силовым полем, то для функции распределения можно вывести нелинейное интегро-дифференциальное уравнение — так называемое уравнение Больцмана. Тщательное изучение гипотез, на которых основан вывод этого уравнения, показывает, что оно правильно описывает поведение газа, если плотность достаточно низка и если газ достаточно пространственно однороден. Поскольку в настоящей книге для описания процессов переноса в газах в основном используется уравнение Больц- [c.15]

В гл. III были рассмотрены основные положения классической кинетики, выводы которых основаны на законе действующих масс и законе распределения Максвелла—Больцмана. Кинетические уравнения процесса выводятся на основании стехиометрических уравнений химических реакций. Правильность положений классической кинетики подтверждена многими химическими процессами, но ряд реакций не описывался установленными закономерностями. Оказалось, что действительный механизм этих реакций иной, чем это следовало из стехиометрических уравнений. В основе некоторых химических превращений лежит цепной механизм реакций. Процесс протекает через ряд промежуточных реакций, ведущую роль в которых играют так называемые активные центры—атомы и радикалы. Полимолекулярные реакции, скорость которых зависела от одновременного столкновения многих молекул, требовали ббльшей энергии активации для их осуществления. С помощью промежуточных реакций более низкого порядка химические процессы завершаются в результате преодоления более низких энергетических барьеров. Разработанная Н. И. Семеновым и его сотрудниками цепная теория горения явилась дальнейшим логическим развитием классической теории окисления. [c.75]

В предшествующих параграфах был дан весьма фундаментальный, современный вывод уравнения Больцмана. Продолжительность и сложность этого вывода составляют разительный контраст с весьма привлекательным простым интуитивным выводом, использованным в 3.1. Возникает вопрос зачем нам понадобилось пробираться через дебри подробных вычислений, проведенных в 3.2—3.5 Важнейщая причина состоит в том, что до сих пор, за исключением весьма специальных случаев, не получен интуитивный вывод кинетического уравнения, справедливого при высоких плотностях. Чтобы вывести подобное уравнение, необходимо прежде всего установить, какие гипотезы скрыты за классическими эвристическими соображениями Больцмана. Если бы мы поняли в полной мере эти гипотезы, мы смогли бы обобщить уравнение Больцмана на ситуации, в которых нельзя пренебречь тройньпии и высшими столкновениями между молекулами газа. Другой вопрос, который может возникнуть после знакомства с классическим выводом уравнения Больцмана, касается сокращения описания при каких условиях одночастичной функции распределения достаточно для описания многочастичной системы Впредшествуюпщх параграфах мы видели, как глубоко следует вникнуть в теорию, чтобы дать ответы на эти и подобные им вопросы. Резюмируя, дадим краткий обзор полученных результатов. [c.67]

И йМеняемый в данном случае метод аналогичен методу, использованному в параграфе 48а при выводе классического ураваёайя Максвелла—Больцмана. Условие максимальной вероятности системы находят, приравнивая 81пИ нулю. Для этого сперва логарифмируют уравнение (50.8), получая выражение [c.387]

Прежде чем перейти к дальнейшему иАаожению закона Максвелла—Больцмана, необходимо указать на прпближенн я и допущения, сделанные при его выводе. Во-первых, было принято, что молекулы отличимы одна от другой,—это обстоятельство более подробно будет рассмотрено ниже при изложении квантовой статистики. Во-вторых, применение формулы Стирлинга для разложения в ряд предполагает, что все очень велики. Наконец, было сделано молчаливое допущение, что как п , так и являются непрерывными функциями. Такое допущение вполне приемлемо, если /г,- всегда велико, а кванты энергии малы, что, в частности, справедливо в случае поступательной энергии. Общая справедливость закона распределения, по крайней мере в рамках классической механики, установлена тем обстоятельством, что вполне возможно вывести точно такое же уравнение другими методами, не прибегая к сделанным здесь приближениям. Разумеется, следует помнить, что отождествление величины з,. с величиной действительной энергии молекулы в г-той ячейке .-пространства в каждом отдельном случае предполагает отсутствие сил, действующих между молекулами. Таким образом, предполагается, что системы состоят из идеальных газов, так как только в таких газах полностью отсутствуют межмолекулярные силы. Однако закон распределения Максвелла—Больцмана может применяться и к системам, несколько отклоняющимся от идеального состояния, причем ошибка не будет особенно серьезной. [c.366]