Максимум поиск

Поскольку общая методика решения задачи оптимального поэлементного резервирования ХТС состоит в том, что неравенства для ограничений (8.2) или (8.6) заменяют равенствами, а затем проводят поиск минимума или максимума КЭ, то для поиска экстремума КЭ (8.1) или (8.5) можно применить метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея метода заключается в следующем. [c.208]

От недостатков общей схемы метода динамического программирования можно, однако, в значительной мере избавиться, используя аналитический метод поиска оптимума на каждой стадии. Именно этот способ будет применен к решению задач оптимизации цепочек реакторов, рассматриваемых ниже. Отметим, что основные расчетные формулы, которые получим, могут быть выведены не только с помощью метода динамического программирования, но и на основе дискретного варианта принципа максимума Понтрягина [18] или классических вариационных методов. [c.384]

Расчеты оптимальных условий проводятся математическими методами (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина) или часто различными методами направленного поиска [c.69]

Часто рекомендуется процесс оптимизации осуществлять в два этапа методом случайного поиска в области, далекой от минимума (максимума), и градиентным методом при приближении к зоне оптимума. [c.363]

Функция Н при фиксированных значениях т, у, г з, ф является функцией управляющего параметра Т. В соответствии с принципом максимума поиск оптимальной температурной зависимости Г (О состоит в получении такой ненулевой системы функций ф (0> [c.356]

Если в результате повышения температуры наблюдается уменьшение выхода целевого продукта или если функция р,(7 ) имеет максимум, поиск экономически целесообразного температурного режима должен быть основан на учете влияния температуры на суммарные энерго-материальные затраты. Основанием для подобного поиска может служить зависимость (см. гл. I) [c.320]

Чтобы не делать множество оговорок, будем во всем этом разделе полагать, что цель поиска — максимум. Поиск минимума проходит так же, меняется только знак. [c.197]

Упражнение IX.13. Покажите, что задачи поиска максимума I" (0) — (Ц ири фиксированном Ь, а также максимума (0) — (Ь) — ХЬ и минимума Ь ири заданных (0) и (Ь) эквивалентны и приводят к одинаковому оптимальному решению. [c.271]

Градиентный метод эффективен для областей, где возможно значительное изменение у (вдали от экстремума), но неудобен Б области слабого изменения у или вблизи от экстремума. Наиболее часто препятствия при использовании градиентного поиска для решения задач химической технологии возникают, когда речь идет о функциях, имеющих гребни (при поиске максимума) или овраги (при поиске минимума)- [c.190]

Рассмотрим поиск максимума функции, изображенной на рис. У1-7. Говорят, что эта функция имеет гребень в сочетании АВ- Пусть е — небольшая величина. Характеристикой того, [c.190]

В уравнении (IX.60) максимум достигается варьированием только параметров, управляющих процессом на первой по ходу потока стадии. Принцип оптимальности позволяет, таким образом, заменить задачу одновременного выбора оптимальных значений ММ независимых переменных гораздо более простой задачей Л -стадийного выбора, на каждой стадии которого оптимум достигается варьированием М переменных. Другой отличительной чертой поиска оптимума методом динамического программирования является то, что задача решается не для единственного процесса с какими-то опре- [c.382]

В заключение заметим, что при поиске максимума целевой функции во всех приведенных структурах поиска экстремума следует заменить запись условия логического блока П < По на П > П . [c.290]

Несмотря на богатый арсенал численных методов, разработанных для решения задач оптимального управления, алгоритмическое и программное оснащение этих задач существенно уступает современному программному обеспечению задач линейного и нелинейного программирования. Лишь для наиболее простых классов задач, в которых нет ограничений на фазовые координаты, построены достаточно эффективные алгоритмы, осуществляющие поиск управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности. Эти алгоритмы, как правило, основаны на применении градиентных процедур или принципа максимума и допускают простую программную реализацию. Применяя метод штрафных функций или модифицированную функцию Лагранжа, с помощью этих алгоритмов можно получить решение некоторых задач и с фазовыми ограничениями, например с условиями на правом конце. Однако такой способ не всегда эффективен, поскольку требует многократного решения задачи при различных значениях параметров и далеко не всегда позволяет получить управление, на котором с заданной точностью выполнялись бы условия оптимальности и ограничения задачи. [c.191]

Чтобы упорядочить поиск возможного заменяющего набора, обусловливают максимум того, насколько может быть превышено численное значение Яу первоначального потока. Предлагаемое условие можно выразить в виде неравенства [c.291]

Поэтому прп поиске максимума следует учитывать одновременные изменения V4 переменных. Это весьма затруднительно, если V4 достаточно велико. Используемое в данном случае приближение является классическим методом поиска стационарного значения Р по отношению к бесконечно малым независимым изменениям составляющих векторов если допустить, что максимальное значение Р может быть принято равным указанному стационарному значению. [c.308]

Описание процесса кристаллизации в виде системы дифференциальных уравнений позволило авторам работы [25] применить для поиска оптимального режима охлаждения принцип максимума Понтрягина [29]. Задача отыскания оптимального управления (в сформулированном выше виде) носит название задачи об оптимальном быстродействии. Для ее решения запишем систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных г Иф [c.356]

Можно показать, что вторая вариация критерия качества имеет синусоидальную зависимость от сдвига фаз при фиксированном периоде. На рис. 2.7 представлена зависимость оптимального сдвига фаз колебаний концентраций, нри которых наблюдается максимум скорости образования вещества D, от периода. Поставим строго задачу поиска оптимального управления для системы (2.7) с условиями цикличности (2.11а) [c.55]

Задача локального управления процессом — поиск оптимального режима секций хлоратора Хл для достижения максимума превращения парафина при ограничениях на расход хлора и температуру в секциях реактора. Оптимизация процесса производилась методом Розенброка [84]. Были испытаны два варианта алгоритма управления XI и Х2 [227, 234]. В варианте XI в качестве управляющих воздействий использовались расход хлора на секцию и температура секции. [c.394]

Поиск максимума величины П (G ,. . ., G ) можно выполнить различными методами нелинейного программирования. Хоро- [c.221]

Операция (VI,8) требует, чтобы в каждой точке траектории на /с-ой итерации искался глобальный максимум функции Н (а , и). Фактически ищется глобальный максимум функции г переменных в каждой точке iy(/ = 1,. . S). Таким образом, задача поиска глобального максимума функции rN переменных, сводится к решению N задач поиска глобального максимума функций г переменных. Последняя задача, конечно, более простая. Правда, во-первых, эту задачу приходится решать на каждой итерации. Во-вторых, уравнения принцип максимума дают только необходимые условия, поэтому нет, вообще говоря, гарантии, что процедура, основанная па использовании указанных уравнений, даст глобальный максимум. Однако во всяком случае можно ожидать, что процедура (VI,8) позволит исключить некоторые локальные максимумы. [c.116]

Изложенный выше метод характеристических точек сформулирован в работе [28]. Подход, основанный на отслеживании одних лишь точек локального максимума Я, (и), рассмотрен в работе [27]. При таком подходе, однако, требуется периодически, через определенное число шагов повторять глобальную процедуру поиска всех относительных максимумов гамильтониана (и). [c.125]

Остановимся еш е на вопросе разбиения схемы на блоки. Прн большом числе блоков, т. е. при большом числе М, поиск максимума функции F может оказаться затруднительным. С другой стороны, чем больше аппаратов объединится в один блок, тем меньше будет Л/, однако оптимизация одного блока усложнится. Таким образом, здесь также важен разумный выбор числа блоков в схеме. [c.187]

В первом случае критерий оптимизации схемы Р, а следовательно, и критерий отдельных блоков многоэкстремальны. Известно, что, вообще говоря, поиск глобального максимума функции существенно усложняется с увеличением размерности. Отсюда можно надеяться, что использование метода закрепления, который сводит поиск глобального максимума критерия для всей схемы к поиску глобальных максимумов для отдельных функций может дать значительный эффект. Второй случай возникает, когда критерий Р характеризуется ситуацией, близкой к овражной , т. е. в нем имеются группы переменных, связанных с отдельными блоками схемы, которые существенно по-разному влияют на указанный критерий Р. Просто пренебречь изменением слабо влияющих в данной точке переменных нельзя, поскольку при большом изменении они могут дать большой эффект. [c.191]

Итак, процедура решения задачи (И,77) будет выглядеть следующим образом. Для фиксированного значения р из выражения (П,80) находятся два корня и соответствующие им два значения критерия v dlp. Из этих двух значений критерия выбирается наибольшее по абсолютной величине, которое и будет решением задачи (П,78), (П,79). Обозначим его через (v d/p). Поскольку величина (v dlp) является некоторой функцией параметра р, то для решения задачи (П,77) необходимо организовать поиск максимума величины (v dlp) как функции одной переменной р. Для определения вектора d надо решить систему линейных уравнений [c.40]

Эта формула, представляющая собой предельную (для 7 > 1) форму метода Ньютона для поиска максимума по К функции [c.120]

Для отыскания наибольшей области асимптотической устойчивости необходимо использовать теорию оптимизации. Это становится ясным при формализации процедуры поиска и-контура, который касается кривой и = 0. Такой и-контур может быть установлен двумя способами 1) нахождением минимума при условии, что и = О, и 2) нахождением максимума при условии, что V = К и К увеличивается до тех пор, пока не будет достигнут максимум V = 0. Оба указанных способа можно выразить в формулах классического исследования экстремума с помощью множителей Лагранжа. [c.100]

В настоящее время нет общего метода решения задач циклической оптимизации. Все используемые алгоритмы основаны на классических понятиях вариации функционала и модифицированного принципа максимума. Наиболее общим и обоснованным является градиентный метод, основанный на вариационном исчислении. Суть этого метода была изложена еще в работе [7]. Задается фиксированная продолжательность периода с и определяется (численно) соответствующее ему оптимальное управление, затем задается другое значение периода и определяется соответствующее ему другое оптимальное управление. После этого сравнивают значения целевых функционалов и с помощью направленного поиска определяются значение оптимального периода. Конечно, такой подход требует больших затрат машинного времени. В работе [72] разработан другой численный алгоритм. Здесь не использовались условия цикличности. Оптимальное управление определялось на достаточно большом отрезке времени с произвольными начальными условиями. [c.292]

Классический метод поиска максимума функции Ф переменных состоит, как известно, в следующем. Определяются и приравниваются пулю частные производные функции по всем независимым переменным в результате получается Ф уравнений, совместное решение которых дает искомое положение максимума. Этот метод чрезвычайно громоздок при большом Ф, а, кроме того, часто неосуществим по той причине, что аналитический вывод уравнений, определяющих точку оптимума, невозможен. Другой причиной непригодности классического метода является наличие технологических пределов варьирования независимых переменных. Может оказаться, что критерий оптимальности вовсе не имеет максимума в аналитическом смысле, а его наивьтсшее значение достигается на одной из границ разрешенной области, т. е. когда одна или несколько независимых переменных фиксированы на предельных значениях. [c.381]

Оптимальный режим процесса целесообразно определять в два этапа. На первом этапе, называемом теоретической оптимизацией, находят самые лучшие в некотором- смысле условия, не принимая во внимание возможность их реализации. Этот теоретический оптимальный режим зачастую отыскивают из условия максимальной интенсивности процесса при заданном выходе целевого продукта. Задачи определения минимального времени контактирования при известной степени превращения (максима[Льная интенсивность процесса) и поиска ее максимума при данном времени контактирования для простых процессов эквивалентны. На втором этапе выбирают реакторы (подробно см. стр. 499 сл.), позволяющие наилучшим образом приблизиться к указанному. Следовательно, появляется объективный критерий выбора технологической схемы и конструкции реактора. [c.491]

Книга посвящена актуальному в настоящее время вопросу применения математических методов для расчета оптимальных (наилучших) режимов технологических процессов. Дана характеристика основных этапов работ по статической, квазистатической и динамической оптимиаации как действующих химических реакторов, так и при их проектировании. Сопоставлены два важнейших метода оптимизации — метод поиска на объекте и метод оптимизации с помощью математической модели. Большое внимание уделено математическим способам оптимизации — нелинейному программированию и Принципу максимума. [c.4]

Из некоторой начальной точки М начинаем поиск при помощи какого-либо одного локального метода. Пусть в результате поиска, (рис. 22) найден минимум в точке (и ,. . и]). Запоминаем экстремальные значения координат (г = 1,. . ., г) и величину / = /i в данной точке. После этого двигаемся по направлению Л/ до тех пор, пока на этом направлении не пройдем максимум. Обозначим через М[ первую точку после максимума на направлении МНовый поиск минимума функции / опять начинаем из точки М[. Пусть этот новый минимум будет в точке М и, . . Ur) и соответствующее значение / равно /а- Если /2 <С /и то запоминаем /2 и соответствующие координаты uf. Если же /2 > fi, то по-прежнему хранятся координаты и и значение соответствующие первому минимуму. [c.72]

После уточнения всех математических зависимостей задача оптимального проектирования приобретает точный математический смысл, как задача поиска минимума (максимума) величины Q, р , и может быть решена методами нелинейного программирования. Однако, как бывает в случав практических задач, учет их специфики в сочетанпи с априорными знаниями позволяет значительно облегчить решение оптимальной задачи и избежать многих трудностей. Покажем, как эти соображения можно использовать при решении задачи оптимального проектирования процесса получения окиси этилена. [c.217]

В главе V (см. стр. 96) было указано, что если в функции Лагранжа подставить значения fi = j,, то в точке х, и функция F х, и, х ) будет иметь либо седловую точку, либо локальный максимум. В дальнейшем седловые точки и точки локального максимума функции F х, и, х) при произвольных, но фиксированных значениях р, будем называть оптимальными точками, а процедуру поиска таких точек оптимизацией функции/ и обозначать ее через optim F х, и, [х). [c.175]

Таким образом, задача поиска максимума функции F нри наличии ограничений (VIII, 2) и (VI 11,3) свелась к итерационной процедуре по величинам в которой на s-ой итерации для фиксированных оптимизируется функция F< > при наличии только ограничений типа неравенств (VIII,3). Итерации по величинам строятся так, чтобы в конце итерационного процесса выполнялись соотношения (VIII,2). [c.175]

Аналитический результат, фиксирующий знакоопределенность v, обычно недостижим, и выполняется численный поиск во всем пространстве возможных профилей. Ввиду этого Ванг (1966 г.) предложил хорошо обоснованную методику оптимизации для определения максимального значения v в интересующей нас области. Если такой максимум отрицателен, то условие (VIII, 45) выполняется, так как и всегда меньше своего максимального значения. [c.215]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология