Нормальные координаты колебаний кристалла

Нормальные координаты колебаний кристалла [c.42]

Упругие волны, определенные таким образом, называются волнами поляризации [63,186]. Создаваемые ими поляризация Р и электрическое поле Е изменяются периодически во времени и в пространстве по тому же закону, что и смещения. Следовательно, в кристалле возникает электромагнитное поле, связанное с упругими волнами. При этом существенно, являются ли упругие волны поляризации продольными (когда вектор Р параллелен волновому вектору упругой волны ч, поскольку направление смещения определяется нормальной координатой колебания) или поперечными (Р и смещения перпендикулярны д). В самом деле, рассмотрим плоскую упругую волну с частотой со, для которой вектор Р имеет вид [c.158]

Формула (118) имеет важный физический смысл полная энергия цепочки из N атомов выражается квадратичной формой, содержащей только квадраты величин Qq и Qq. Поэтому величины Qq действительно являются нормальными координатами колеблющейся цепочки. Энергия кристалла из N атомов, совершающих связанные колебания, оказывается равной энергии N независимых гар- [c.104]

Таким образом, энергия, а следовательно, и функция Лагранжа колебаний кристалла сводятся к сумме слагаемых, относящихся к отдельным нормальным координатам. В частности, функция Лагранжа имеет вид [c.43]

Выделение независимых движений, из которых путем суперпозиции можно составить любое сложное движение системы многих частиц (атомов), принято называть процедурой введения коллективных возбуждений и соответствующих им коллективных координат (или переменных). В случае малых колебаний кристалла, т. е. механически слабовозбужденных состояний кристаллического тела, коллективными возбуждениями являются нормальные координаты. [c.44]

В заключение отметим, что наличие оптических ветвей колебаний очень легко учесть при введении нормальных координат кристалла. Действительно, переход к сложной решетке формально сводится к добавлению лишнего индекса 5 (номер атома в элементарной ячейке). Разложение произвольных смещений (п) по функциям (3.27) остается прежним [c.85]

Применение теории возмущений к потенциалу кристалла основано на рассмотрении нормальных координат изолированных молекул где нижний индекс относится к молекуле, а верхний индекс — к нормальному колебанию. В нормальных координатах потенциальная и кинетическая энергии выражаются в виде [c.587]

В области частот ниже 560 см , где взаимодействие внутренних колебаний цепей с колебаниями решетки может быть очень сильным, отнесение частот возможно лишь на основе результатов расчета нормальных координат кристалла. [c.37]

При заданном волновом векторе я совокупность 1т нормальных координат 2, / ) не описывает всех нормальных колебаний кристалла, частота которых одинакова вследствие симметрии пространственной группы. Возьмем какую-нибудь операцию симметрии пространственной группы, вращательная часть которой Яг преобразует вектор я в век-гор Я2, отличный от я. но обязательно равный ему по модулю. Можно показать, что волновой вектор Я2 = КаЯ относится к колебаниям той же частоты, что и волновой вектор я- В самом деле, можно ввести новую систему координат, в которой вектор Я2 имел бы ту же ориентацию и те же составляющие, что и вектор я в старой системе координат. Следовательно, матрица Фурье, относящаяся к вектору Яг и выраженная в этой новой системе координат, эквивалентна матрице Фурье, относящейся к вектору я и выраженной в старой системе координат, а поэтому обе матрицы приводят к одному и тому же вековому уравнению и, следовательно, к одинаковым корням т. [c.111]

Рассмотрим звезду, неприводимое представление (т) группы (я), и расположим в столбцовую матрицу X е нормальных координат, описывающих колебания кристалла с одинаковой частотой и, следовательно, образующих базис неприводимого представления пространственной группы. Операция Н, + Тд) может оставлять инвариантными или преобразовывать в эквивалентные векторы некоторое число векторов звезды. Каждая нормальная координата, соответствующая одному из этих векторов, в результате операции симметрии преобразуется в линейную комбинацию нормальных координат этого же волнового вектора. [c.113]

Колебательные моды при нулевом волновом векторе особенно важны для интерпретации спектров комбинационного рассеяния и спектров инфракрасного поглощения кристаллов. [Подробнее об этом будет сказано ниже при анализе механизмов рассеяния и поглощения света (гл. 8).] По этой причине их называют фундаментальными колебательными модами, а их частоты — фундаментальными частотами. Соответствующие нормальные координаты Qr(0) называются фундаментальными нормальными координатами. В гл. 3, 4, г уже было показано, что, участвуя в фундаментальных колебаниях, все конгруэнтные атомы совершают в фазе одинаковые перемещения. Следовательно, для того чтобы определить фундаментальные колебания, достаточно проанализировать колебания атомов примитивной ячейки. [c.115]

Электрический дипольный момент, обусловленный относительным смещением ионов в бинарном кубическом кристалле, определяется, согласно формуле (6.7) из гл. 6, выражение.м М = Ze u. Поскольку нормальная координата для этого колебания Р имеем [c.293]

В общей теории малых колебаний можно выразить потенциальную и кинетическую энергии молекулы в такой системе координат (называемых нормальными координатами), которая позволяет представить колеблющуюся молекулу в виде набора невзаимодействующих осцилляторов. Аналогично, используя нормальные координаты, можно описать колебания кристалла с помощью независимых осцилляторов. В гармоническом приближении спектр кристалла должен состоять из резких, не зависящих от температуры полос, соответствующих оптическим колебаниям поперечного типа с =0. [c.230]

Идеальными называются кристаллы, в которых заняты все узлы решетки, а все междоузлия свободны. Поскольку узел решетки— это среднее по времени значение координат центров тяжести частиц, колебания частиц в идеальном кристалле совместимы с периодичностью пространственного расположения узлов решетки, хотя мгновенное расположение самих частиц в кристалле не является идеально периодическим. Дефектами решетки в физике кристаллов называют любые отклонения от идеально периодического расположения узлов в пространстве. Принятая терминология сложилась исторически и связана с тем, что идеальное строение решетки первоначально рассматривали как единственное нормальное состояние равновесной решетки. Однако действительное положение дел здесь несколько иное. [c.269]

Как и в молекуле, где ядра не успевают сместиться из положения равновесия во время электронного перехода (принцип Франка — Кондона), в кристаллической решетке ионы во время электронного перехода также не успевают сместиться из положения равновесия. В случае изолированной молекулы этот факт быстрого перехода электрона означает, что должна учитываться также энергия колебания системы, зависящая от взаимного положения потенциальных кривых в конфигурационных координатах нормального и возбужденного состояний молекулы. В ионном кристалле фотоэлектрон связан не с одним только узлом, а со всей решеткой в целом. Поэтому на электронный переход реагируют не только непосредственно участвующие партнеры, как в случае молекулы, но все узлы решетки выводятся из электростатического равновесия, в котором находились до электронного перехода. В связи с этим энергия поглощенного кванта затрачивается не только на первичный электронный переход, но и на последующие вслед за переходом вторичные явления, связанные с переходом решетки в новое равновесное состояние. [c.121]

Если движение вдоль координаты диффузии, отвечающее поступательной степени свободы, рассматривать как колебание с частотой v, то система в нормальном состоянии будет иметь на одну степень свободы больше, чем в активированном состоянии. Таким образом, в случае самодиффузии в кристаллах [c.70]

Бесспорно, что измерения интенсивностей линий КР будут применяться все шире и шире и не только для определения концентраций в растворах, но и для измерения изменений поляризуемости молекул при определенных колебаниях. При лазерном возбуждении спектров КР монокристаллов возможно определе-лие всех компонент производной тензора поляризуемости для иона и молекулы или по крайней мере для элементарной ячейки кристалла. Чтобы извлечь из этих данных максимальную пользу, экспериментатор должен уметь перейти от этих производных поляризуемости по нормальным колебательным координатам к производным поляризуемости по длинам связей и углам между [c.106]

Гт — максимальная частота колебаний атома приводящая к разрыву его связей с окружением. Колебания атомов в этом случае эквивалентны нормальным колебаниям решетки кристалла в модели Дебая [9]. Часто- ту колебаний атомов свяжем с параметрами межмолекулярного потенциала. Для этого предположим, что потенциальное поле, действующее на каждую колеблющуюся частицу, сферически симметрично и что она совершает гармонические колебания около положения равновесия, связанного с одним из узлов кристаллической решетки. Тогда в среднем частоты колебаний г-того атома в своей ячейке по каждой из декартовых координат равны между собой [c.84]

В случае слабой связи волновые функции вибронных (электронноколебательных) состояний записываются в виде произведения электронной волновой функции ф " и колебательной волновой функции п-го квантового состояния, отвечающего данной колебательной прогрессии. В общем случае колебание будет различаться по частоте при переходе от одного электронного состояния г к другому, а также по нормальной координате, но будем считать, что этими изменениями можно пренебречь. Предположим, что в спектре наблюдается только одна сильно развитая прогрессия и в основном состоянии каждая молекула будет находиться в нулевом квантовом состоянии этого активного колебания. Таким образом, волновая функция для основного состояния кристалла будет построена из молекулярных волновых функций фо а для верхних состояний из функций [c.540]

Мы рассмотрели понижение симметрии, вызванное локальным полем в определенном месте. Теперь надо учесть тот факт, что может иметь место взаимодействие между различными молекулами элементарной ячейки, т. е. мы должны перейти к фактор-групповому анализу [108]. Он включает в основном рассмотрение координат симметрии элементарной ячейки [уравнение (7)]. Построение этих координат симметрии полностью аналогично построению координат симметрии молекулы из ее внутренних координат. В рассматриваемом примере внутренними координатами являются нормальные координаты молекул в четырех местах ячейки. Симметрией, которую нужно использовать, является, конечно, симметрия фактор-группы. Таблица корреляций дает следующий результат каждому колебанию типа Аи молекулы, находящейся в выбранном месте, будут соответствовать четыре колебания элементарной ячейки, по одному каждого из типов Аш, Вы, Вги. и 5за. Таким же образом каждое колебание типа Ag дает четыре колебания элементарной ячейки симметрии Aig, Big, Bzg и Bag. Из этих колебаний элементарной ячейки те колебания, которые входят в класс Biu с дипольным моментом перехода, параллельным оси с, будут активны в инфракрасном спектре и так далее. Если продолжить рассмотрение в качестве примера колебания Vjg ( lu), которое неактивно в спектре газовой фазы, но активно в спектре кристалла, то оно расщепляется на четыре колебания элементарной ячейки типов Ац, В , Вчи. и В ,, из которых три последних будут активны в инфракрасном спектре. Хотя всего насчитывается Nt колебаний кристалла, возникающих из колебания 12, однако активны в спектре только эти три колебания. Колебание еы), активное и вырожденное в спектре газа, активное и дающее дублет в приближении локальной симметрии, расщепляется далее на четыре колебания в каждом компоненте дублета, или всего на восемь колебаний. Из этих восьми колебаний шесть (2Вы, 2В211, 2Взи) активны в инфракрасном спектре. Вновь следует подчеркнуть, что величины расщеплений не могут быть предсказаны из рассмотрения симметрии. При этом может наблюдаться случайное вырождение, если ширина щели прибора или естественная ширина линий превышают расстояние между линиями. [c.586]

Предельные (Ж=0) оптические колебания ряда силикатов, гер-манатов и других окисных кристаллов сложного строения рассчитаны в последние годы путем построения СР-матриц Ельяше-вича—Вильсона в трансляционно инвариантных (полносимметричных по отношению к группе трансляций) колебательных координатах [1 ]. Вычисления ИК-интенсивностей, основанные на применении простой модели атомных зарядов, зависящих от смещений [2], оказались эффективным средством контроля достоверности форм колебаний, полученных нри расчете нормальных координат. Динамические (силовые постоянные) и электроопти-ческие (заряды атомов и их производные по удлинениям связей) параметры, полученные в результате расчетов, обнаруживали корреляцию с пространственной конфигурацией и химическим (электронным) строением рассматриваемых систем. [c.29]

Таким образом были рассчитаны нормальные колебания кристаллов полиэтилена [58, 59] и орторомбиче-ского полиоксиметилена [61, 62]. Рассмотрим подробнее особенности такого анализа. Положим, что кристаллографическая элементарная ячейка полимерного кристалла содержит k молекул или pk повторяющихся единиц молекулы полимера. Набор из трех чисел ( I, т, п) нумерует выбранную кристаллографическую ячейку по трем кристаллографическим осям а, Ь к с (ось с совпадает с осью макромолекулы). Элементы матрицы меж-молекулярной потенциальной энергии взаимодействия ячейки (/, т, п) с ячейкой (/ + si, т + S2, п + Ss), которую мы обозначим V [I, т., п / + Si, m- -S2, /г + 5з)э S можно выразить через изменения расстояний между всеми парами валентно несвязанных атомов различных молекул. Поскольку эти величины в свою очередь можно выразить через декартовы координаты смещений атомов, то является функцией декартовых коор- [c.264]

Формулы (1.5) и (1.7) вывели Борн и Хуан Кунь [2]. Мы же воспользуемся ими для вывода правил отбора. Сразу же видны упрощения, связанные с тем, что волновой вектор приравнивается нулю в этом случае нормальные координаты фундаментальных колебаний, входящие в выражения (1.5) и (1.7), инвариантны при операциях трансляции решетки и точно так же составляющие дипольного момента и поляризуемости не изменяются при трансляции. Из этого следует, что достаточно рассмотреть точечную группу соответствующую пространственной группе кристалла. Результат операции R этой группы можно представить двумя способами [c.226]