Произведение представлений

Это значит, что характер прямого произведения представлений равен произведению характеров. [c.30]

Найдите прямые произведения представлений [8 и Е2и группы Вбь, Е группы С4у на самих себя. Определите [c.27]

Показать, что матрицы прямого произведения представлений также образуют представление. [c.212]

Выше было рассмотрено прямое произведение представлений, которые, как уже говорилось, в общем случае тоже являются группами, образованными матрицами [c.216]

Вышеприведенный интеграл содержит оператор Я, который всегда принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению. Следовательно, симметрия всего подынтегрального выражения будет определяться симметрией прямого произведения /,- и 1 / . Как было показано в гл. 4, прямое произведение представлений и v /j принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению, только если и (/у относятся к тому же неприводимому представлению. Итак, подводя итог, можно утверждать, что интеграл энергии будет отличаться от нуля, только если ч , и ч/j принадлежат к тому же самому неприводимому представлению точечной группы изучаемой молекулы. [c.247]

Т. е. если прямое произведение представлений двух одинаковых функций о (функция с одинаковой симметрией) содержит представление Q . Нам известно, что прямое произведение двух функций с одинаковой симметрией всегда содержит полносимметричное представление. Следовательно, интеграл будет отличаться от нуля, если только принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы молекулы. Отсюда мы можем сделать вывод, что координата реакции, за исключением точек максимума и минимума, принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.318]

В приложениях теории групп важную роль играют произведения неприводимых представлений. Характеры таких произведений— это просто произведения характеров индивидуальных представлений. Произведения представлений, которые не являются неприводимыми, могут быть разложены на неприводимые представления (выражены в виде их суммы). Для большинства групп установлены правила, избавляющие от выполнения этой процедуры. Для группы Я(3) такое правило записывается следующим образом [c.59]

Заметим, что, согласно соотнощениям (3.88) и (3.91), единственный случай, когда произведение представлений может содержать полносимметричное представление й°[или /) в группе К(3)], встречается, если представление умножается само на себя. [c.62]

Как уже указывалось, единственный случай, когда полносимметричное неприводимое представление 0° встречается в разложении произведения представлений группы К(3), возникает, если какое-либо представление в этом произведении умножается само на себя. Следовательно, чтобы представление Гр,. содержало полносимметричное неприводимое представление В°, произведение любых двух представлений в правой части равенства (3.99) в своем разложении должно содержать третье представление. В частности, можно потребовать, чтобы [c.65]

Постройте указанные ниже произведения представлений в пределах групп 0(3) или Й(3) (соответственно обозначениям) [c.75]

Результирующие значения для полного спина 5 равны нулю и единице. Представление 0°, соответствующее нулевому значению полного спина 5, отвечает невырожденному синглетному состоянию, а представление D с единичным значением полного спина 5 — вырожденному триплетному состоянию. (Спиновое вырождение, или мультиплетность, состояния равно 25 + 1.) Для полного орбитального момента Ь следует рассмотреть произведение представлений [c.134]

Соотношение (7.А12) выполняется для любой конечной группы. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим произведение представлений (7.А7). Порядок группы 8(4) равен 24. Порядки каждого из ее классов указаны вместе с самими классами в таблице характеров (см. табл. 7.2). Все характеры этой группы являются действительными величинами, поэтому можно не беспокоиться относительно комплексно-сопряженных характеров. Для рассматриваемого случая нетрудно найти следующие результаты, в которых каждая величина указана в такой же последовательности, как и соответствующая величина в разложении (7.А6) [c.165]

Если К = то в произведении с Г присутствуют оба представления S+ и Следовательно, произведение представлений содержит S+, если 1 = 1, и содержит П(Г ), если Я = [c.183]

Определяемые симметрией правила отбора для спектральных переходов в случае конечных точечных групп устанавливаются так же, как это было показано для групп вращения (см. гл. 3). Произведение представлений исходного и конечного состояний должно содержать в своем разложении представление какой-либо компоненты дипольного оператора. В случае бензола компонента дипольного момента ц преобразуется по [c.292]

Полное описание состояния молекулы в газовой фазе требует указания ее вращательного колебательного и электронного состояний. Спектроскописты изучают разности энергий между состояниями. В приближениях Борна — Оппенгеймера и независимых частиц полная волновая функция молекулы является простым произведением электронной, колебательной и вращательной волновых функций. Симметрия конкретного состояния определяется произведением представлений для электронной, колебательной и вращательной функций. Спектральные правила отбора зависят от полной симметрии исходного и конечного состояний, а не от индивидуальных типов симметрии волновой функции того или иного вида. Вращательная спектроскопия занимается меньшими энергетическими интервалами, чем колебательная и тем более электронная спектроскопия. Обычно когда изучается вращательный спектр молекулы, она находится в основном электронном и колебательном состояниях. Поэтому в ней возникают лишь изменения вращательного состояния, и накладываемые симметрией правила отбора в этом случае определяются только представлениями вращательных состояний. Эти правила отбора обсуждались в гл. 3. [c.347]

В результате столкновений и межмолекулярных взаимодействий. Хотя колебательная структура может оказаться неразрешенной, часто сохраняется характерная форма огибающей полосы. В кристаллической твердой фазе при низких температурах колебательная тонкая структура может снова проявиться в виде хорошо разрешимых линий. Представления возникающих состояний можно получить, рассматривая произведения представлений для электронной, колебательной и вращательной волновых функций. [c.349]

Если одновременно возбуждается несколько частот разных колебаний, то волновая функция относится к представлению, являющемуся прямым произведением представлений, осуществляемых функциями, относящимися к каждой из колебательных частот. [c.663]

V. Прямое произведение представлений группы. Как было показано в 19, система собственных функций оператора Гамильтона Н образует базис для представления группы g one- [c.692]

Поскольку представления группы изображаются матрицами (например, Гф = (Гг (ф))), то прямое произведение представлений (Г, ГО) будет выражаться через прямое произведение соответствующих матриц (см. В, разд. VI). Из определения прямого произведения матриц непосредственно следует, что характер представления прямого произведения равен простому произведению характеров соответствующих представлений. Так, например, [c.693]

Перейдем к обсуждению второй категории операторов, т. е. к тем операторам, которые не удовлетворяют приведенному выше условию а). На основании самых общих соображений можно предположить, что оператор М при операциях симметрии преобразуется по представлению Гм, причем оно не обязательно должно быть неприводимым. Тогда функции ф/ (/=1,2,...) преобразуются по прямому произведению представлений [c.136]

Тогда симметрия детерминанта отвечает произведению представлений, которое, вообще говоря, является приводимым и может быть разложено на неприводимые представления в соответствии с формулой (6.40) [c.152]

Это выражение будет отличным от нуля, если одновременно будут отличны от нуля оба интеграла по электронному и ядер-ному пространству координат. Такое условие выполняется, если соответствующие прямые произведения представлений, по которым преобразуются все входящие под интегралы величины, будут [c.42]

При интерпретации фактора д следует, конечно, учитывать не столь упрощенную, а истинную симметрию поля лигандов. Большинство исследованных оптически активных комплексов в основном состоянии имеет, как правило, тригональную симметрию Фз) расчет по формальным правилам отбора сводится к обычной процедуре, при которой по таблице характеров для соответствующей точечной группы (например, для устанавливают, не содержится ли в разложении прямого произведения представлений основного и возбужденных состояний то представление, по которому преобразуется соответствующий оператор момента дипольного перехода. При таком подходе предполагается, что система в возбужденном состоянии имеет те же элементы симметрии, как и в основном состоянии. Обычно не учитывают возможные осложнения, связанные с тем, что "-электронные состояния, как основные, так и возбужденные, могут быть искажены вследствие эффекта Яна — Теллера ниже будет показано, что этот эффект можно учесть путем модификации простого спектроскопического подхода. [c.170]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Прямое произведение представлений. Очень часто в прикладных задачах встречаются выражения, которые содержат произведения функций, преобразующихся по тем или иным представлениям точечных групп. В частности, в 2 и 3 предшествующей главы уже встречались интегралы вида <ф /) ф>, в которых как функции и ф, так и оператор дипольного момента могут преобразовываться по различным неприводимым представлениям. Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]

В целом же функция Лц) будет преобразовываться по прямому произведению представлений Гд и Г , тогда как все подынтегральное выражение матричного элемента преобразуется по прямому произведению трех представлений Г , Г и Г . Представление Гф совпадает с Г , если его матрицы вещественны (т.е. ортогональны). В противном случае Г и Г различны. Кроме того, если функции ф и гр суть базисные функции одного и того же пространства, на котором действует неприводимое представление Г, , то в Г 0Г,(, должен быть взят лишь симметри-зованный квадрат Г . [c.224]

Этот интеграл будет отличаться от нуля, еели прямое произведение представлений волновь[х функций и у, содержит представление, к которому принадлежит координата реакции [c.319]

Произведения представлений, подобные указанным в примерах (7.А7) и (7.А8), называются приводимыми, поскольку их можно разложить, т. е. записать в виде суммы неприводимых представлений. Существует систематическая пpoцeдyfa для разложения приводимых представлений любой конечной группы, основанная на свойствах ортогональности неприводимых представлений. Оказывается, что если перемножить характеры % операций Я для двух неприводимых представлений, скажем Гг и Г/, а затем просуммировать результат по всем опеоациям, то результат окажется равным произведению Ьц (дельта-функция Кронекера) и порядка группы g (строго говоря, поскольку характеры могут быть комплексными, при их перемнохении следует использовать один из каждой пары в комплексно-сопряженной форме). Сказанное означает, что [c.164]

Правило отбора для АЬ можно получить из рассмотрения произведения представлений Г/ХГцХП, где Г/ и Г,- в данном случае являются представлениями, описывающими только пространственную часть волновой функции. Интересующее нас требование можно записать так [c.178]

В действительности, однако, с первым возбужденным состоянием бензола дело обстоит сложнее. В этом состоянии имеются две частично заполненные вырожденные орбитали. Это приводит не к одному, а к нескольким состояниям, возникающим из одной и той же конфигурации, подобно тому, как уже наблюдалось для многоэлектронных атомов с частично заполненными вырожденными уровнями. В данном случае представления для состояний, возникающих из конфигурации elg) e2u), можно найти, определяя прямое произведение представлений Е1д и 2 [т. е. используя дырочный формализм для субсостояния ( 1 ) ]. Это произведение можно получить последовательным попарным перемножением соответствующих характеров с последующим приведением результатов подобно тому, как было проделано в разд. 7.4. Однако существуют правила (основанные на теоретико-групповой номенклатуре) для перемножения представлений точечных групп. Эти правила сведены в табл. 14.2. Пользуясь ими, находим [c.291]

Установление колебательных правил отбора осуществляется обычным способом. Произведение представлений исходного и конечного состояний должно содержать в своем разложении представление оператора перехода. В случае колебаний исходным состоянием является основное состояние, обладающее симметрией гамильтониана для основного состояния. Оно должно быгь полносимметричным. Вывод правила отбора основывается на том, что разрешенный колебательный переход должен происходить в возбужденное колебательное состояние, которое обладает трансформационными свойствами какой-либо компоненты оператора перехода. Для обычного поглощения или испускания излучения (инфракрасная спектроскопия) речь идет о компонентах дипольного оператора. В группе С20 компоненты дипольного оператора преобразуются по представлениям Ль В1 или В2. Все эти типы симметрии колебаний молекулы воды отвечают разрешенным в инфракрасном спектре переходам. В спектроскопии комбинационного рассеяния оператором перехода является оператор поляризуемости, который преобразуется как квадрат дипольного оператора. Его компоненгы зависят от декартовых координат как х , г/ г , ху, хг и уг. Представления, по которым преобразуются эти компоненты, обычно тоже указываются в таблицах характеров. Для группы С20 имеются компоненты поляризуемости, которые преобразуются по каждому из ее пред-сгавлений. Следовательно, любой тип колебаний молекулы с [c.335]

Как показано в мат. дополн., Г, интегралы, через которые выражаЕотся матричные элементы (136,6), будут отличны от нуля только в том случае, когда прямое произведение представлений, соответствующих волновым функциям и будет содержать представления х, у или г. [c.664]

К первой категории, очевидно, относится тривиальный случай, когда Ж (вообще говоря, onst). При этом соотнощение (6.62) обусловливает ортогональность некоторых функций только лищь на основании их свойств симметрии. Типичным примером может служить такая ситуация, когда Ж представляет собой гамильтониан (например, хартри-фоковский или одноэлектронный гамильтониан другого типа). Гамильтониан, инвариантен ко всем операциям симметрии данной группы и, следовательно, преобразуется по неприводимому представле нию Aig для этого (одномерного) представления характерно, что все его матричные элементы равны единице (см. табл. 6.4). Свойства симметрии функций <р в соответствии с (6.58) определяются свойствами прямого произведения представления A g (по которому преобразуется оператор Ж) и неприводимого представления Гг (по которому преобразуется базис функций ф, г = 1, 2,. ..), поэтому функции фь фг,. .., Ф/ обязательно должны образовывать базис неприводимого представления Гг. Тогда из соотношения [c.135]

Нетрудно убедиться в том, что аналогичными свойствами симметрии обладает любая подсистема электронов, образующая замкнутую оболочку. Вторую подсистему образуют электроны, которые частично заполняют вырожденный уровень E g. Принцип Паули позволяет паре электронов на этом уровне находиться в одном из двух различных состояний полного спина, а именно в состояниях с 5 = 0 и 5 = 1, в зависимости от того, имеют ли эти электроны одинаковые или противоположные спины. Эта ситуация подобна той, которую мы исследовали в случае двухэлектронной системы [начиная с равенства (6.109)], когда в триплетном состоянии система характеризуется антисимметричной, а в синглетном состоянии — симметричной пространственной функцией. В связи с этой проблемой укажем, что произведение представлений с базисом (6.50), возникающим из двух наборов функций фг, г = 1,. .., т и г] ,-, i= 1,. .., т (т 2), каждая из которых образует базис одного и того же нецриводимого представления A< , T G (так что ф, = зг), можно представить в виде прямой суммы двух представлений [c.155]

В связи С тем, что для данного колебательного движения а также в связи с тем, что здесь рассматривается переход с бесколебательного уровня основного состояния, второе произведение представлений всегда содержит иолносимметричную компоненту таким образом, правила отбора будут определяться лишь первым произведением. Учитывая, как уже отмечалось, что основное состояние для большинства молекул полносимметрично, замечая также, что /"ш = Гдк = Гк, и отбрасывая Г ) , которое всегда содержит Г , получаем Го. Га - Гк Ч Г . Таким образом, второе слагаемое в Мо, пк будет отлично от нуля, если прямое произведение представления электронного состояния и представления колебания преобразуется, как одна из компонент радиуса-вектора системы [Гп Гк = Го.) этот результат определяет возможность наблюдения в спектре электронно-колебательных полос, представляющих собой наложение колебательного кванта на электронную частоту (vэл. кол = эл + > кол). [c.43]

Упрощенный подход, основанный на симметрии Од, позволяет дать разумное объяснение вращательной силы переходов в обоих комплексах, рассмотренных в табл. 2, так как правила отбора для точечной группы Од справедливы и в случае этих соединений. Фактически симметрия иона трис-(+)-пропилендиаминникеля(П) не выше Сд. Аналогично можно рассматривать и ион никеля в гексагидрате сульфата никеля, полагая, что он имеет симметрию учет тригонального возмущения — самый простой способ объяснить появление оптической асимметрии окружения иона металла. При этом представления А , и группы Од переходят соответственно в представления А , А - -Е и А - Е группы При исследовании циркулярного дихроизма кристаллов гексагидрата сульфата никеля [52 излучение проходило параллельно оптической оси кристалла при этом условии разрешен только переход Лг - Е, и в каждой области поглощения появляется только по одной компоненте (Е). В табл. 3 приведено отнесение для первой и второй полос в обозначениях Бозе и Чаттерджи [50]. Отнесение первой полосы к переходу Мд - Е подтверждается данными о температурной зависимости циркулярного дихроизма. Рассмотрим сперва общий характер изменений дихроизма при изменении температуры. Если прямое произведение представлений / и О содержит представление магнитного дипольного оператора в соответствую- [c.172]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология