Скалярная модель

В скалярной модели квадратичные выражения для потенциальной энергии (1.2) и (1.6) сохраняют свой вид, однако в их записи исчезают координатные индексы, и динамическая матрица неограниченного кристалла сводится к скалярной функции номер-вектора с (п) [c.30]

Желая отразить в свойствах скалярной модели инвариантность энергии (1.10) относительно смещения кристалла как целого, будем считать функцию а (п) связанной условием (1.8), т. е. примем [c.30]

В скалярной модели вместо системы уравнений (1.19) имеется всего одно уравнение колебаний, и закон дисперсии может быть записан в явном виде [c.33]

В скалярной модели понятие поляризации отсутствует, и координатная зависимость нормальных колебаний записывается в виде [c.35]

Зависимость нормальных мод колебаний от номер-вектора узла кристаллической решетки п была найдена нами в ходе непосредственного решения уравнений колебаний (1.17). Однако эта зависимость вытекает прямо из трансляционной симметрии кристалла, атомы которого совершают гармонические колебания. Продемонстрируем возможность предсказать, основываясь только на соображениях симметрии, общий вид нормальных мод на примере скалярной модели. [c.35]

Приступая к анализу закона дисперсии, начнем с его более простой записи (1.26) для скалярной модели. [c.36]

Для скалярной модели это свойство очевидным образом следует из записи (1.26). [c.38]

I Заметим, что возможность особого поведения закона дисперсии в точках вырождения, естественно, отсутствует в скалярной модели. [c.39]

Процедуру разложения колебаний кристалла по нормальным модам мы выполним в скалярной модели, отвлекаясь от векторов поляризации и наличия нескольких ветвей закона дисперсии. Обобщение на реальную схему колебаний трехмерной решетки не связано ни с какими трудностями — оно будет произведено в конце, после выполнения всех необходимых вычислений. [c.42]

Но прежде чем извлекать эту информацию, упростим себе задачу, вернувшись к скалярной модели, в которой функция Грина G (п, t) есть решение уравнения [c.46]

Возвратимся к скалярной модели. [c.48]

Легко понять, что обозначение (2.25) совпадает с определением (1.23) в скалярной модели. В общем случае [c.60]

Для простейших моделей плотность колебаний 2с(-кристалла может быть вычислена явно. Например, это можно проделать в скалярной модели для кристаллической решетки с взаимодействием только ближайших соседей. Закон дисперсии колебаний в этом случае очень прост и для прямоугольной решетки с периодом а вдоль оси Ох и периодом Ь вдоль оси Оу может быть представлен в виде [c.68]

Поскольку все функции Грина обладают одинаковыми сингулярностями, то плотность колебаний можно связать с мнимой часТью любой из них, например определить через запаздывающую функцию Г рина. Ограничимся снова рассмотрением только одной ветви колебаний (точнее, скалярной моделью) и проанализируем (со, к)-представление (1.76) для функции (п). Учтем формальное соотношение [c.72]

Чтобы яснее представить себе смысл указанных в (2.61) и (2.62) операций, перейдем в формуле (2.27) для скалярной модели от суммирования к интегрированию [c.72]

Таким образом, скалярная модель может быть использована-также для качественного анализа оптических колебаний решетки. Достаточно заменить требование (3.4) к матрице (п) условием [c.81]

Желая иметь в своем распоряжении менее громоздкие уравнения, отражающие основные физические свойства упругой среды, сформулируем аналог скалярной модели для упругого континуума, т. е. введем скалярное упругое поле. Возьмем в качестве обобщенной координаты поля скалярную величину и (г, () и будем считать, что функция Лагранжа этого поля [c.100]

В 3 мы обсуждали возможность описания высокочастотных оптических колебаний кристалла на основе скалярной модели. Вернемся к этой возможности в континуальном пределе. Введем поле величины ф (г, t), являющейся аналогом некоторой механической характеристики внутренних мод колебаний кристалла. Подобные моды обладают отличной от нуля предельной частотой (3.15), и длинноволновые стационарные колебания величины ф описываются уравнениями типа (4.26). Простейший скалярный вариант уравнения [c.100]

Опустим снова индекс а, т. е. вернемся к скалярной модели. Из гамильтониана (6.9) следуют очень простые уравнения движения для операторов йк и а . Действительно, согласно определению производной по времени от оператора, имеем [c.123]

В квантовой теории обычно дают исходное определение функции Грина, на первый взгляд отличное от принятого в 1. Мы покажем,, что это кажущееся различие является просто следствием необычных для теории колебаний кристалла обозначений. Начнем с запаздывающей функции Грина и ограничимся скалярной моделью. [c.127]

Начнем с анализа скалярной модели кристалла и положим, что случайная величина и есть смещение атома относительно узла с номером п [c.132]

Хотя мы выводили формулу (6.60) применительно к скалярной модели, она после очевидного обобщения остается справедливой для любой кристаллической решетки [c.133]

При изучении влияния дефектов на колебания кристаллической решетки мы снова вернемся к скалярной модели. Основное упрощение в этой модели сводится, по существу, к независимому рассмот- [c.201]

Если отказаться от скалярной модели и перейти к общему случаю простой кристаллической решетки, то нетрудно записать формулу, аналогичную (12.9), При наличии изотоп-дефекта в узле п = О вектор смещения любого атома кристалла [c.203]

Легко обобщить соотношения (12,9) и (12.10) также на случай сложной кристаллической решетки, однако мы не будем производить дальнейшего усложнения формул и вернемся к скалярной модели. [c.203]

Снова ограничимся скалярной моделью для кристаллических колебаний, дополнительно предполагая, что смещение атома примеси или вращательное движение молекулы также описывается скалярной величиной ф. Выберем начало координат в точке расположения примеси и обозначим через М ее массу (в случае атома внедрения) или момент инерции (в случае молекулярной примеси)., Сохраним прежнюю нумерацию всех собственных атомов кристалла. Тогда линейные уравнения колебаний решетки должны иметь вид [c.209]

В скалярной модели упрощение формулы (12.50) незначительно — оно сводится к исчезновению координатных индексов t, k, I. [c.213]

Ограничимся скалярной моделью и выберем матрицу возмущения в виде [c.214]

Ограничиваясь скалярной моделью, вместо множителя ЗЛ в знаменателе следует писать N. [c.218]

Реальный физический интерес обычно представляет плотность колебаний кристалла, содержащего не один, а большое число эквивалентных точечных дефектов. Именно такая величина может характеризовать макроскопические свойства кристалла. В том случае, когда среднее расстояние между дефектами велико (их концентрация мала), функция Грина для скалярной модели колебаний кристалла вычисляется по формуле (12.56). [c.218]

Возвратимся теперь к исходной формуле (12.65) применительно к скалярной модели [c.219]

Выражение (12.70) определяет в линейном по концентрации с приближении изменение плотности колебаний, обусловленное наличием точечных дефектов. Применимость окончательной формулы (12.70) не ограничивается скалярной моделью. Наличие трех [c.219]

Напомним, что соотношение (13.1) относится к скалярной модели и может быть использовано в линейном по концентрации приближении. [c.225]

Покажем прежде всего, что справедливость формулы (13.9) действительно не ограничена линейным по с приближением. Сосредоточим внимание на скалярной модели и предположим, что дефект-изотоп вносит точечное возмущение (12.51). Обсуждая функцию Грина такого дефектного кристалла, необходимо найти матрицу (12.52) как решение уравнения (12.53). При изучении длинноволновых колебаний, когда существенны расстояния — гр а с величина [c.229]

Однако мы вернемся к скалярной модели. Учтем явное выражение функции G (8, к) и перепишем (13.23) в канонической для функции Грина форме [c.230]

Если принять, что дислокация не влияет на величину плотности вещества вдоль своей оси, то вносимое дислокацией возмущение будет связано с локальным изменением силовой матрицы. При анализе длинноволновых колебаний кристалла (X а) это возмущение естественно считать сосредоточенным на оси дислокации. Тогда рассматривая в скалярной модели смещение атомов кристалла как непрерывную функцию координат ы = ( , г), можно представить уравнение колебаний в виде [c.236]

При изучении динамики кристаллической решетки с целью упрощения выкладок мы широко использовали скалярную модель. Имея в виду и впредь по возможности избегать громоздких расчетов, полезно выяснить, чему соответствует линейный дефект типа дислокации в модели скалярного упругого поля. [c.250]

Любопытно заметить, что поле винтовой дислокации в изотропной упругой среде совпадает с полем вихря в скалярной модели. Действительно, при / = О уравнения (16.11) и (16.12) имеют очевидное решение [c.262]

Поля дислокаций-вихрей в скалярной модели [c.272]

Энергия поля деформаций кристалла включена в первое слагаемое в (17.22), К сожалению, скалярная модель не позволяет разделить деформации на чисто сдвиговые и дилатационные (связанные только с изменением объема). Но если вернуться к векторному полю смещений, то такое разделение становится тривиальным (см. 4, п. 3). [c.276]

Ориентируясь на результаты обсуждения закона дисперсии скалярной модели, перейдем к рассмотрению общего случая, когда зависимость частоты от квазиволнового вектора находится путем решения уравнения (1.27). [c.38]

Следовательно, в точке к = О имеет место вырождение, т. е. совпадение частот нескольких ветвей колебаний. В силу неоднозначности со как функции волнового вектора в точке к = О ее разложение в ряд по степеням невозможно. Сортношение (1.41) в общем случае не может рассматриваться как разложение функции со по степеням компонент волнового вектора, и этим длинноволновый закон дисперсии трехмерного кристалла отличается от закона дисперсии (1.34) для скалярной модели. [c.38]

В терминах этих смещений очевидным образом можно записать энергию (или функцию Лагранжа) колеблющегося кристалла. Однако мы не будем выписывать ее сразу в общем виде, а ограничимся скалярной моделью. Правда, теперь эта модель только условно может называться скалярной , так как нам придется оперировать двумя скалярными функциями н (п) и (п), где % (п) может иметь смысл, например, изменения расстояния между атомами выделенной пары. Следовательно, мы фактически должны перейти от скалярной к двухкомпонентной модели. [c.76]

В то же время в скалярной модели примитивная кубическая решетка с взаимодействием ближайших соседей имеет право на существование как наиболее простая дискретная структура, сохраняющая основные принципиальные свойства трехмерного кристалла. Дело в том, что функция и (п) в скалярной модели потеряла векторный характер смещения атома, и в решетке исчезло понятие сдвига. Кроме того, не имеет смысла включать функцию и (п) в условие инвариантности системы относительно поворота как целого, поскольку указанное условие существенно векторное. Все это, безусловно, обедняет скалярную модель, но делает логически непротиворечивым и естественным рассмотрение примитивной кубической решетки с взаимодействием ближайших соседей. В частности, возникающее в такой решетке дисперсионное соотношение (3.38) явно отличается от одномерного закона дисперсии (5.31) и обладает всеми характерными чертами зависимости частоты от квазиволнового вектора в трехмерном кристалле. Таким образом, примитивная кубическая решетка с взаимодействием ближайших соседей может использоваться только в скалярной модели для иллюстрации различных качественных закономерностей динамики кристалла. [c.118]

Поэтому для большинства кристаллов квантование колебаний можно производить на некотором завершающем этапе, когда уже найден закон дисперсии колебаний и тем самым определены частоты гаркмонических осцилляторов, на которые раскладывается поле колебаний. В частности, за исходный пункт квантования можно принять функцию Гамильтона (1.56) или (1.57), записанную через канонически сопряженные обобщенные координаты X (к) и импульсы (к). Поскольку процедура квантования мало связана с векторным характером смещений и отвечающих им импульсов, то мы изложим ее на скалярной модели, исходя из функции Гамильтона [c.119]

В скалярной модели (при наличии одного типа фононов) проанализированный закон дисперсии являлся бы нераспадным. [c.140]

Формула (17.29) тривиально обобщается на общий случай дислокации в кристалле, не связанный с предположением о скалярной модели. Действительно, во всех соотношениях (кроме закона Гука) мы как бы опускали координатный индекс у вектора Бюргерса [c.275]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология