Вывод уравнений переноса в общем виде

Для вывода общего уравнения диффузии используется тот же метод, который применяется при выводе уравнения Навье-Стокса в гидравлике и уравнения Фурье в теории теплопередачи выделяют и пространстве параллелепипед, подсчитывают, сколько вещества поступит в него и уйдет из него через все его грани (по трем осям координат) за счет молекулярной диффузии и конвективного переноса и т. д. Опуская самый вывод, приводим уравнение в окончательном виде [c.31]

Для усовершенствования контроля фирмой Bayer разработан метод оценки ненасыщенности на потоке. Состав входящих продуктов и отгоняемых паров анализируется методом газовой хроматографии, и ненасыщенность (т.е. количество изопрена, вошедшего в сополимер) рассчитывают из материального баланса по изобутилену и изопрену. Вывод уравнения для расчёта ненасыщенности бутилкаучу-ка основан на инженерных принципах процесса и установлении механизма реакций и модели течения материалов в реакторе. Учитывается, что элементарными реакциями процесса полимеризации в общем случае являются инициирование, рост цепи, перенос и обрыв цепей. Тогда для реактора идеального смешения (РИС) уравнение расчета ненасыщенности бутилкаучука имеет вид хорошо известного соотношения Майо -Льюиса в случае реактора идеального вытеснени. (РИВ) необходимо интегрировать это уравнение. [c.45]

Общее математическое описание переноса теплоты (без учета излучения) представляют в виде уравнения Фурье—Кирхгофа, рещение которого должно позволить найти температуру в любой точке рабочего пространства в заданный момент времени. Вывод этого уравнения и его анализ приведены в разд. 1.5.2 критерии подобия, получаемые масштабными преобразованиями уравнения Фурье—Кирхгофа и некоторых других соотнощений, рассмотрены в разд. 1.8. [c.478]

Вывод уравнений переноса в общем виде [c.237]

Н. А. Измайлов [1] дает вывод уравнений, учитывающих влияние растворителя на диссоциацию электролитов. Автор рассматривает цикл, состоящий из переноса электролита из растворителя М в вакуум, диссоциации его на ионы в вакууме и сольватации ионов при переходе из вакуума в среду М. В общем виде цикл этих процессов может быть представлен следующей схемой [c.23]

В проделанном выше выводе общего вида уравнения переноса мы исходили из принципа наименьшего рассеяния энергии, записанного в представлении через силы [левая часть соотношения (6.1)], затем непосредственно достигли цели, вычислив субстанциональную производную по времени (6.122) от обобщенного соотношения Гиббса. Этот метод можно рассматривать как прямой [c.239]

Более сложная физическая природа элементов указанных макросистем — основная причина того, что для большей части этих систем вид динамических уравнений, описывающих изменение во времени обобщенных координат, до настоящего времени недостаточно обоснован. Трудность обоснования вида этих уравнений связана прежде всего с тем, что при их выводе необходимо рассматривать в общем случае сложный комплекс разнообразных и взаимосвязанных физических и химических процессов, обусловливающих изменение во времени обобщенных координат (например, процессы переноса теплоты, массы и импульса, протекающие в пределах каждой из фаз и на межфазных границах). [c.46]

В частности, заключая рассмотрение обобщенной теории, следует отметить, что, как и в случае простой теории, ее уравнения для межфазной разности потенциалов необходимо дополнить соответствующими выражениями для градиента диффузионного потенциала внутри мембраны электрода. Только в этом случае может быть получено достаточно полное уравнение для потенциала стеклянного электрода. Однако в настоящее время это сделать трудно, так как при выводе выражения для диффузионного потенциала следует учесть предположения, которые принимаются в обобщенной теории (неполная диссоциация ионогенных групп, различная прочность связи ионов в разных группах и т. д.). Здесь мы имеем в виду, что требуется соответствующая детализация механизма переноса ионов в стекле с учетом отмеченных положений. Формальное же объединение уравнений обобщенной теории с выражением для диффузионного потенциала (18), полученным без учета этих положений, как несложно показать, приводит опять лишь к уравнениям вида (9) или (22). Следовательно, на пути дальнейшего развития теории имеются вполне определенные трудности, но их не следует и переоценивать. Эйзенманом [1, стр. 172], в частности, показано, что в общем изменении потенциала стеклянного электрода вклад, вносимый изменением диффузионного потенциала, заметно меньше вклада, связанного с изменением межфазной разности потенциалов. [c.318]

