Условия применимости теории возмущений

Соотношение (1.83) иллюстрирует условия применимости теории возмущений [c.24]

Из уравнения (1.76) видно условие применимости теории возмущений [c.22]

Указанный выше метод теории возмущений оправдывается только в том случае, если ряд последовательных приближений сходится. Необходимым условием этого является малость каждой последующей поправки по сравнению с предыдущей. Таким образом, условие применимости теории возмущений можно записать в виде [c.214]

Условия применимости теории возмущений [c.214]

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 215 [c.215]

Полученные здесь результаты ограничен) рамками применимости теории возмущений для малой амплитуды внешней силы. Основным критерием их применимости является условие р р, которое соответственно для низких и высоких частот сигнала имеет вид [c.189]

Эта формула совпадает с (14.2.4), но из-за того, что время корреляции велико, мы не можем продвинуться дальше старым способом. Однако если Ац велико, то все решение быстро стремится к нулю и этого достаточно, чтобы полученное по теории возмущений решение было применимо в течение времени, большого по сравнению с /4 Тогда условие справедливости (14.6.1) имеет вид [c.367]

В 47 было показано, что необходимым условием применимости метода теории возмущений к расчету состояния с квантовым числом I является выполнение неравенства (47,12), т. е. разность между данным уровнем и всеми остальными уровнями энергии невозмущенной задачи должна быть велика по сравнению с изменением энергии, вызванным возмущением. В связи с этим уровень I не может быть вырожденным, так как в противном случае разность энергии невозмущенной задачи равнялась бы нулю. Однако справедливость формул (47,10) и (47,11) не нарушится, если будет вырожденной часть из состояний т, имеющих энергии удовлетворяющие неравенству (47,12). [c.215]

Теория возмущений, строго говоря, применима лишь в том случае, когда при уменьшении параметра Я до нуля как собственные функции, так и собственные значения оператора Н непрерывным образом переходят в собственные функции и собственные значения оператора Но. В некоторых случаях это условие не соблюдается — возмущение может изменить характер самого решения, превратив задачу с дискретным спектром в задачу с непрерывным спектром. Рассмотрим, например, оператор Гамильтона с потенциальной энергией [c.215]

Адиабатическое приближение оправдывается в том случае, когда решение точного уравнения (129,6) мало отличается от решения уравнения нулевого приближения (129,8). Пользуясь теорией возмущений, можно показать, что условие применимости адиабатического приближения сводится к выполнению неравенства [c.615]

Снова подчеркнем, что расчеты методами теории возмущений оправданы лишь тогда, когда возмущение сравнительно невелико. В качестве приблизительного критерия применимости расчета по методу возмущений можно потребовать, чтобы выполнялось условие [c.82]

Главное условие, которое ограничивает применимость выражения (15.5), заключается в требовании малости по сравнению с единицей или малости переданной энергии АЕ по сравнению с величиной Е , Поскольку только в этом случае использованная при выводе (15.5) теория возмущений дает правильный результат Это условие обычно выполняется для не очень высоких колебательных уровней нри температурах до нескольких тысяч градусов. Поэтому вероятности (15.5) могут быть использованы для построения системы кинетических уравнений, описывающих колебательную релаксацию при нагревании до этих температур или при остывании не очень сильно возбужденных молекул. Если же начальное состояние сильно колебательно возбуждено, то вероятность перехода между высшими уровнями может оказаться сравнимой с единицей даже при условии, когда вероятность перехода между низшими состояниями мала. [c.169]

Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость vV u, в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости V относительно значения v = О есть сингулярное возмущение ). Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравнений такого вида, как гу" -f i/ = О, с краевыми условиями у(0)—а,у( )=Ь, мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли e-i- + О или е-4— 0. [c.61]

Эти формулы, вытекающие из теории возмущений, применимы при условии, что локальное поле достаточно мало, так что оба времени релаксации велики по сравнению с периодом прецессии спина (2я/соо). Необходимо также, чтобы локальные поля флуктуировали много раз за время Г1 или Т2. [c.241]

Уравнение, аналогичное (27), было выведено Кривым и Мидом [46] из теории возмущений при использовании квантовомеханических методов, основанных на работе Гейтлера [42]. Однако их вывод включает определенные упрощающие предположения, и в последней статье [47] они считают его очень ограниченным. Мы полагаем, что уравнение (27) применимо при всех условиях. Исчерпывающего доказательства этого мы не имеем, однако нужно отметить, что уравнение (27) широко применяется для вычисления времени уширения в спектрах ЯМР и ЭПР. Кроме того, мы привели теоретический вывод этого уравнения, основанный на работе Кривого и Мида [46] и ИК- и КР-спектрах. [c.219]

Условия столкновения предполагаются адиабатическими, когда обмен энергией в результате столкновения относительно мал и применима адиабатическая теория возмущений. [c.108]

Вырая снис (14.1) справедливо только при условии применимости теории возмущений, нри 1. Практически это выполняется нри (Э /Г) . [c.83]

Условие применимости теории возмущений, (,Pv,v i) " I > обычно выполняется для низших колебательных уровней при температурах вплоть до не-с1Г0льких тысяч градусов. Поэтому вероятности (14.4) могут бить использованы для построения системы кинетических уравнений, описывающих колебательную релаксацию не очень сильно возбужденных молекул. Если же состояние сильно колебательно возбуждено, то вероятность перехода между высшими уровнями может оказаться сравнимой с единицей даже при условии, когда вероятность перехода между низшими состояниями мала. [c.84]

Исследование этой системы уравнений позволяет сформулировать условия, при которых коэффициенты можно считать приблизительно постоянными, т. е. условия применимости адиабатического приближения. Пусть Аи Q) обозначает разность двух любых адиабатических термов (их индексы опущены) в точке Q конфигурационного пространства медленной подсистемы, я I Q) — характерную длину, на которой существенно меняется функция Пусть далее, и — скорость движения медленной подсистемы в точке Тогда отношение = АиИки, называемое параметром Месси, дает отношение времени прохождения медленной подсистемой отрезка I к характерному времени движения быстрой подсистемы. Это характерное время равно обратной частоте переходов между двумя адиабатическими состояниями. В простейшем случае параметр Месси представляет отношение характерного времени воздействия возмущения на систему г к периоду собственного движения системы 1/(0, где со — частота внутренних движений. Такое определение весьма приближенно, потому что взаимодействие вызывает изменение времен собственных движений и, следовательно, это определение справедливо только при условии малости изменения собственных времен движения системы. К таким случаям можно отнести, например, колебательную релаксацию (см. главу IV). В теории неадиабатических переходов [243, 262, 263] показывается, что в тех областях конфигурационного пространства медленной подсистемы, где параметр Месси велик ( 1), неадиабатические переходы маловероятны, поскольку при малых и быстрая подсистема успевает безынерционно следовать за медленной. Это означает, что адиабатическое приближение может быть использовано в качестве нулевого приближения. [c.99]

Из сказанного выше можно заключить, что ширина отдельных /-компонент Q-вeтви двухатомных молекул в газах при небольших давлениях является, по-видимому, наименьшей возможной шириной линий комбинационного рассеяния. Прямое экспериментальное обнаружение этих компонент и измерение их ширины лежат в настоящее время за пределами возможностей применяемой аппаратуры. Теоретические оценки Стерина [256] дают для этих ширин значения порядка 0,1 смг . Эта величина значительно превышает радиационную ширину линий, составляющую около б-Ю" СЖ- (см., например, [258]). Поэтому даже при больших мощностях возбуждающего излучения условия применимости теории возмущений, сформулированные в 4, по-видимому, еще выполняются., [c.325]

Получеиное выражение для интеграла столкновений непросто использовать, ибо неизвестен явный вид координат и импульсов частиц как функций времени, поскольку затруднительно в общем случае решение уравнений (61.2). Однако можно заметить, что для заряженных частиц ионизованного газа в большой области расстояний взаимодействие пары чаотиц япляется относительно слабым. Поэтому такое изаимодсйствие можно рассматривать с помощью теории возмущений. Заметим, что влияние на столкно-пенпя частиц с малыми прицельными параметрами (например, близкими к Гп1 п — е /хТ или Й/тогт) может оказать лишь чрезвычайно сильное поле. Действительно, гироскопический радиус электрона сравнивается с е /хТ , если напряженность магнитного поля оказывается порядка В—т,с [%Т е ] —ЮТ " , где температур выражена в градусах. Не полагая поле столь сильным, будем считать, что на столкновения с малыми прицельными параметрами магнитное поле не влияет. Поэтому очевидно, что в таких условиях можно говорить о применимости интеграла столкновений Ландау для области прицельных параметров от и до значений (по порядку величины), соответствующих гироскопическому радиусу вращения частиц. [c.279]

Следовательно, условие применимости метода теории возмущений сводится к требованию, чтобы недиагональные матричные элементы оператора возмущения V были малыми по сравнению с абсолютной величиной разности соответствуЕОЩих значений невозмущенных энергий. Для иллюстрации использования метода возмущений вычислим в первом приближении изменение энергии электрона в кулоновском поле — Ze /r при увеличении заряда ядра на единицу (Р—распад ядра). В этом случае оператор возм , щения [c.214]

В общем можно сказать, что адиабатическое приближение применимо в тех случаях, когда решение уравнения (5.14) мало отличается от решения системы уравнений (5.12). С точки зрения теории возмущений Шрёдингера, в которой подход Борна — Оппенгеймера принимается за нулевое приближение, адиабатическая поправка А,-/ отвечает возмущающему вкладу первого порядка. В соответствии с этим недиагональные элементы, отвечающие взаимодействию разных электронных состояний, можно интерпретировать как вклады второго порядка (см. разд. 4.6). Из условия сходимости ряда возмущений можно сделать вывод, что применение адиабатического приближения оправдано в том случае, когда [c.92]

Точное решение ур-ния Шрёдингера удается найти лишь в редких случаях. Поэтому важное значение имеют разл. приближенные методы. Если при рассматриваемом движении импульсы частиц достаточно велики, а потенц. энергия их взаимод. изменяется медленно, то применимо квази-классич. приближение. Оно позволяет, напр., рассчитывать вероятность прохождения частиц и квантовых систем через области пространства, к-рые недоступны для них согласно классич. механике вследствие недостатка энергии (см. Туннельный эффект). Иногда приближенные волновые ф-ции к -л. состояния м. б. найдены в виде суперпозиции волновых ф-ций близкой, но более простой системы с коэффициентами, подбираемыми из условия минимума энергии системы (см. Вариационный метод). Если взаимод. в системе частиц записывается в виде суммы неск. частей, с одной из к-рых точное решение ур-ния Шрёдингера возможно, а остальные могут рассматриваться как малые возмущения первой, применяют возмущений теорию. Специфич. задачей К. м. является рассмотрение нестационарных волновых ф-ций, соответствующих переходам системы частиц из одного стационарного состояния в другое под влиянием нек-рого возмущения, зависящего от времени. [c.365]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология