Состоятельность оценок

Наиболее распространенными методами конструирования состоятельных оценок на основе использования законов больших чисел являются метод моментов (ММ), метод максимального правдоподобия (ММП) и метод наименьших квадратов (МИК). Однако прежде, чем познакомиться с ними, определим основные понятия теории вероятности и математической статистики применительно к целям нашего рассмотрения. [c.137]

Наиболее естественно интерпретировать вводимый показатель в рамках некоторой математической модели, в данном случае - вероятностной, поскольку рассматриваются случайные явления. Например, можно характеризовать явление случайной величиной - обозначим её г - числом случаен возникновения события (реализации явления) за определенный период времени Т, например за год. Хорошо известно, что математическое ожидание Мг случайной величины т. - это среднее (ожидаемое) число случаев возникновения события за год, или частота возникновения события. Тогда в соответствии с принятой в математической статистике терминологией число событий (которое берется из исторических данных) - это выборка, отношение числа событий к длительности периода наблюдения - статистика, являющаяся, очевидно, несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания Мг, или частоты возникновения событий. Если считать распределение случайной величины т. пуассоновским (что наиболее естественно в рассматриваемой ситуации), т. е. если положить Р(г = к) = е (гТ) /к , где г- константа, то возможно оценить условия, когда вводимый показатель мсл<но считать вероятностью. В самом деле, для пуассоновского распределения Мг = гТ. С другой стороны, для пуассоновского распределения вероятность того, что за время Т случится не менее одного события, равна Поэтому только для очень малых частот [c.42]

Следовательно, СКО среднего арифметического в -Jn раз меньше СКО результата однократного измерения. По мере увеличения числа измерений а(х) стремится к нулю. Это означает, что среднее арифметическое ряда наблюдений сходится по вероятности к математическому ожиданию и является его состоятельной оценкой. Исходя из изложенного, за оценку случайной погрешности отдельных измерений может быть принято отклонение результата измерений от среднего арифметического, то есть [c.81]

Несмешанная состоятельная оценка для генеральной дисперсии (эмпирическая дисперсия) S = ns7(n —1), M(S2) = a поэтому S чаш,е пользуются, чем s. [c.315]

Состоятельность. Другим свойством оценок, опирающимся на выборочное распределение, является состоятельность Предположим, что смещение и дисперсия оценки стремятся к нулю, когда объем выборки п становится большим. Это означает, что выборочное распределение концентрируется вокруг 0 и точность оценки безгранично возрастает Оценка, обладающая этим свойством, называется состоятельной оценкой [c.126]

В разд. 5 33 было показано, что среднеквадратичная ощибка оценки ковариационной функции Схх(и) имеет порядок 1/Г, и поэтому ее распределение концентрируется все теснее около ухх и) при Г- оо. Таким образом, Схх(и) является состоятельной оценкой ухх(и). Другими словами, средняя по времени величина Схх и) сходится к средней по ансамблю величине ухх(и) Это [c.269]

Корреляционный анализ начинается с графического построения поля корреляции в удобной координатной системе с целью выбора аппроксимирующей функции. В дальнейшем задача сводится к определению несмещенных и состоятельных оценок ее параметров, для чего обычно прибегают к методу наименьших квадратов [77, 165, 176]. [c.95]

На практике состоятельность оценки обычно определяют по следующим условиям [c.29]

Свойство (а) заключается в том, что получаемые оценки включают всю информацию о константах, которая содержится в опытных данных. Состоятельность оценки состоит в том, что при увеличении числа экспериментов вероятность отклонения оценки от истинного значения на сколь угодно малую величину стремится к нулю. Свойство <в) характеризуется тем, что при. любом числе экспериментов математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру. И, наконец, под эффективностью оценки понимается минимальная величина возможной ее ошибки. [c.436]

В книге дается краткое систематическое изложение основ спектрального анализа случайных процессов. Излагается упрощенная теория спектрально-корреляционного анализа. Большое внимание уделяется оценкам спектральной плотности мощности, их свойствам, методам получения состоятельных оценок, особенностям и основным параметрам спектрального анализа на основе дискретного представления случайных процессов. Обсуждаются алгоритмы вычисления спектральных оценок и проблемы практического использования дискретного преобразования Фурье при обработке информации па цифровых устройствах. Описываются экспериментальные методы измерения спектральных характеристик случайных процессов. [c.2]

Gx(f), G= (f) — состоятельные оценки спектральной плотности мощности, получаемые усреднением по частоте периодограммы [c.8]

Gx(f), Gx(f) — состоятельные оценки спектральной плотности, получаемые преобразованием Фурье оценки корреляционной функции, умноженной на выделяющую функцию [c.8]

Оценка, которая сходится но вероятности к оцениваемой характеристике при бесконечном увеличении продолжительности измерений Т, называется состоятельной. Для состоятельной оценки имеет место соотношение [c.53]

Согласно (3-1) для того, чтобы оценка была состоятельной, достаточно, чтобы она была несмещенной и чтобы ее дисперсия стремилась к нулю при Т—>-оо. Например, случайная величина Уг для стационарного эргодического процесса Х 1) является состоятельной оценкой математического ожидания т , так как в этом случае выполняются соотношения (1-15). [c.53]

При экспериментальном определении вероятностных характеристик случайного процесса весьма желательно использовать состоятельные оценки, которые позволяют судить об исследуемой вероятностной характеристике по результатам обработки одной реализации. Для стационарного процесса Х 1), эргодического по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции, построение состоятельных оценок среднего, среднего квадрата, дисперсии, корреляционной функции не представляет особых трудностей. В частности, было показано (см. (1-17)1, что случайные величины [c.53]

При существовании конечного интервала корреляции 0, т. е. — состоятельная оценка среднего [c.56]

Было показано, что (3-3)—несмещенная и состоятельная оценка действительного среднего квадрата. Поэтому выполняется соотношение [c.60]

Для эргодических случайных процессов случайная функция /Сж(т ) [см. формулу (3-5)] представляет собой состоятельную оценку корреляционной функции Кх х). Поэтому, принимая за основу определение спектральной плотности мощности в форме (3-9), можно за оценку спектральной плотности взять случайную величину [c.68]

Это — очень важный результат, который лежит в основе построения состоятельных оценок спектральной плотности мощности. Далее, при fi=f2,=f из формулы (3-20) [c.72]

Состоятельные оценки спектральной плотности [c.73]

Лг(/) V7 = Ss (f) по произвольному интервалу частот при Т—>-00 имеет предел в среднем квадратическом, равный интегралу от спектральной плотности мощности по тому же интервалу частот [Л. 74]. В частности, интегрируя случайную функцию в пределах от О до [, получим, состоятельную оценку спектральной функции, определяемой соотношением [c.75]

Для нахождения состоятельной оценки спектральной плотности мощности усредним периодограмму по малому интервалу частот Af, в пределах которого Gx(f) можно считать постоянной. В результате получим [c.75]

Точно так же, как Ох([) не дает состоятельной оценки спектральной плотности мощности, оценка [c.76]

Как было показано ранее [см. формулу (3-25)], состоятельная оценка спектральной плотности мощности может быть получена при помощи операции свертывания [c.82]

Сама идея сглаживания периодограммы при помощи весовой функции с целью получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности основана на выборе некоторого частотного интервала Д/, в котором можно разместить много независимых спектральных составляющих, и на вычислении среднего этих составляющих. Если интервал наблюдения Т задан, то независимые спектральные составляющие Ох(/) разделены ПО 80 [c.90]

Как видно из приведенных формул, полученная по дискретным данным оценка является несмещенной и состоятельной оценкой среднего квадрата. [c.100]

Для получения состоятельных оценок спектральной [c.102]

Состоятельные оценки спектральной плотности мощности [c.103]

Таким образом, состоятельные оценки спектральной плотности мощности могут быть получены по периодограмме или оценке корреляционной функции после дополнительной обработки этих исходных величин. [c.104]

Для получения состоятельной оценки необходимо видоизменить оценку 5а д(/) в соответствии с ее статистическими свойствами. Исследование вероятностных характеристик случайной функции показывает, что корреляция между случайными величинами хд(Ь) и [c.122]

При получении оценок спектральной плотности мощности возникает задача вычисления интегрального преобразования Фурье функции времени, заданной на конечном интервале. Обрабатывая информацию в цифровой форме, здесь можно успешно использовать алгоритм ДПФ. Объем вычислений по этому алгоритму представляет лишь часть всего объема вычислительных операций, необходимых для получения состоятельной оценки спектральной плотности мощности, причем часть эта может быть более или менее значительной в зависимости от вида используемой оценки. [c.152]

А. Состоятельность. Метод оценки называется состоятельным, если полученные с его помощью оценки сходятся к истинному значению параметра при условии п оо (п — число наблюдений). Использование различного вида сходимости приводит к разным видам состоятельности. Имея в виду сходимость по вероятности определим состоятельность оценки по вероятности как оценку 0, отвечающую ус.ювию при е = у — л > и т] > О всегда существует такое К, что для всех п > N выполняется условие / ( 9 — 9(Се) <5. Тогда с ростомп0 сходится по вероятности к 9. Заметим, что состоятельность — асимптотическое свойство, но это вовсе не означает, что точность — монотонная функция п, и если 9 состоятельна, то увеличение п не всегда локально увеличивает точность. [c.136]

Однако из того, что эргодическое свойство имеет место для Схх и), никоим образом не следует, что оно справедливо для его преобразования Фурье xx f). В самом деле, если имеется состоятельная оценка статистического параметра, то ее преобразование Фурье обычно не является состоятельной оценкой для преобразования Фурье этого параметра ) Иначе говоря, xx(f) являетея. примером выборочной функции, для которой эргодическое свойство не имеет места [c.270]

Это показывает вообще, что zz(f) не является состоятельной оценкой Fzzif). [c.288]

ДЛЯ вычисления которых необходима идентификация эмпирического распределения ф(г) теоретическому закону. Идентификация с использованием критерия согласия показывает, что экспериментальные распределения в зависимости от р-Г-парамет-ров, длительности процесса и химического состава среды кристаллизации чаще всего эквивалентны нормальному и логнормальному распределению, реже распределению с отрицательной асимметрией. Вычисленные по известным формулам значения моды (или МО) являются состоятельными оценками параметров теоретического распределения. Закономерная связь полученных значений с условиями кристаллизации позволяет использовать их в качестве размера г, характеризующего с определенной вероятностью весь ансамбль кристаллов, а оценки СКО — как показатель неоднородности его гранулометрического состава. [c.366]

Гливенко. К оценкам обычно предъявляются требования состоятельности и несмещенности. Оценка а (х , х , х ) называется состоятельной, если с увеличением объема выборки п она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру а. Эмпирические (выборочные) моменты являются состоятельными оценками теоретических моментов. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно оцениваемому параметру М[а = а. Еще одной важной характеристикой оценок генеральных параметров является их эффективность, которая для различных несмещенных оценок одного и того же параметра при фиксированном объеме выборок обратно пропорциональна дисперсиям этих оценок. [c.30]

Оценка параметра. Оценка параметра есть случайная величина, построенная по какому-то закону по наблюдаемым выборочным значениям. При построении оценки следует стремиться к тому, чтобы математическое ожидание оценки параметра было равно самому параметру. Такая оценка называется несмещенной. Если с увеличением числа выборочных значений п, по которым строится оценка, ее дисперсия стремится к нулю, то такая оценка называется состоятельной. Оценку математиче- [c.163]