Волновое в полярных координата

Энергия вращения двухатомной молекулы. Молекула не может вращаться с произвольной энергией. Вращательное движение молекулы описывается волновым уравнением Шредингера, которое в полярных координатах имеет вид [c.7]

Общая энергия Е в волновом уравнении состоит из двух частей энергии трансляционного движения атома как целого и энергии электрона по отношению к протону. Интересной является именно последняя составляющая энергии. И опять возникает проблема разделения переменных. Для того чтобы получить желаемое уравнение, необходимо выделить и отбросить трансляционную составляющую общего волнового уравнения. Чтобы осуществить такое разделение, необходимо ввести новую систему переменных — х, у и Z, которые являются декартовыми координатами центра массы атома водорода, н переменных л, 9 и ф, которые являются полярными координатами электрона по отношению к ядру. Координаты центра массы системы в общем случае задаются уравнением [c.59]

Волновую функцию г з (т. е. решение уравнения )изображают в виде произведения а1з(г, 0, ф) =. (г)0(0)Ф(ф), где / , Ф, 0 —символы функций. Это значит, что функция г представлена в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного переменного г, 0, ф, т. е. от одной координаты. Это произведение подставим в уравнение, записанное в полярных координатах. Тогда получим , [c.66]

В полярных координатах ф 1 имеет вид несимметричной восьмерки. Учитывая, что волновые функции характеризуются тремя квантовыми числами п, 1кт, можно заключить, что электронное облако. [c.128]

Для этого обычно пользуются сферическими полярными координатами, изображенными на рис. 2.5, В данном случае атомная волновая функция. [c.40]

Для читателя, интересующегося математическим аспектом решения волнового уравнения, можно разъяснить значение классификации s, р, d,... следующим образом. В сферических полярных координатах волновое уравнение (3,19) для электрона в центральном поле V (г) имеет вид [c.66]

Уделяя до сих пор внимание исключительно основному состоянию атома водорода, мы имели целью ввести уравнение Шредингера и некоторую терминологию волновой механики с минимумом математического формализма. Однако атомные волновые функции, необходимые прй изучении органических молекул, более схожи с волновыми функциями возбужденных состояний атома водорода. Прежде чем определить волновые функции возбужденного состояния в алгебраической или в геометрической форме, необходимо отказаться от декартовых координат, которые совершенно непригодны для сферических систем и которые были использованы раньше единственно из-за их универсальности. Применять прямоугольные координаты для определения положения электрона в атоме не более удобно, чем для определения положения точки на поверхности Земли в обоих случаях предпочтительно пользоваться сферическими полярными координатами, поскольку желательно иметь дело с угловой и радиальной зависимостями в отдельности. [c.15]

В табл. 1 использованы сферические полярные координаты, но ниже приведены эквивалентные выражения также и в декартовых координатах для первых пяти волновых функций атома водорода [c.16]

Следует подчеркнуть, однако, что применение сферических полярных координат Отнюдь не является вопросом только удобства записи или изящества анализа. В то время как в этих координатах водородоподобные волновые функции всегда могут быть записаны в виде [c.16]

Используя эти уравнения преобразования, нетрудно получить волновое уравнение, выраженное в декартовых координатах центра масс системы и в полярных координатах г, и ср. Например, рассмотрим координату z. Решим уравнение (2-ЗЗв) относительно 2 [c.54]

Прежде чем рассматривать различные теории, полезно привести некоторые сведения, касающиеся атомных орбиталей центрального газового иона, свободного от воздействия на него лигандов, и орбиталей лигандов, которые включаются в связи металл—лиганд. Диаграмма в полярных координатах угловой части волновой функции для 5-, р- и -орбиталей изображена на рис. 2-9. Напомним, что на диаграмме расстояние от начала координат пропорционально абсолютному значению угловой части волновой функции (0, ф). Диаграмма дает приближенную картину углового распределения электронной плотности, но не является, как это часто считают, граничной поверхностью для всей электронной плотности. [c.399]

Если уравнение (1.12) переписать в сферических полярных координатах (см. стр. 24), его можно решить и получить набор волновых функций. Чтобы понять физический смысл исследуем теперь одну из них более детально. Для этого воспользуемся той из них, которая соответствует наиболее низкой энергии г] и имеет следующий довольно простой вид [c.22]

К этим правилам Паулинг добавил еще три, основанные на анализе свойств собственных функций электронов, принимающих участие во взаимодействии. В данном случае речь идет о волновых функциях отдельных электронов, входящих в состав атома. Эти функции отражают распределение плотности электронного облака в пространстве. Паулинг исследует эти функции, пользуясь полярными координатами электрона г, 0 и ф (в начале координат находится ядро атома). Приводим эти правила. [c.297]

Решение волнового уравнения для атома водорода включает три квантовых числа п, I и nti (ср. с решением для трехмерного ящика), каждое из которых имеет определенный набор разрешенных значений. Решение, найденное для конкретного набора п, I и rni, называется собственной функцией и соответствует одной атомной орбитали водорода. Полное графическое изображение решения волнового уравнения будет, таким образом, четырехмерным, с тремя пространственными координатами (декартовыми X, у. Z или полярными г, 0, ф) и четвертой координатой — функцией Ч . Поэтому волновую функцию Ч часто разделяют на три составляющие, каждая из которых — функция только одной пространственной переменной при использовании полярных координат электрона по отношению к ядру волновая функция принимает выражение [c.26]

Волновые функции каждого состояния водородоподобного атома,, определяемые квантовыми числами п (главное квантовое число), I (азимутальное квантовое число) и т (магнитное квантовое число), обычно записывают в полярных координатах г, 0 и ф. Орбитальная волновая функция представляет собой произведение трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты [c.782]

Используя эти уравнения преобразования, нетрудно получить волновое уравнение, выраженное в декартовых координатах центра массы системы и в полярных координатах г, О и ф. [c.58]

Вычисление колебательных матричных элементов (а ц )оо и определение правил отбора для дважды вырожденных колебаний заслуживают особого внимания. Волновая функция для двумерного гармонического осциллятора в полярных координатах [c.169]

Функции А Даны в пространственно фиксированной системе координат, функции F — в молекулярной системе. Дипольное взаимодействие Di i) усредняется по волновой функции электрона ф У2т и фт) —сферические гармоники второго порядка г,-, 0 , — сферические полярные координаты, которые определяют положение неспаренного электрона относительно ядра г в молекулярной системе координат gi, g2. ga — компоненты g-тензора. Молекулярная система координат х, у, г, в которой g-тензор диагонален, не всегда совпадает с системой координат главных осей дипольного СТВ X, у, г. [c.80]

Приведем еще один пример использования полярных координат. Представим. себе идеальную затопленную планету, на которой океаны покрывают всю сушу на одинаковую глубину. Возмущения поверхности океана порождают волновые движения,. [c.38]

Связь между значением квантовых чисел и характером распределения электронной плотности удобнее проследить, если положение данной точки М в атоме описывать в волновом уравнении не в декартовых, а в так называемых сферических (полярных) координатах (рис. 3). Положение точки в пространстве в полярной системе координат определяют с помощью расстояния этой точки от начала системы отсчета — радиуса г и углов ф и 0. Угол 0 образуется между радиусом г и осью 2, а угол ф — это угол между проекцией г на плоскость ху и осью х. Из рисунка 3 видно, что [c.42]

Для простейшей электронной системы, какой является атом водорода, решение уравнения в полярных координатах дает волновую функцию общего вида [c.33]

В. Волновое уравнение мембраны в полярных координатах [c.58]

Выведем волновое уравнение мембраны, используя вместо декартовых координат (х, у) полярные координаты (V, 0). Эти координаты определяются [c.58]

Очевидно, что выражения (Б-6), (Б-9а) и (Б-96) не могут удовлетворить этим условиям, поэтому метод разделения переменных, использующий волновое уравнение в декартовых координатах, не может быть применен к этой задаче. Однако естественно применить этот метод к волновому уравнению в полярных координатах. Поэтому сначала мы предполагаем, что решение имеет вид [c.59]

Па стр, 58 мы вывели волновое уравнение мембраны в полярных координатах, [c.96]

Чтобы не приводить каждый раз точные аналитические формы атомных орбиталей, мы будем часто указывать вместо этого соответствующие квантовые числа п, I и т. Они являются целыми числами, которые получаются автоматически при решении уравнения Шредингера (20), если на формы волновых функций налагаются ограничения, обеспечивающие их физическую приемлемость. Мы не будем касаться здесь точного математического значения квантовых чисел, используя их, как правило, лишь в виде символов, но считаем полезным обратить внимание на следующие соотношения между квантовыми числами и аналитическими выражениями волновых функций 1) максимальный показатель степени для г в радиальном факторе равен п — 1, а экспонента — Zr/n 2) если высшие степени os 0 н sin 0 равны os 0 и sin 0, то I = а+6 3) фактор Ф равен os m ф или sin [ml ф. В отличие от 2 и 3, которые имеют силу для всех атомных волновых функций, выраженных в сферических полярных координатах, [c.18]

Если волновое уравнение записать в полярных координатах, то результирующая волновая функция представится как произведение трех функций [c.35]

Теперь следует рассмотреть свойства симметрии координатной части ядерных волновых функций. Если ориентация линии, соединяющей центры обоих ядер, выражается с помощью обычных полярных координат ф и Ь (см. рис. 13, стр. 58), то очевидно, что обмен ядер местами эквивалентен замене 0 на 0-]-тт и О на тт — 6. В гл. IX мы рассмотрели в общей форме некоторые свойства двухатомных молекул и отметили, что, так как сила, действующая между двумя атомами, направлена вдоль линии, соединяющей их центры, движение этих атомов имеет много общего с движением электрона в атоме водорода. В частности, волновая функция может быть написана в форме / Фв, где Н — функция только г, расстояния между атомами, а > и О — соответственно функции двух переменных ф и 0. Из предшествующего изложения ясно, что симметричные свойства такой волновой функции должны зависеть от множителя Ф0, и было установлено, что она симметрична, если вращательное квантовое число / является четным, и антисимметрична, если оно нечетно. Мы не будем стараться дать подробное объяснение этого факта, но можем обратить внимание на аналогичный, но более простой случай. Если бы существовала молекула, в которой вращение. могло бы происходить только в одной плоскости, то, введя приведенную массу, ее можно было бы рассчитывать как плоский ротатор типа, рассмотренного в гл. IV. Перестановка ядер должна была бы соответствовать замене х 4.4 на 7,+ ТГ, и рассмотрение рис. 12 показывает, что в этом случае волновые функции симметричны, если вращательное квантовое число четно, и антисимметричны, если оно нечетно. [c.151]

Такая форма уравнения имеет место при любой ориентации вектора вращения Q относительно вектора силы тяжести g. Другой вид соотношения (8.4.13) получается в случае, когда волновое чи ло записано в полярных координатах в форме (6.5.4). Этот вид указанного соотношения очень компактен [c.321]

Наряду с рассмотренными выше основным и возбужденными. -состояниями для электронов атома ВОдорода известны возбужденные состояния, волновые функции которых гр не имеют сферической симметрии. Решение уравнения Шрёдингера, которое приводит к этим функциям, значительно сложнее, так как требует учета наряду с г также и других полярных координат О и ф (см. учебники по атомной физике). Здесь эти выводы не приводятся ограничимся тремя возможными решениями уравнения Шрёдингера, полученными для одного и того же значения энергии [c.48]

Набор трех квантовых чисел и, / и /П характеризует определенную орбиталь п1пц- В табл. 4.4 приведены некоторые волновые функции для одноэлектронного атома с зарядом ядра 2 в полярных координатах, в которых г — расстояние до ядра, 0 — угол с осью г, <р — угол с осью х в плоскости, перпендикулярной оси 2, ао=1—боровский радиус. Эти функции представлены (в атомной системе единиц) в виде двух сомножителей, один из которых зависит только от г — расстояния до ядра, а второй — от углов 0 и ф таким образом, сама волновая функция — произведение этих сомножителей (радиального и углового). [c.56]

Уравнение Шрёдингера для атома водорода в полярных координатах (П1.25) после разделения переменных удается представить в виде произведения трех отдельных функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента. В самом общем виде это приводит к волновой функции вида [c.41]

Слейтеровские орбитали имеют в общем такой же вид, как и орбитали, приведенные в табл. 1-2, так как введение эффективного ядерного заряда изменяет только радиальную часть волновой функции, но они отличаются от орбиталей атома водорода отсутствием радиальных узлов. Правила записи аналитических функций по Слейтеру можно найти в книге Коулсона [1]. Мы рассмотрим эту процедуру на примере 2рд -орбитали атома углерода. В книге Коулсона можно найти уравнение 1р2р =бхр (—сг/2) вместе с правилами вычисления Л/г и с путем подсчета числа электронов на различных орбиталях атома. В приведенном уравнении значение х дается в полярных координатах л = /-sin 0 os ф (для ру и рг-орбиталей у — = г 1п0 81пф и 2 = ЛСО8 0). Угловая часть волновой функции для [c.32]