Таким образом, в общем случае величина А<р термодинамически не определена и, как вытекает из уравнения (1.4), это с необходимостью приводит к выводу о подобной же термодинамической неопределенности разности химических потенциалов заряженного компонента Ацг. Действительно, проведенный Гуггенгеймом [1] анализ методов, обычно используемых для определения термодинамических свойств растворов электролитов (измерение давления пара, температур замерзания и кипения, электродвижущих сил, исследование процессов диффузии и т. д.), показал, что результаты соответствующих измерений не дают информации о химических потенциалах ионов одного вида и лишь позволяют определить либо суммы химических потенциалов для ионов разного знака, либо их разности для одноименно заряженных ионов, т. е. характеризуют только электронейтральные комбинации заряженных компонентов. Заметим, впрочем, что полученный Гуггенгеймом вывод не мог быть иным, поскольку во всех рассмотренных случаях результаты измерений определялись одновременным установлением равновесия относительно ионов двух различных видов (или их одновременным переносом). Для получения же информации относительно состояния ионов одного вида необходимо использовать процессы, в которых равновесие достигается только в отношении ионов этого вида подобные процессы будут рассмотрены в гл. 2. [c.8]

Здесь Т к) - член, получающийся из нелинейного слагаемого уравнения (4.15) и описывающий перенос энергии в заданный масштаб в результате взаимодействия пульсаций скорости различного масштаба, 0 к) = к"Е к) и описывает скорость диссипации энергии за счет действия молекулярной вязкости, а Е к) характеризует приток энергии за счет сил, поддерживающих турбулентное течение (работа внешних сил). Точный вид для Т к) и Е к) легко получается из (4.15). Мы не выписываем соответствующих выражений, так как интересующие нас выводы можно сделать исходя из общих соображений об их структуре. [c.11]

В гл. VI из вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии, представленного через силы, выводится уравнение Фурье для тенлонроводностн (во всех возможных видах), полная система уравнений Фика для многокомпонентной изотермической диффузии и обобщенное уравнение Навье — Стокса для вязких течений. Вывод этих уравнений из нового, силового , представления принципа наименьшего рассеяния энергии доказывает, что такое представление является более полезным, нежели первоначальное. Кроме того, опираясь на это новое представление, мы имеем возможность сформулировать новый интегральный принцип термодинамики. После общей формулировки интегрального принципа и введения функции Лагранжа для термодинамики показано, что уравнения Эйлера — Лагранжа, относящиеся к интегральному принципу, эквивалентны полной системе уравнений переноса. Как непосредственная иллюстрация применения интегрального принципа проводится вывод уравнений переноса, описывающих различные неизотермические явления с учетом перекрестных эффектов. Обсуждается связь между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона для полей. Наконец, после вывода канонических полевых уравнений, соответствующих интегральному принципу термодинамики, рассматривается преобразование Лежандра диссипативных плотностей лагранжиана и гамильтониана и приводится каноническая форма интеграла рассеяния. [c.28]

Фактически ири выводе общих уравнений переноса можно также исходить из второго выражения в левой части соотношения (6.1). Однако в этом случае дивергенции различных плотностей потоков, входящих в выражение для производства энтропии, можно исключить только с помощью различных уравнений баланса. Точнее говоря, производные по времени а, можно ввести в выражение для плотности лагранжиана только косвенным образом, поэтому сам метод называется косвенным. Последний метод впервые был применен Верхашем [65, 79] в сущности аналогичный подход мы применили при выводе уравнения теплопроводности в энергетическом представлении и в обобщенном Г -представлении, а также при выводе обобщенного уравнения движения вязкого потока и уравнения Фика для изотермической диффузии. Таким образом, наиболее существенные стороны косвенного метода нетрудно понять, рассматривая частные случаи (особенно вывод уравнения Фурье в обобщенном Г -представлении), поэтому мы здесь не останавливаемся на выводе уравнений переноса в наиболее общем виде. [c.240]

С 1965 г. до настоящего времени исследования, целью которых была формулировка интегрального принципа термодинамики в парциальной форме (Б.5) и (Б. 17), развивались различными путями. Одно направление исследований было определено в нашей работе [55, 56] здесь удалось, начав с детального анализа принципа Онсагера и произведя вывод уравнений переноса, получить формулировку (Б. 5) [56—58, 60, 64—66, 78—81, 83—85, 91, 98]. Второй путь, также в 1965 г., наметили Пригожин и Глансдорф [76], которые воспользовались методом локальных потенциалов , ранее применявшимся только для решения задач, не содержащих зависимости от времени [69, 75], и распространили его на задачи, где такая зависимость существует. Этот метод использовали и другие авторы [93, 94]. Выше он был изложен в самом общем виде, когда мы, исходя из дифференциальных урав- [c.280]

Химический потенциал иона Ка И1=И- +- 7 Ыс у . Верхний знак (черточка) имеет то же значение, что и в уравнениях (2.21) Теорелла и (2.28) Мэкки и Мирса. Как видно, иряйр1йх=0, т. е. при постоянном давлении, выражения для сил в уравнениях (2.89) и (2.28) одинаковы. Это указывает на существенную разницу между выводами Теорелла [Т12], Шмида 1526], Мзкки и Мирса [М5] и др., с одной стороны, и более строгим и общим приближением к статической гидродинамике — с другой. В первом случае смешанный коэффициент у (IФ /) приравнен к нулю, т. е. взаимодействие между различными частицами, участвующими в общем переносе, не принимается во внимание, и уравнение (2.87) для общего переноса принимает вид [c.110]

Так как AЯnl = Яo -Яi + Яf, то Ю 1 <ДЯт другими словами, все допустимые в рамках модели Вирца значения Q должны лежать в этих пределах. Заметим, что другая модель — хаотического блуждания , т. е. статистического рассмотрения, основанного на предположении о локальном термическом рав йовесии [4], просто приводит к выводу о равенстве величин теплот переноса и энергий активации процесса перескока . Можно утверждать, что определение величины Q должно дать новую информацию о процессах миграции в твердом теле, в частности, о пространственном распределении энергии активации, необходимой для осуществления диффузионного перескока. В случае термодиффузии заряженной или, лучше сказать, токонесущей примеси уравнение (XI.2) можно записать в более общем виде [c.181]

Приведенное перечисление применений принципа наименьшего рассеяния энергии показывает, что его представление через силы более плодотворно, чем представление через потоки, и, кроме того, что уравнения Эйлера—Лагранжа, относящиеся к интегральному принципу, эквивалентны полной системе уравнений необратимых процессов переноса. Для непосредственного доказательства этого положения и как пример использования интегрального принципа мы выведем уравнения переноса для неизотермического случая, в котором учитываются перекрестные эффекты, т. е. взаимосвязь между явлениями (Верхаш [81]). Затем, исходя из представления принципа наименьшего рассеяния энергии через силы, дается общая форма уравнения переноса (Дьярмати). Этот вывод позволяет установить в общем виде внутреннюю связь между интегральным принципом и принципом наименьщего рассеяния энергии, точнее, его представлением через силы. Рассматривается связь между принципом Гамильтона и термодинамическим интегральным принципом (Дьярмати [78]) и определяются канонические уравнения поля, относящиеся к интегральному принципу термодинамики (Верхаш [83], Войта [84]). Наконец, приводятся преобразования Лежандра для потенциала [c.205]

Читателю уже, наверное, ясно, что мы будем заниматься применением метода Чепмена—Энскога к теории ионизованных газов. При этом оказывается, что независимо от того, пользуемся ли мы уравнением Больцмана или уравнением Фоккера—Планка, результаты — с точностью до нескольких процентов — одинаковы. Подход, основанный на уравнении Больцмана, содержит некоторые трудности, которые устраняются при выводе уравнения Фоккера—Планка однако, поскольку для читателей этой книги более привычно уравнение Больцмана, мы будем пользоваться первым подходом. Сделав этот выбор, мы обнаружим, что описание ионизованного газа в отсутствие магнитного поля — частный случай описания газовой смеси и что специальный подход требуется лишь при вычислении коэффициентов переноса. Поскольку в присутствии магнитного поля все задачи очень похожи, в 14.2 мы сразу же начнем рассматривать более общий случай. Как мы увидим, в этом случае уже играют роль некоторые специфические особенности, отсутствующие в задаче о нейтральном газе, и поэтому требуется существенно видоизменить теорию. Явньга вид формул для коэффициентов переноса получен в 14.3. [c.415]

Уравнение аналогично уравнению (1.23). Исследования показали, что при напорном движении жидкости в любом канале толщина гранич-ного слоя приближенно Б = 0,18Л, т.е. чем меньше расстояние между стенками, тем тоньше пограничный слой. Даже при наличии значительных возмущений эпюра скоростей в пограничном слое близка к пря-мо1 , поэтому переход тепла через пограничный слой происходит в основном путем теплопроводности и, естественно, что количество передаваемого тепла пропорционально 8/А. Кроме того, из рис.1.9 видно, что поле скоростей по сечению канала имеет вид параболы, поэтому в турбулентном ядре потока не происходит мгновенного нагревания жидкости, и помимо переноса тепла за счет турбулентного перемешивания существует сопутствувщий процесс перехода тепла путем теплопроводности. Видимо, эти два фактора и определяют эффект теплообмена в тонком текущем слое. Разумеется, что эффект теплообмена может быть установлен только при одних температурных условиях и одной скоро -сти движения жидкости. Этот эффект легко установить, пользуясь уравнениями (Ш.17) и (111.19). Однако есть второй фактор, способствующий теплообмену в тонком слое. Из уравнения (Ш.17) видно, что чем меньше расстояние между стенками Л, тем короче длина канала,меньше поворотов и меньше гидравлические потери. Из уравнения (111.26) ясно, что основная ча сть напора расходуется на преодоление местных сопротивлений. Для трубы / = а ти зк =, следовательно,потеря напора по длине канала не зависит от расстояния между стенками. Но чем меньше Л, тем короче канал и меньше поворотов, меньше общая потеря напора. Этот вывод относится, только к поточным теплообменникам, в которых длина канала зависит от температурных условий. Толщина пограничного слоя зависит от / ъ ш. Эти два параметра и определяют размеры поточного теплообменника, что наглядно показано на рис.Ш.10. На нем приведены четыре расчетных варианта, отмеченных цифрами I, 2, 3, 4. Результаты расчета приведены в табл.1. [c.67]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология