Линеаризация уравнений

Рис. 2.3. Линеаризация уравнения методом малых отклонений

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (6.8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа (см. гл. 3), воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (6.8) на постоянное давление р , равное начальному давлению в пласте. Тогда, кр [c.185]

График зависимости и(ст) приведен на рис. 7.10 для М / 1. Если в уравнении (7.51) заменить х(ст) на его максимальное значение = и и толковать ев как температуру, то, очевидно, это будет соответствовать более быстрому выравниванию температуры. Такая линеаризация уравнения сильно упростит задачу, а полученный результат представит оценку сверху для истинного решения Ч [c.220]

Матричное преобразование уравнений объекта получается после линеаризации уравнений (Х-108), т. е. приведения их к виду (для приращений) [c.483]

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЕЙБЕНЗОНА И ОСНОВНОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО УРАВНЕНИЯ [c.185]

Линеаризация уравнения скорости реакции [c.126]

Кинетика расслаивания жидкофазных систем. В связи с распространенностью многофазных систем большое внимание уделяется разработке теории их движения, причем в последнее время наблюдается бурное развитие этой области знаний. Обзор многочисленных работ, посвященных этой теме, изложен в [23, 24—26]. Сложность общего математического описания заставляет при решении конкретных задач делать те или иные допущения, вносящие определенные погрешности в решение задачи. Так, во многих случаях течение двухфазной системы может рассматриваться как ползущее, т. е. числа Рейнольдса, рассчитанные по диаметру частиц, очень малы (седиментация тонких эмульсий, суспензий и т. д.). Тогда возможна линеаризация уравнения Навье—Стокса, если пренебречь инерционными членами. Такое допущение справедливо и в случае, когда течение смеси в целом по отношению к внешним границам характеризуется большими числами Рейнольдса, тем не менее можно говорить о малости чисел Рейнольдса для движения частиц относительно сплошной фазы. Кроме того, инерционные эффекты менее существенны в системах, состоящих из группы частиц в органической жидкой среде. [c.288]

При линеаризации уравнения (П1.81) в окрестностях точки некоторого установившегося режима с параметрами Во, и)о, Ящ, Я20 получим [c.77]

Линеаризация уравнений тепло- и массопереноса с учетом фазовых переходов была впервые предложена в работах А. В. Лыкова и Ю. А. Михайлова и в настоящее время щироко используется в теории осущки, мерзлотоведении, строительной и космической технике. Она основана на представлении о линейной зависимости потоков диффузионно-капиллярного массопереноса от градиентов температуры и насыщенности жидкой фазой. Действительно, если в приведенных выще выражениях использовать соотнощения [c.157]

Для линеаризации уравнения (1.20) разделим обе его части на V, при этом получим уравнение [c.21]

В предыдущей главе для сведения моделей с распределенными параметрами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод коллокации. Получаемые дифференциальные уравнения оказывались линейными, но это объяснялось не характером метода, а было результатом предшествовавшей линеаризации. Вместо линеаризации уравнений (VII, 58) можно получить более общие уравнения (VII, 13), если воспользоваться подстановкой (VII, 45) [c.204]

В системах регулирования в большинстве случаев нет линейной зависимости выходной величины каждого звена от входной. Однако для упрощения решения систем дифференциальных уравнений и их анализа производят линеаризацию уравнений звеньев. Для этого разлагают уравнение движения звена в ряд Тейлора и ограничиваются двумя первыми членами разложения. В тех случаях, когда требуется большая точность расчетов или когда система находится на границе устойчивости, число членов разложения увеличивают. Линеаризованные уравнения достаточно точно описывают поведение системы. Если функции, описывающие движение звеньев, не могут быть разложены в ряд Тейлора, то система регулирования называется нелинейной и способ ее решения будет в каждом отдельном случае различный. [c.282]

К линеаризации уравнения (4.1) предлагаются потенциальные функции типов [c.23]

Линеаризация уравнения (8.2) может быть проведена различными способами, более или менее пригодными для практической работы. Например, широко известен метод Уокера—Шмидта [1], согласно которому обработка экспериментальных данных проводится в координатах ( [Р]/ , 1п [ ],—[ ) [c.166]

При известных коэффициентах q (Яц) и qi (а ) гармонической линеаризации уравнения (6.56) и (6.57) позволяют найти значения амплитуды а и частоты oj возможных автоколебаний. После этого проверяют устойчивость автоколебаний. В данном случае автоколебания будут устойчивыми, если при 4- ДДа и при Оа — Айа левая часть уравнения (6.57) получится соответственно больше и меньше нуля. [c.201]

Разработан метод линеаризации уравнения состава с использованием симметричных уравнений, позволяющих аналитически вычислять и с оценкой среднеквадратичных ошибок. [c.150]

Произведем линеаризацию уравнения (5.2.23). Предположим, что входное возмущение L. (О является малым по абсолютной величине и медленно изменяется во времени. Тогда будут [c.226]

Считая входное возмущение G , (i) малым по абсолютной величине, произведем линеаризацию уравнения (5.2.28). В результате линеаризованное уравнение, задающее взаимосвязь входного возмущения G i и выходного возмущения 0 , , будет иметь следующий вид [c.227]

Линеаризация уравнения (УИ1.17) дает [c.165]

В предыдущих главах рассматривались линейные модели систем автоматического регулирования и управления. Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в устройствах, входящих в систему. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность сравнительно просто решать задачи устойчивости и качества регулирования, причем, как было показано, разработанные в теории автоматического регулирования и управления методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем. Однако не всегда допустима указанная идеализация реальных систем, так как при замене нелинейных уравнений линейными может не только уменьшиться точность расчетов процессов регулирования, но и исказиться или даже исчезнуть качественные особенности процессов, возникающих в нелинейных системах. Последнее связано с наличием в системе элементов с существенно нелинейными характеристиками, к которым относят характеристики, не линеаризуемые при переходе к малым отклонениям переменных. Многие существенные нелинейности, встречающиеся в системах автоматического регулирования и управления, могут быть представлены кусочно-линейными характеристиками. [c.168]

Примем следующие обозначения дпя линеаризации уравнения (З.З.а) [c.32]

Линеаризация уравнений (IV,192) и (IV,193) для реакции первого порядка (и = 1) дает [c.346]

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ [c.28]

При математическом описании элементов и систем чаще всего используют Дифференциальные уравнения. Если эти уравнения линейные, то основные задачи автоматического регулирования и управления решаются наиболее просто и в достаточно общем виде. Однако уравнения динамики реальных элементов и систем вследствие сложности протекающих в них физических процессов, а также конструктивных особенностей элементов обычно получаются нелинейными. Несовместимость простоты расчетов и исследований по линейным дифференциальным уравнениям с описанием реальных систем нелинейными дифференциальными уравнениями в ряде случаев удается устранить путем линеаризации уравнений. В результате линеаризации исходные нелинейные уравнения динамики заменяются приближенными линейными уравнениями. [c.29]

Одним из основных методов линеаризации уравнений является метод, основанный на описании элементов и систем в малых отклонениях переменных от тех значений, которыми определяются невозмущенные, в частном случае равновесные, состояния элементов и систем. Метод состоит в следующем. Предположим, что выходная у и входная и величины элемента или системы связаны нелинейным уравнением [c.29]

Проводится линеаризация уравнений путем перехода к малым отклонениям переменных или аппроксимацией нелинейных статических характеристик линейными при помощи секущих. [c.33]

Система уравнений (2.18)—(2.22) является нелинейной вследствие того, что расход жидкости связан корнем квадратным с перепадом давления на дроссельном элементе, а для второго элемента расход жидкости зависит еще от переменного гидравлического сопротивления Для линеаризации уравнений будем рассматривать малые отклонения у , р и переменных у , р и относительно тех установившихся значений, которые они принимают при Уа = Ут- Обозначим эти значения р и Тогда имеем [c.34]

Проведя линеаризацию уравнения (3.46), получаем [c.87]

После линеаризации уравнений (12.152) и (12.153) имеем [c.359]

Проведя линеаризацию уравнений (13.109) н (13,110), определим отклонения объемных расходов и [c.412]

Линеаризация. При линеаризации уравнений (77) — [c.125]

Отметим, что одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является. гшнеаризация, т. е. сведение его к линейному уравнению Фурье. Как покажем при дальнейшем рассмотрении, в некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6.6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяюшие требованиям практики. [c.184]

Проиллюстрируем второй метод дискриминации конкурирующих моделей на простом числовом примере, рассмотренном ранее (рис. 4.2—4.4). Дополнительно полагаем следующее. Заданы две конкурирующие модели для системы двух необратимых мономолекул ярных реакций. В качестве первой выбрали нелинейную кинетическую алгебраическую модель этих реакций, в качестве второй — полученную в результате линеаризации по параметрам первой модели. Причем линеаризация проводится в окрестности истинных значений параметров. Следовательно, при проведении дискриминации этих конкурирующих моделей будет выявляться влияние линеаризации уравнений на вид выборочной плотности распределения отклика (что характеризует пригодность модели для целей последующего моделирования и управления изучаемого [c.199]

Для линеаризации уравнения рабочей линии абсорбции составы фаз выражают в относительных концентрациях распределяемого компонента, а нагрузки по фазам — в расходах инертного носителя, В приведенных ниже расчетах концентрации выражены в относительных массовых долях распределяемого компонента, а нагрузкр — в массовых расходах носителей. [c.103]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

Метод трехдиагональной матрицы оказывается малоэффективным при расчете ширококипящих и сильно неидеальных смесей. Возможно появление колебательности и даже отсутствие сходимости. Имеется целый ряд модификаций метода и, в частности, линеаризация уравнений фазового равновесия [59]. Если положить, что концентрация компонента в паровой фазе определяется количеством его жидкости, то при сохранении структуры матрицы существенно улучшается скорость сходимости решения. В этом с.пучае коэффициенты трехдиагональной матрицы вычисляются по формулам [c.341]

Линеаризация уравнения (VIII.21) в окрестности оптимальногб режима позволяет получить оценку изменений параметров состояний потоков ХТС [c.339]

Решение задачи заключается в линеаризации уравнения (1.20), графическом изображении полученного лпнейного уравнения и определении из графика постоянных а и й. [c.21]

Келен и Тюдош предложили способ линеаризации уравнения состава, учитывающий степень разброса экспериментальных данных с помощью фактора ос. Уравнение состава приведено ими к виду [c.150]

Линеаризация уравнения (7.23) дает См = УПР]//4-я> т. е. по зависимости См от можно графически определить УГ1Р и х и вычислить ПР и 31=х/ПР. [c.362]

Озеен [7] провел линеаризацию уравнений Навье — Стокса, используя более строгие допущения, так что уравнение в направлении х приняло следующий вид [c.27]

Для малых отклонений переменншх от значений, соответствующих осевому направлению основной струи (0о = 0), после линеаризации уравнения (1,1.70) имеем [c.313]

Ограничиваясь малыми отклонениями переменных от установившихся значений, проведем линеаризацию уравнений (12.152) и (12.153). При этом равновесным будем считать среднее положение поршня пневмоцилиидра, при котором вследствие равенства нулю позиционной нагрузки давления в левой и правой полостях будут одинаковыми рх.о = Ра.о = Ро- [c.359]