Цепочка уравнений для функций распределения

Чтобы оборвать цепочку уравнений, связывающих молекулярные функции распределения, Кирквуд использовал приближение, которое получило название суперпозиционного. Согласно этому приближению трехчастичная корреляционная функция выражается через функции распределения для одной и двух частиц следующим образом [c.380]

Полученную цепочку уравнений для многочастичных функций можно записать в иной форме, используя корреляционные функции. Рассмотрим прежде всего уравнение (47.3). При этом мы воспользуемся функцией распределения /д = NJV) Fy, а также представим двухчастичную функцию распределения в виде (47.5) [c.188]

В разделе 7.1 из цепочки Боголюбова строго выводится уравнение Больцмана — наиболее известное из интегральных кинетических уравнений. Раздел 7.2 посвящен выводу классических уравнений гидродинамики из уравнения Больцмана, при этом для коэффициентов переноса (вязкости и теплопроводности) получены явные выражения. В разделе 7.3 излагается статистическая модель псевдоожиженного слоя, основанная на использовании интегрального кинетического уравнения типа Больцмана и Фоккера — Планка для функции распределения твердых частиц по координатам и скоростям. Построена также замкнутая система уравнений, описывающая изменение во времени гидродинамических параметров обеих фаз слоя. Приведены простейшие примеры применения этой системы уравнений при изучении структуры потоков в псевдоожиженном слое. [c.313]

Цепочка уравнений дня функций распределения [c.185]

Для получения такой цепочки уравнений прежде всего проинтегрируем уравнение (47.1) но всем переменным, кроме Xj, принадлежащим частице сорта а. Тогда, имея в виду исчезновение многочастичной функции распределения при бесконечно больших импульсах и предполагая обращение и пуль на границах системы, получаем [c.186]

ЦЕПОЧКА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 187 [c.187]

Структура уравнения (47.9) характерна и для уравнений, которым подчиняются высшие многочастичные корреляционные функции. Поэтому с помощью уравнения (47.9) можно провести общее обсуждение параметров малости, которые могут быть использованы при приближенных решениях цепочки уравнений для многочастичных функций распределения. [c.189]

В предыдущих параграфах сформулировано уравнение для тензора напряжений, который выражается через моменты функции распределения второго и четвертого порядка, и указан способ определения бесконечной цепочки уравнений для моментов функции распределения, первыми из которых являются уравнения (3.6) и (3.7). Эти уравнения вместе с выражением для тензора напряжений [c.60]

Введем теперь аналог цепочки функций распределения Боголюбова [6] и, интегрируя (2) по координатам и скоростям всех частиц, кроме одной, получим уравнение для одночастичной функции распределения, нормированной на среднее число частиц в единице объема [c.73]

Однако простота формулы (В.3.17) кажущаяся. Несмотря на то, что функции /1 и /2 гораздо более просты, чем / (хотя бы по той причине, что они зависят от значительно меньшего числа аргументов), задача о нахождении их явного вида чрезвычайно сложна. Тем не менее для функций /ь /г и для всех других коррелятивных функций /п , п == 3, 4,. . ., непосредственно из уравнения Лиувилля, как указывалось в начале раздела, удается получить систему уравнений, описывающих их изменение во времени и в пространстве (см., например, [17, 18]). Эта система уравнений получила название цепочки уравнений Боголюбова. Термин цепочка подчеркивает тот факт, что уравнения, входящие в эту систему, зацеплены между собой. Так, в уравнение для коррелятивной функции распределения п-то порядка входят слагаемые, содержащие коррелятивную функцию (л+1)-го порядка. Несмотря на то, что каждое уравнение в цепочке уравнений Боголюбова является незамкнутым, эта система уравнений оказывается чрезвычайно полезной при решении многих задач статистической физики. [c.36]

Таким образом, в данном разделе на основе замкнутого, но очень сложного (по процедуре рещения) уравнения Лиувилля для функции распределения Д<7, т) получена цепочка гораздо более простых, но зацепленных между собой уравнений для коррелятивных функций. По существу уравнение Лиувилля и цепочка уравнений Боголюбова эквивалентны. В других разделах книги будет показано, что, используя те или иные физические гипотезы, оказывается возможным выразить коррелятивные функции распределения высокого порядка через коррелятивные функции более низкого порядка. В результате цепочку Боголюбова удается расцепить , т. е. получить на ее основе замкнутую систему сравнительно небольшого числа уравнений для коррелятивных функций низкого порядка. Примеры подобного расцепления и возникающие при этом так называемые кинетические уравнения для одночастичной функции распределения будут приведены в гл. 6 и 7. [c.40]

В том случае, когда конфигурационная энергия системы имеет вид (1), вычисление статистической суммы может быть сведено к решению бесконечной цепочки уравнений Боголюбова для функций распределения (Зщ,. ..,рд [10] [c.6]

Диффузионное уравнение для функции распределения f линейной цепочки из N элементов (УУ + 7 — центров вязкого сопротивления) в декартовых координатах может быть записано в простой форме [c.267]

Подставляя (VII. 23) в (VII. 22), после несложных преобразований получаем систему уравнений для приведенных функций распределения Ds t, Ги. .., ps) (цепочку уравнений Ивона — Борна — Грина — Боголюбова — Кирквуда) [c.357]

Существенно более сложными для расчетов на ЭВМ являются задачи второго типа, заключающиеся в вычислении функций распределения макромолекул по размеру и составу. Для нахождения функции ММР нужно найти решение бесконечной цепочки кинетических уравнений для концентраций молекул с (I, t) с определенными значениями степени полимеризации I. Для тех полимерных систем, где среднее значение этой величины имеет порядок 10 —10, решение цепочки такого числа дифференциальных уравнений на ЭВМ является практически невыполнимой задачей. Однако если считать степень полимеризации не дискретной, а непрерывной переменной, то концентрация с (/, t) будет определяться уравнением в частных производных, численное решение которого на ЭВМ может быть найдено стандартными методами. Как будет видно из дальнейшего, во многих случаях для функций распределения макромолекул по размеру и составу могут быть выведены простые аналитические выражения и использование [c.66]

Н. Н. Боголюбова [15] вводятся приведенные функции распределения (см. ниже), для которых получается цепочка зацепляющихся уравнений, которая затем решается с помощью некоторых приближенных методов. Другой подход используется Пригожиным и его сотрудниками в некотором смысле он противоположен подходу Боголюбова. Вначале формально решается уравнение Лиувилля для pJv(i), а затем из найденного решения путем интегрирования получают выражения для приведенных функций распределения. Преимущество этого метода состоит в том, что здесь имеют дело с единственным линейным уравнением относительно рлг, для решения которого можно использовать метод решения уравнения Лиувилля в представлении взаимодействия [14] или так называемый метод резольвенты [19]. Для этого используется специально разработанная графическая техника. Процесс приведения (т. е. интегрирование по координатам и импульсам ряда частиц) существенно упрощается графической техникой. Поскольку уравнение Лиувилля для системы N взаимодействующих частиц нельзя решить аналитически, его разбивают на две части, для одной из которых удается получить точное решение. Решение полного уравнения представимо в виде бесконечного ряда, каждый член которого может быть вычислен. Сходимость этого ряда не доказывается. Такая программа последовательно проводится в [14, 19]. [c.116]

Здесь Проведено интегрирование по (s -f 2) — (л)-координатам частиц, которых нет в выражении для силы. Мы выразили s-частичную функцию распределения через (s-f 1)-частичную функцию распределения. Поэтому имеем цепочку-таких уравнений, начиная с одночастичной функции распределения, выраженной через двухчастичную функцию распределения [c.41]

Процедура, с помощью которой можно будет отделить одночастичную функцию распределения от многочастичной, заключается в том, чтобы найти такой параметр малости, который позволит разорвать цепочку уравнений и затем разложить эту функцию распределения в ряд по степеням этого малого параметра, так что низшая степень разложения соответствует расщепленным функциям распределения. Процедура разложения по малому параметру будет неоднократно использована в книге, поэтому она подробно рассмотрена ниже. Здесь же отметим что если увеличивать до бесконечности число частиц, но оставить е п постоянным, то четвертый член в (1.90) исчезает, в то время как пятый член (1.91) остается конечным. На первый взгляд кажется, что это мало даст, так как уравнения зацепляются через пятый член. Отметим, однако, что эта процедура физически означает, что эффекты, вызванные столкновениями индивидуальных частиц, становятся незначительными, в то время как силы взаимодействия между частицами представимы в виде интеграла по функции распределения. Поэтому можно ожидать что с точностью до первого члена в разложении некоторой величины, связанной с е п, (я + 1)-частичная функция распределения может быть разбита на произведение -частичной функции распределения и одночастичной функции распределения, которая описывает все другие частицы, каждая из которых идентична с (5 + 1)-частицей. Явный вид параметра разложения сейчас не важен, но, для того чтобы быть последовательными, нужно выбрать некоторый масштаб времени и длины,, по которым будет проводиться разложение. Можно показать, что если нормировать время на 1/о)р и расстояние на Яд, то первые три члена и пятый член — нулевого порядка, а четвертый член — первого порядка малости при разложении в ряд по безразмерному параметру 1/а [c.42]

Как показал анализ, бесконечная цепочка управляющих уравнений для функции распределения дискретных случайных величин с переходами между соседними уровнями является дискретным аналогом уравнения ФП. Многие формулы из аппарата, разработанного для уравнения ФП, переносятся на систему управляющих уравнений путем переобозначения интеграла на сумму. В рамках данного подхода удается провести обобщение на случай Н-уровневой системы с учетом всех возможных переходов между уровнями. Подобие асимптотических решений уравнения ФП и системы балансных уравнений объясняется марковским характером рассматриваемых процессов. [c.72]

Книга состоит из 15 глав. Гл. 1 и 2 содержат историю вопроса и обсуждение основных свойств газов. В гл. 3, кроме интуитивного больц-мановского вывода кинетического уравнения Больцмана, приводится его вывод, принадлежащий Н. Н. Боголюбову. Этот [вывод основан на решении цепочки уравнений для приведенных функций распределения с граничным условием ослабления корреляций между соударяющимися молекулами в отдаленном прошлом. Такая постановка задачи уточняет больцмановскую гипотезу о числе столкновений. Здесь же обсуждается проблема построения высших приближений для кинети- [c.5]

Построение модели п-й стадии процесса, описываемой этими уравнениями, дано на рис. У1П-6. Схема чрезвычайно проста, материальные балансы отдельных компонентов используются для нахождения их концентраций. Если константы скоростей реакции А р и ко р и коэффициент распределения К являются функциями температуры, модель, показанная на рис. УП1-6 и повторенная для всей цепочки из п стадий, может быть использована с некоторыми изменениями для нахождения оптимального температурного режима для каждой стадии. За критерий оптимальности в соответствии с постановкой задачи может быть принята максимальная конечная концентрация Х з растворенного вещества в растворителе р (при указанных в условии задачи ограничениях). Задача может быть решена на ЭЦВМ методом последовательных приближений. На рис. УП1-7 показана схема связи отдельных стадий процесса между собой. [c.156]

Для того чтобы от кинетических уравнений перейти к изучению релаксационных процессов, т. е. к рассмотрению отклика системы на заданное внешнее воздействие, необходимо кинетические уравнения решить при заданных начальных условиях, распределении сил (или дипольных моментов). На основе этого решения строится поляризация, деформация или другие функции отклика системы. При этом возникает разнообразие типов релаксационного поведения одной и той же макромолекулы, различные формы релаксационных спектров. Мы ограничимся лишь кратким качественным резюме основных свойств релаксационных спектров для поляризации цепочки, кинетические свойства которой описываются изложенными выше уравнениями для средних проекций. [c.278]

Жидкости. Решение уравнения (1.39) для жидкостей нельзя искать в виде разложения по степеням плотности. Приближенное решение может быть найдено, если оборвать цепочку зависящих друг от друга функций распределения. Кирквуд применил суперпозици-онную аппроксимацию, которая устанавливает явную связь между / з(Я1. Кг. Кз) и (К1, Кг) с помощью соотношения [c.20]

Для вычисления функции распределения радикалов но частицам Мп в ходе второй стадии Смит и Юэрт привели следующую бесконечную цепочку уравнений [c.55]

С помощью уравнения Лиувилля можно понять, что необходимо знать для получения у11аппения, которому подчиняется одночастичная функция распределения. Болес того, изучая следствия, вытекающие из уравнения Лиувилля, можпо найти путь для построения его приближенных решений, дающих, в частности, кинетические уравнения. Таной путь открывается при рассмотрении цепочки уравнений для Л1ногочастичных функций распределения, получаемой с помощью уравнения Лиувилля. [c.186]

Во второй главе рассматривается концепция ансамбля, уравнение Л иу вил ля и его решение, а также различные виды функций распределения. Здесь же дается представление о цепочке ББКГИ-уравнений и об уравнении Чепмена — Колмогорова. Большое внимание уделено анализу уравнения Лиувилля, проведенному Пригожиным. [c.6]

В третьей главе рассматриваются взаимоотношения между кинетическими уравнениями и гидродинамикой, в первую очередь на основе одночастичной функции распределения. Читатель знакомится с анализом Боголюбова цепочки ББКГИ-уравнений, а также с другим подходом, связанным с введением корреляционных функций и групповых разложений. В зависимости от значений определяюш,их параметров, связанных с близко- или дальнодействием наложенных силовых полей, степенью разреженности газа, его температурой и интенсивностью взаимодействий молекул, изучаются различные случаи получения соответствующей цепочки уравнений и их решения. Здесь же в качестве примера кинетического уравнения рассматривается уравнение Власова. Особо обсуждается радиальная функция распределения и получающееся при ее использовании уравнение состояния. [c.6]

ББКГИ-уравнения исследуются в гл. III двумя способами. Вначале мы ознакомимся с анализом Боголюбова цепочки ББКГИ-уравнений. По существу, эта теория вскрывает физический смысл одночастичной функции распределения. После этого ББКГИ-по-следовательность будет разложена около нулевых корреляций и будет получено формальное упорядочение простых кинетических уравнений. Одно из них, уравнение Власова, приведет к понятию самосогласованных решений. [c.113]

Разработаны [14, с. 283 40, 54, 82] приближенные аналитические методы расцепления и решения цепочки кинетических уравнений для частичных функций распределения ориентаций отдельных звеньев, пар соседних звеньев, троек и т. д. В отдельных частных случаях удалось найти точное решение (модель складного аршина Присса и Попова [19, 79], модель Моннери с трехзвенными кинетическими единицами [81]. [c.50]

Цепочка кинетических уравнений (V. 49) внешне аналогична цепочкам уравнений для классических континуальных функций распределения в фазовом (или координатном) пространстве для жидкостей или реальных газов в динамической теории Боголюбова, Грина, Кирквуда и других [56—58]. Конечно, математические методы, которые могут быть использованы для решения задач в кинетике изинговых систем и в динамике жидкостей, различны. В первую очередь эти различия определяются тем, что каждый элемент в модели Изинга взаимодействует со сравнительно малым числом определенных ближайших элементов системы. П )остейшим приближением в решении системы уравнений (V. 49) является мультиплит кативное приближение, согласно которому частичная функция распределения представляется в виде произведения унарных функций для отдельных элементов [51] [c.285]

Из уравнения Лиувилля (3.2.13) можно вывести систему уравнений для функций распределения F , Эта система, которая была независимо получена Боголюбовым [6], Борном и Грином [10], Кирквудом [121] и Ивоном [228], известна под названием цепочки уравнений ББГКИ Для вывода этой цепочки запишем уравнение (3.2.13) в форме [c.48]

Уравнение, которому подчиняется эволюция одночастичной функции распределения, получается из цепочки уравнений ББГКИ и имеет вид [c.50]

Цель предьщущих параграфов заключалась в том, чтобы установить функциональную связь между приведенными функциями распределения и F2 и замкнуть тем самым первое уравнение цепочки ББГКИ относительно функции Уравнение (3.4.15) определяет искомую функциональную связь, причем следует подчеркнуть, что при выводе этого уравнения не было сделано никаких приближений. Другими словами, соотношение (3.4.15) вьгаолняется в любой бесконечной системе, для которой существует термодинамический предел. [c.60]

Основываясь на рассмотрении, проделанном в 3.2, напомним, что приведенные функции распределения удовлетворяют цепочке уравнений ББГКИ (3.2.27) [c.370]

Интересно, что при / - 4 = tonl n - 1) величина a (t) -> оо, и в решетке образуются цепочки, целиком состоящие из элементов, изменивших свою проводимость при прохождении тока. Зависимости 1°(/)/ (0) и K t)/K 0) приведены на рис. 4. Там же представлены результаты численного моделирования рассмотренного процесса на плоской квадратной решетке с числом узлов 100 X 100 для функции плотности распределения степенного типа (1.19) с и = 3, оо = 1. Распределение потенциала в решетке находилось из решения уравнения Лапласа с11у(оУф) = О, где величины а задавались с использованием датчика псевдослучайных чисел. Решение задачи [c.27]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология