Вывод уравнения Больцмана

Уравнению Больцмана посвящена огромная литература (см., папример, [1]). Поэтому здесь будет сделано только несколько замечаний применительно к проблеме неравновесной химической кинетики. При выводе уравнения Больцмана предполагается статистическая независимость реагирующих компонент. Без этого предположения или эквивалентного ему скорость реакции ие является прямо пропорциональной произведению плотностей (концентраций) реагирующих компонент, но включает также корреляционную функцию, которая описывает отклонение от статистической независимости. Нужна или нет корреляционная функция, зависит от начальных условий и отношения сферы взаимодействия к среднему расстоянию между реагирующими компонентами. В случае нейтральных частиц в разреженном газе сфера взаимодействия мала по сравнению с расстоянием между молекулами, и предположение [c.321]

В разделе 7.1 из цепочки Боголюбова строго выводится уравнение Больцмана — наиболее известное из интегральных кинетических уравнений. Раздел 7.2 посвящен выводу классических уравнений гидродинамики из уравнения Больцмана, при этом для коэффициентов переноса (вязкости и теплопроводности) получены явные выражения. В разделе 7.3 излагается статистическая модель псевдоожиженного слоя, основанная на использовании интегрального кинетического уравнения типа Больцмана и Фоккера — Планка для функции распределения твердых частиц по координатам и скоростям. Построена также замкнутая система уравнений, описывающая изменение во времени гидродинамических параметров обеих фаз слоя. Приведены простейшие примеры применения этой системы уравнений при изучении структуры потоков в псевдоожиженном слое. [c.313]

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [c.528]

Используя (7.3.6), нетрудно получить обычным способом уравнение для функции распределения г, и, т) твердых частиц в псевдоожиженном слое. По общему виду это уравнение почти совпадает с уравнением (6.1.23) для функции распределения броуновских частиц дополнительное слагаемое в нем обусловлено наличием потенциального взаимодействия, приводящего к столкновениям между твердыми частицами. Предположим, что при столкновении твердых частиц в псевдоожиженном слое выполняются все те условия, которые были использованы при выводе уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения разреженного газа, в частности 1) сохранение полной механической [c.337]

Необходимо остановиться на основных допущениях, которые используются при выводе уравнения Больцмана и классических зависимостей молекулярно-кинетической теории. [c.56]

Уравнению Больцмана посвящено огромное количество работ (см., например, [117]) Поэтому здесь будет сделано только несколько замечаний, относящихся к проблеме неравновесной химической кинетики. При выводе уравнения Больцмана предполагается статистическая независимость реагирующих компонент. Без этого предположения или эквивалентного ему скорость реакции не является прямо пропорциональной произведению плотностей (концентраций) реагирующих компонент, но включает корреляционную функцию, которая описывает отклонение от статистической независимости. Нужна или нет корреляционная функция, зависит от начальных условий и отношений сферы взаимодействия к среднему расстоянию между реагирующими компонентами. В случае нейтральных частиц в разреженном газе сфера взаимодействия мала по сравнению с расстоянием между молекулами, и предположение о статистической независимости хорошо применимо к макроскопической системе. Если обозначить сферу взаимодействия через а, среднюю длину свободного пробега через к и числовую (полную) плотность через N. то сформулированное выше условие статистической независимости запишется так а/Х N0 < 1. [c.81]

КЛАССИЧЕСКИЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА [c.37]

Второе важное предположение, сделанное при выводе уравнения Больцмана, заключалось в том, что учитывались лишь парные столкновения. Интуитивно такое предположение кажется вполне обоснованным для газов малых плотностей, когда столкновения любого [c.44]

В силу обеих указанных выше причин вывод уравнения Больцмана, основанный на строгих законах динамики, играе г чрезвычайно важную роль для любого современного изложения кинетической теории. Перейдем теперь к этому выводу. [c.45]

Совершенно иное положение мы имеем в системе, подчиняющейся детерминистским законам механики. В этом случае в любой момент времени эволюция обратима, т. е. при обращении времени система движется вспять по своей траектории. Очевидно, что мы ввели в теорию нечто такое, что нарушает обратимость чисто механической системы. Поскольку при выводе уравнения Больцмана мы надлежащим образом учли свободное движение частиц и строго описали парные столкновения, этим нечто может быть лишь одно существенное [c.79]

При квазиклассическом рассмотрении предполагается, что молекулы могут обладать лишь определенными дискретными значениями внутренней энергии, которые мы будем обозначать индексами. Тогда в соответствии с вышеизложенным определим / (г, с. Г) d r как число молекул в состоянии i в элементе объема d r вблизи точки г и со скоростями, которые лежат в интервале d вблизи значения с в момент времени t. Вывод уравнения Больцмана для этих функций почти в точности повторяет вывод уравнения Больцмана для смесей газов. Разница заключается в учете неупругих столкновений, т. е. столкновений, при которых меняется внутреннее состояние одной или обеих молекул. Для таких соударений удобно ввести понятие дифференциального сечения рассеяния, обобщив на этот случай определения (3.1.30) и (3.1.31). Пусть a jig, е) — сечение рассеяния молекул с относительной скоростью g, при котором их внутренние состояния i и j переходят в состояния А и / соответственно, а вектор относительной скорости (величина которого теперь не постоянна) поворачивается на полярный угол X и азимутальный угол е. Это сечение может зависеть от е, поскольку молекулы уже не обладают сферической симметрией. Итак, величина [c.311]

Строгий вывод гидродинамических уравнений сохранения из кинетической теории ), основанный на уравнении Лиувилля и ряде дополнительных предположений, здесь не приводится из-за его сложности. Мы получим эти уравнения проще, воспользовавшись физическим выводом уравнения Больцмана ), определив далее гид-родинад1ические переменные и введя уравнения для изменения некоторого свойства молекул. Более нодробное рассмотрение вопроса можно найти в работах [ ] и [ ]. [c.539]

В самой обширной четвертой главе приводятся различные выводы уравнения Больцмана, начиная с выводов самого Больцмана, причем подчеркиваются все допущения, лежащие в основе вывода. Далее рассматриваются выводы уравнения Больцмана, которые даны Трэдом и Кирквудом. Еще раньше, в гл. III, коротко был намечен вывод уравнения Больцмана, вытекающий из анализа Боголюбова. Сопоставление и анализ всех этих выводов основного кинетического уравнения интересны и поучительны. В качестве следствий, вытекающих из уравнения Больцмана, рассматриваются гидродинамические уравнения сохранения, а затем <0-теорема Больцмана и условия равновесия, приводящие к распределению Максвелла. Далее приводятся некоторые обоснования релаксационного уравнения Крука — Бхатнагара — Гросса и подчеркивается его нелинейный характер. Рассматриваются столкновения при дальнодействующих потенциалах взаимодействия и дается вывод уравнения Фоккера — Планка из уравнения Больцмана и из уравнения Чепмена — Колмогорова. Показывается справедливость с -теоремы для уравнения Фоккера — Планка и дается представление о родственных кинетических уравнениях — уравнениях Ландау и Балеску — Ленарда. [c.6]

Это мысленное построение проделано нами не только для T0Г0J чтобы формально показать связь уравнения (4.55) с системой невзаимодействующих частиц, но оно служит отправной точкой рассматриваемого вывода уравнения Больцмана. СоотноШв" [c.196]

Рис. 4.24. Области в конфигурационном пространстве при выводе уравнения Больцмана методом Грэда. а — область 0 б — область 2)25 — область 2) .

Рис. 4.25. 52 Сфера в выводе уравнения Больцмана методом Грэда.

Это завершает вывод уравнения Больцмана методом Грэда. Обратимся теперь к выводу Кирквуда уравнения Больцмана. [c.212]

Вывод уравнения Больцмана Кирквудом (1947) ) также основывается на уравнении Лиувилля. Он использовал последнее, чтобы вывести уравнение для расширенной функции распределения. В этом смысле вывод Кирквуда подобен выводу Грэда, который получил уравнение для усеченной функции распределения, обладаюш,ей характерным свойством в пространстве конфигураций (ни одна из частиц не приближается к данной ближе чем на расстояние а). С другой стороны, отличительной чертой распределения Кирквуда является его временное свойство, -частичное усредненное по времени распределение Кирквуда /з задается уравнением [c.213]

Расходимость обусловленной дальними столкновениями компоненты (Дрх) означает, что в кулоновском газе на движение частицы оказывают значительно большее влияние дальние коллективные взаимодействия по сравнению со столкновениями в ближней зоне. При выводе уравнения Больцмана методом Грэда (см. разд. 4.36)) для N = 2 мы должны были бы сохранить интеграл столкновений дальней зоны, а столкновительный член ближней зоны опустить. Интеграл столкновений ближней зоны дает уравнение Больцмана. [c.240]

Соотношение, аналогичное (П.1.6.13), 5ыло использовано в 7.1 при выводе уравнения Больцмана, основанном на рассмотрении баланса числа частиц в элементарном объеме л-пространства. [c.369]

Для количественного описания процесса копдепсации необходимо в каждой точке сопла знать массовую долго выпавшей жидкости, которую можно определить, например, используя массовую функцию распределения частиц (пе только критического размера) по размерам Уравнение для функции распределения (вывод его аналогичен выводу уравнения Больцмана, см. [187]) имеет вид [c.322]

Метод, позволяющий преодолеть некоторые недостатки вышеуказанных подходов, основан на использовании групповых разложений ( luster expansions), введенных М. Грином [89, 90] и Коэном [37, 38]. Эти групповые разложения являются обобщением на случай неравновесных систем групповых разложений, хорошо известных из теории равновесных плотных газов (см. Кан [114] или Уленбек и Форд [203]). В настоящее время этот подход представляется наиболее привлекательным, хотя и в нем возникают свои проблемы. Поскольку в настоящей книге главное внимание уделяется вычислению кинетических коэффициентов, мы рекомендуем читателям, стремящимся составить полное представление о различных подходах к выводу уравнения Больцмана, обратиться к литературе. Помимо статей, цитированных выше, можно указать работу Коэна [36] и монографию By [225] Вывод уравнения Больцмана, описанный в этой главе, целиком основан на методе групповых разложений. Прежде чем излагать современный вывод, мы приведем тот вывод уравнения, который был дан самим Больцманом. [c.36]

В предшествующих параграфах был дан весьма фундаментальный, современный вывод уравнения Больцмана. Продолжительность и сложность этого вывода составляют разительный контраст с весьма привлекательным простым интуитивным выводом, использованным в 3.1. Возникает вопрос зачем нам понадобилось пробираться через дебри подробных вычислений, проведенных в 3.2—3.5 Важнейщая причина состоит в том, что до сих пор, за исключением весьма специальных случаев, не получен интуитивный вывод кинетического уравнения, справедливого при высоких плотностях. Чтобы вывести подобное уравнение, необходимо прежде всего установить, какие гипотезы скрыты за классическими эвристическими соображениями Больцмана. Если бы мы поняли в полной мере эти гипотезы, мы смогли бы обобщить уравнение Больцмана на ситуации, в которых нельзя пренебречь тройньпии и высшими столкновениями между молекулами газа. Другой вопрос, который может возникнуть после знакомства с классическим выводом уравнения Больцмана, касается сокращения описания при каких условиях одночастичной функции распределения достаточно для описания многочастичной системы Впредшествуюпщх параграфах мы видели, как глубоко следует вникнуть в теорию, чтобы дать ответы на эти и подобные им вопросы. Резюмируя, дадим краткий обзор полученных результатов. [c.67]

При выводе уравнения Больцмана используется ряд важных предположений. Среди них явно немеханический (недетерминистский) характер носит гипотеза о молекулярном хаосе, посредством которой в кинетическую теорию вводится нёобратимость, В 4.2 мы более подробно рассмотрим это положение и докажем Н-теорему Больцмана. [c.71]

Таким образом, существование магнитного поля вводит в теорию новую характерную длину — гиромагнитный радиус. Теперь в теории существуют четыре различные характеристические длины гиромагнитный радиус, радиус действия межмолекулярных сил, средняя длина свободного пробега и дебаевский радиус. Могут существовать также другие характерные масштабы, связанные с величинами типа где X — любая представляющая интерес физическая величина. Обилие характеристических параметров — вот что делает физику плазмы столь трудной. Приближения, которые соответствуют одному режиму, оказываются вовсе непригодными для других. Как мы уже говорили в введении к этой главе, при рассмотрении физики плазмы мы ограничимся лишь режимом температур, меньших 10 К, и давлений, больших атм. Сюда относятся большинство явлений в верхних слоях атмосферы, явления в потоках газов высоких скоростей, в магнитогидродинамических генераторах и ряд явлений в плазме, получаемой в лабораторных условиях. Чтобы действовать строго, следует снова выводить уравнение Больцмана. Однако в связи с тем, что это уравнение в основном сохранит свой прежний вид, мы просто вьшишем результат. Для частиц сорта / (с массой и зарядом уравнение Больцмана принимает форму [c.419]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология