Система уравнений в частных производных

Проблемы численного решения полной системы уравнений в частных производных, описывающей неподвижный слой катализатора, обсуждаются в приведенной выше статье Бика. Уравнения массо- и теплопереноса в цилиндрическом слое сферических частиц с реакцией, описываемой линеаризованным кинетическим выражением, решены в работе [c.301]

Нестационарные процессы в проточных аппаратах с ограниченным перемешиванием или без него описываются системами уравнений в частных производных. Эти уравнения содержат первую производную по времени и различные производные по пространственным координатам. В общем случае их можно записать в виде [c.149]

Чтобы количественно определить долю рециркуляции, в общую структуру комбинированной модели добавляе ся рециркулирующий поток, затем записывается система уравнений в частных производных по всем зонам, входящим в общую структуру, и эта система решается относительно среднего времени пребывания и безразмерной дисперсии. [c.111]

Акрамов Т. А. О стабилизация решений системы уравнений в частных производных, описывающих кинетику обратимых химических. реакций,— Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1976, вып 26, с. 3—16. [c.115]

Операторы, задаваемые системами уравнений в частных производных. Операторы такого вида встречаются во всех сложных технологических системах, математические модели которых включают дифференциальные уравнения в частных производных. Внутренние параметры таких объектов изменяются не только во времени, но и распределены по пространственным координатам. В общем случае каждый внутренний параметр 2 зависит от трех пространственных координат 2 = 2( 1, Хг, Хз, t) и дифференциальные уравнения математической модели содержат частные производные по каждой пространственной переменной. Такие математические модели, однако, сложны для исследования и редко применяются для описания химико-технологических объектов. Значительная часть моделей основных процессов химической технологии представляет собой системы дифференциальных уравнений, содержащих частную производную только по одной пространственной переменной. Соответственно, и все внутренние параметры объекта меняются только по одной пространственной координате. При этом координатная ось совпадает, как правило, с осью аппарата, а в каждом сечении, перпендикулярном этой оси, параметры процесса не зависят от пространственных координат. Значения внутреннего параметра г х,1) в точках, соответствующих входу и выходу, представляют собой входные и выходные параметры системы, например г х, 2 (х, () 1х=1 вых (0> где I — [c.45]

Рассмотрена система уравнений в частных производных, описывающих протекание химических реакций и диффузию в многокомпонентной смеси. [c.168]

Пусть в аппарате протекает химическая реакция первого порядка А — В. Процесс описывается системой уравнений в частных производных параболического типа [c.309]

Последним четвертым этапом является нахождение собственных функций Ф(х) и соответствующих комплексных волновых скоростей с. При этом линейная система уравнений в частных производных сводится к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.448]

Операторы, задаваемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Операторы этого вида, наряду с операторами, задаваемыми системами уравнений в частных производных, наиболее часто встречаются в технических приложениях, поскольку большинство технологических объектов описывается именно обыкновенными дифференциальными уравнениями или уравнениями в частных производных. [c.43]

Широкий класс двумерных задач теории пограничного слоя, теории струй и дальних следов за телами может быть описан нелинейной системой уравнений в частных производных, состояш ей из нескольких уравнений 2-го порядка и одного уравнения 1-го норядка (уравнения неразрывности). [c.124]

Таким образом, из анализа исходной системы уравнений в частных производных и граничных условий (4.1) — [c.247]

Зависимость новых переменных т, со от исходных координат т] и времени I получается в результате решения системы уравнений в частных производных первого [c.278]

К системе уравнений в частных производных следует добавить соотношения, связывающие локальные значения некоторых величин. К, таким. соотношениям относятся представленные выше зависимости (1.43) и (1.44), соотношение, связывающее давление насыщенного пара и температуру парогазовой смеси у поверхности раздела фаз, температурные зависимости для теплофизических параметров сред,-а также уравнение состояния для парогазовой смеси. [c.28]

Рассматривая поведение процесса при малых отклонениях от стационарного состояния, коэффициенты в уравнениях математической модели можно принять постоянными. Дальнейшее упрощение достигается за счет усреднения движущей силы процесса по высоте колонны. Тогда исходная система уравнений в частных производных превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.239]

Необходимое условие минимальности функции Q. .., j ) выразим в виде следующей системы уравнений в частных производных [c.235]

Для реакций с более сложной кинетикой требуется анализ системы из более чем двух уравнений с соответствующим числом неизвестных, что не только усложняет вычисления, но и по существу представляет серьезную и интересную математическую задачу. Если же нельзя воспользоваться моделью идеального смешения, то возникает задача с пространственным распределением температуры и концентраций, т. е. при учете продольного перемешивания — система уравнений в частных производных, исследование которой еще значительно сложнее в математическом отно шении. [c.469]

Решение получившейся системы представляет собой значительно более простую задачу, чем решение исходной системы уравнений в частных производных (IV.55)— (IV.61), и может быть получено аналитически [c.169]

Рассмотрение прерывности заключается в решении полных уравнений, в то время как непрерывное решение исходит из системы уравнений в частных производных. Несмотря на. это различие, Ку])ан [21] выдвинул идею единой обработки, исходя из того, что в решение задач, касающихся непрерывности, могут входить и вопросы прерывности, если применять распределение Шварца [22] вместо обычных функций. Мы нашли, однако, что до сих пор пет оснований его применять ни с математической, ни с физической точки зрения. [c.174]

Сначала мы опишем то, что можно назвать методом поиска симметричных решений уравнений в частных производных. Предположим, что система уравнений в частных производных 2 инвариантна над группой 6, элементами которой являются входящие в систему зависимые и независимые переменные. Метод состоит в отыскании решения, инвариантного над некоторой подгруппой группы О. Другими словами, он состоит в отыскании автомодельных решений, обладающих внутренней симметрией относительно О. [c.159]

Наконец, следует отметить одну особенность термодинамики как науки. Сравнительно нетрудно научиться применять ее уравнения к конкретным задачам. Несложен и ее общий математический аппарат — система уравнений в частных производных, которые чаще всего не приходится интегрировать. Тем не менее, термодинамика относится к тем разделам науки, где было допущено множество ошибок, которых не избежали даже многие выдающиеся физики. Несмотря на всю ее простоту, термодинамику почти невозможно изучить сразу — в один прием, по одной книге. Поэтому и создаются различные курсы химической термодинамики, преследующие различные цели. [c.4]

Технологическая схема осушки хлора в операторном виде представлена на рис. 1У-10. Основными аппаратами технологического процесса являются две абсорбционные башни с насадкой, орошаемой серной кислотой. При этом из хлора, который подают в низ башни, поглощается влага. Процесс поглощения влаги сопровождается выделением значительного количества тепла, поэтому одновременно с процессами массопередачи протекают процессы теплопередачи между газом и жидкостью, что не учитывается известными математическими моделями абсорбционных процессов [4, 132, 133]. В общем случае процесс массообмена в абсорберах описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [4, 132, 133]. Аналитическое решение такой системы связано с большими трудностями. В реальных условиях производства процесс осушки протекает в условиях, близких к стационарным входные параметры процесса либо не меняются, либо меняются весьма медленно. Для стационарного процесса, который рассматривается ниже, исходная система уравнений в частных производных превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений [140]. Для получения такой системы уравнений рассмотрим балансовые зависимости для элементарно- [c.147]

Однако в [98] была предпринята попытка построения решения этой задачи в аналитической форме, которая позже была завершена и обобщена на течения со степенными особенностями в распределении скорости вдоль оси сопла (а также на течения в окрестности центра осесимметричного сопла) О. С. Рыжовым и Ю.Б. Лифшицем [84]. Идея этого подхода основана на том, что рассматриваемая задача допускает формулировку в автомодельных переменных, что позволяет сначала перейти от системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем — к одному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Вообще говоря, такой подход обладает меньшей общностью на классе непрерывных течений, но зато позволяет строить обобщенные решения, описывающие течения с ударными волнами, [c.59]

Это означает, что система уравнений (1.4), (1.5) в локальной системе координат, содержащая производные по направлениям линий тока и их нормалей, может быть выражена как система уравнений в частных производных в криволинейных ортогональных координатах (р, ф при этом [c.191]

Как мы увидим, в общем случае развитие процессов цепной диффузии определяется системой уравнений в частных производных [c.104]

Важнейший вывод, сделанный на базе детерминированных моделей, заключался в том, что была показана общность различных реализаций сорбционных процессов, например фронтальной, элютивной и вытеснительной хроматографии. При неизменности механизма сорбции, а следовательно, математической модели это различие состоит в соответствующей постановке краевых задач для системы уравнений в частных производных, т. е. в различии начальных и граничных условий. [c.6]

В самом деле, рассмотрим решение задачи динамики, зависящее от одной волновой переменной = а — wt. Тогда система уравнений в частных производных трансформируется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно этой переменной. [c.47]

Как было показано в главе I, типовые процессы химической технологии, построенные на взаимодействии сред в противотоке, могут ыть описаны системой уравнений в частных производных [c.214]

Пусть дан объект, описываемый системой уравнений в частных производных [c.246]

Задача о линейной устойчивости несжимаемой невязкой жидкости в форме бесконечно длинного щминдра кругового сечения, окруженного воздухом, была впервые рассмотрена Релеем [22]. Эта и последующие за ней работы [23, 24] по гидродинамической устойчивости включают четыре этапа. Первый состоит в определении параметров основного невозмущенного течения полей скоростей, давлений, температур. Следующим этапом является предположение о малости возмущений этих параметров и линеаризация уравнений и граничных условий. В итоге получается однородная линейная система уравнений в частных производных, коэффициенты которой могут зависеть от пространственных координат, но не зависят от времени. Третий этап состоит в определении элементарного решения для выбранного начального возмущения. Обычно решение ищется в виде комплексного Фурье-представления периодических функций. Например, элементарное репгение можно искать в виде нормальной моды [c.448]

Упомянуто, что математическое описание процессов фильтрования представляет значительные трудности вследствие большого числа факторов, влияюших на процесс [ЮЗ]. Указано, что в на-стояшее время существует большое несоответствие между сложными математическими описаниями и применяемыми на практике уравнениями. Отмечено, что эмпирические зависимости вида (11,47), (11,48) не отражают влияние на удельное сопротивление осадка различных микрофакторов в отдельности и применимы только к определенным осадкам. Дано математическое описание процесса фильтрования в наиболее общей форме, состоящее из системы уравнений в частных производных и включающие векторы скорости твердых частиц. Одно из этих уравнений имеет вид [c.80]

В связи со сложностью математических моделей процессов массовой кристаллизации в аппаратах данного типа (описываемых системой уравнений в частных производных) методы оптимизации, примененные к кристаллизаторам типа MSMPR, очень трудоемки в применении к рассматриваемым аппаратам. [c.359]

Метод Флэка основан иа решении обычной системы уравнений в частных производных (по координатам и времени) для нейтронного потока и для энергетического баланса. При разложении решения для потока в ряд Фурье [c.443]

Систему уравнений (1.4), (1.5) с приведенными граничными условиями в теоретической гидромеханике называют уравнениями пограничного слоя она может быть решена приближенными методами с необходимой точностью для случая стационарного обтекания полубесконечной плоской стенки ламинарным потоком вязкой жидкости. Техника решения состоит в том, что система уравнений в частных производных путем введения новых комплексных переменных сводится к одрюму дифференциальному уравнению третьего порядка относительно некоторой новой искомой функции. Получаемое уравнение оказывается нелинейным, но не содержит никаких параметров и поэтому может быть единожды решено численно. Приближенное решение дает возможность вычислять профили скорости в пограничном слое и градиенты продольной компоненты скорости в направлении, нормальном к поверхности. Значение поперечного градиента скорости, умноженное на коэффициент вязкого трения ц, дает величину касательного напряжения трения, необходимую для вычисления гидродинамических сопротивлений потоков вязкой жидкости. [c.9]

Матештическимя моделями в нервом случае является систе-ш обыкновенных дифференприальных уравнений, а во зторш -системы уравнений в частных производных. Данное сообщение ограничивается рассмотрением задач первой группы. [c.115]

Следует остановиться и на трудностях физического и математического моделирования колонных аппаратов, так как в данном случае имеется двухфазная система с тяжеломоделируемыми и рассчитываемыми моментами межфазных переходов. Струйное впрыскивание и барботаж газа создают сложную гидродинамическую картину в колонных аппаратах. Даже самая упрощенная (квазигомогенная) модель колонных аппаратов приводит к нелинейным системам уравнений в частных производных, анализ которых в настоящее время даже с использованием средств электронно-вычислительной техники представляет определенные трудности. Очень сложно теоретическое и экспериментальное определение коэффициентов турбулентной диффузии для газо-жидкостной системы под давлением. Поэтому говорить можно лишь о сугубо качественных расчетах колонных аппаратов. [c.114]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология