Коллокаций метод

Рис. 1Х-6. Характер сходимости максимального собственного значения (пример оценки используемого метода коллокации).

Расчет решений методом ортогональных коллокаций. Для [c.118]

Метод коллокаций. Метод коллокаций, по-видимому, наименее точный из всех методов решения дифференциального уравнения и, по существу, не дает улучшения точности результатов интегрального метода. Однако он представляет собой разновидность метода взвешенных остатков, и, несмотря на отмеченный недостаток, в самом принципе метода заложена возможность его-улучшения. Метод коллокаций можно применять к задачам с ненулевыми начальными условиями, что мы и рассмотрим ниже. Если температура на границе — заданная функция, то на этой границе не могут располагаться точки коллокации. Во всех других случаях расположение точек коллокации можно выбирать произвольно. Для иллюстрации применения метода рассмотрим конкретный пример. Пусть имеется неограниченная пластина толщиной I. Температурное поле описывается уравнением (1) с граничными условиями [c.78]

Режимы работы каждого реактора рассчитывались методом ортогональных коллокаций. Зависимость концентраций реактантов от времени представляется непрерывными функциями, получаемыми за счет интерполяции дискретных значений концентраций сплайн-функциями третьего порядка [66—68]. Причем предполагалось, что концентрации измеряются на выходе из всех реакторов в одно и то же время и через одинаковые временные промежутки. Установлено, что необходимая точность оценок параметров модели кинетики адсорбции достигается на трехфакторной схеме (см. табл. 4.7, вариант 5). [c.218]

Вычисление собственных значенией. Для численного определения собственных значений воспользуемся методом ортогональных коллокаций. Для этого, как и в разд. 2, введем аппроксимацию решения задачи (23), (24) с помош,ью (12), для определения мД ) используем граничные условия (24). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка г = 4Л + 1 с постоянной матрицей А(п X п). Имеем [c.122]

Пример УП-2. Имея в виду удовлетворительный результат, полученный в примере У1М при п = 2, предположим, что аппроксимация такого же низкого порядка будет адекватна и в методе коллокации, и выведем условия устойчивости для той же задачи. [c.165]

Для того чтобы проиллюстрировать приложение модифицированного метода коллокации, предположим, что приближенное решение в форме (VII, 40) должно быть использовано в задаче о частице катализатора, задаваемой уравнением (VII, 24). Следует заметить, что предлагаемое приближенное решение рассматривается относительно граничного условия при z = О, так как оно имеет нулевую производную при этом условии, но не ограничивает величину х в любом положении г. На некоторых стадиях решения необходимо проверять, удовлетворяется ли граничное условие при 2=1. Это удобно делать, выбирая последнюю точку коллокации на этой границе, т. е. полагая z =l [c.167]

В предыдущей главе для сведения моделей с распределенными параметрами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод коллокации. Получаемые дифференциальные уравнения оказывались линейными, но это объяснялось не характером метода, а было результатом предшествовавшей линеаризации. Вместо линеаризации уравнений (VII, 58) можно получить более общие уравнения (VII, 13), если воспользоваться подстановкой (VII, 45) [c.204]

Анализ устойчивости в малом стационарного состояния трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом легко проводится с помощью модифицированного метода коллокации. Нормализованные уравнения (V I, 72) совместно с (VH, 42)h(VH, 45) дают [c.229]

Точность метода существенно зависит от выбора точек коллокации X,. Точки с одинаковым расстоянием между собой оказались не пригодными. [c.117]

Мы рассмотрим задачу управления процессом в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора в окрестности неустой чивого стационарного режима, исследуем устойчивость распределенной системы без управления и с введенным с помощью обратной связи управлением. Аппроксимация распределенной модели проводится с помощью метода ортогональных коллокаций. Величина воздействия обратной связи определяется методом модального управления путем сдвига нескольких собственных значений соответствующей задачи в левую полуплоскость, чтобы сделать выбранный стационарный режим устойчивым. Аналогичный подход для управления раснределенпыми системами использован в [5] для реактора с неподвижным слоем катализатора с охлаждающей рубашкой и одинаковой температурой хладоагента ио длине реактора, где рассматривалась квазигомогенная модель, состоящая из системы уравнений параболического типа. В [6] нами дано управление процессом в реакторе с псевдоожи-женпым слоем катализатора. Управление процессом в трубчатом реакторе с нротпвоточным внутренним теплообменом нриведе-ио в [7]. [c.116]

Первый из них (наиболее очевидный, но требующий больших затрат времени) — метод численного интегрирования дифференциальных уравнений. Это удобно, если требуется проверить конкретное начальное условие или результат, полученный другим методом. Как указывалось выше, метод коллокации применим к модели трубчатого реактора с продольным перемешиванием и рециклом и трубчатого реактора с поперечным перемешиванием и рециклом. Но может быть использован и другой вычислительный аппарат. [c.239]

Г-12. При условиях задачи Г-1 объясните, как вы могли бы проверить устойчивость в малом стационарного состояния, используя модифицированный метод коллокации с приближенным решением [c.250]

Этот метод, предложенный в работе [174], основан на аппроксимации решения интерполяционным полиномом. Наиболее удобным оказалось разложение по значениям искомой функции в точках коллокации. [c.114]

Кроме того, можно рассчитать также профили давления в реакторе. Для расчета концентрационных и температурных полей в зерне и в газовой фазе целесообразно использовать метод коллокации. [c.170]

Система (3.129) - (3.130) для стационарного состояния решена Адлером и Нагелем [236]. Для решения уравнений балансов в газовой фазе использовали метод сплайнов [237], в зерне - метод коллокации. [c.173]

Уравнения баланса в зерне преобразованы с помощью метода коллокации. Степень использования зерна [c.178]

Решение уравнений модели, приведенных к безразмерному виду, получено с использованием численных методов ортогональной коллокации, метода Гира, двумерного метода Ньютона — Рафсона. Максимальная концентрация кокса в цилиндрической поре определяется из выражения [c.261]

Численное решение записанной системы уравнений проводилось методом ортогональных коллокаций. Исследовался пример решения модели (4.20)—(4.26) с линейной кинетикой адсорбции, т. е. / (X, п, 0) = Ла (X — п1Ка), где Ка — константа адсорбционно-десорбционного равновесия Ка — константа скорости адсорбции. При проведении расчетов принимали 7 = 13 мл 7а = 5 мл к = 25,0 см/с >эф = 0,2 см7с ц = 0,4 6 = 1 г/см . Варьировали РГ от 1 до 2 мл/с, Д от 0,1 до 1 см, ка от 2 до 100 мл/г с. Ка от 1 до 50 мл/г, Д( от 3 до 10 с, а также величину и форму входного сигнала Свх t) [c.213]

Для численного решения нестационарных уравнении и вычисления собственных значений и собственных векторов линеаризованной задачи мы пспользовали метод ортогональных комокацин, применение которого оказалось весьма эффективным. Достаточная точность вычислений достигается уже при 7—11 точках коллокаций. [c.127]

Рассмотрена задача управления о стабилизации неустойчивого стационарного режима в реакторе с псевдоожиженным слоем катализатора. Обратная связь в виде функционала от решения обеспечивает устойчивость выбранного режима. Циркуляционная модель слоя, состоящая из системы гиперболических уравнений первого порядна с двумя независимыми переменными, аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода ортогональных коллокаций. Интегральные ядра функционала обратной связи находятся методом модального управления. [c.168]

Объем вычислений, проводимых при использовании метода коллокации для матриц малого порядка, значительно меньше, чем при применении метода Галеркина. Кроме того, необходимое преобразование матрицы более удобно, чем интегрирование. Заметим, что при использовании метода коллокации исключается появление интегралов (VII, 29). [c.165]

Метод Галеркина и обычный метод коллокации объединяет то, что они формулируют задачу в обозначениях переменных а,- ( ) приближенного решения. До тех пор, пока мы интересуемся только знаками собственных значений, это не является серьезным препятствием, но становится неудобным, если рассматривать решение с точки зрения его непосредственной связи с переменными состояния. В целях устранения этого недостатка Вилладсен и Стюард (1967 г.) предложили модифицированный метод коллокации, который основан на том, что рассмотрение высших степеней ряда приближенного решения позволяет выразить члены с производными линейной комбинацией переменных состояния. [c.166]

Вклад Вилладсена и Стюарта в создание модифицированного метода коллокации не ограничивается приближенными решениями в форме (VII, 40). Уравнения (VII, 42) и (VII, 45) справедливы для любого приближенного решения уравнения [c.169]

Имея в виду допущения, которые необходимы для обоснования разделения, отметим, что ни метод Галеркина, ни различные методы коллокации не требуют никаких ограничений на начальные условия и промежуточные состояния. Единственное неудобство, которое возникает при использовании связанных уравнений, состоит в увеличении размерности системы, что в свою очередь ведет к увеличению объема вычислений, обусловленному повышением порядка матриц. [c.172]

В качестве альтернативы методу Галеркина для связанных уравнений (УП, 58) может быть использована коллокация. Уравнение [c.175]

Очевидно, что стационарное состояние, устойчивость которого установлена таким образом, будет единственным. Следует также заметить, что это условие устойчивости аналогично неравенствам (VII,39а) и (VII,56а), полученным с помощью метода Галеркина и метода коллокации, соответственно. [c.186]

Вследствие того, что модифицированный метод коллокации сохраняет переменные состояния исходной постановки задачи с распределенными параметрами, любая область устойчивости, найденная для уравнений (VIII, 23), будет выражаться в обозначениях отклонения концентрации и температуры в точках коллокации. Например, если /г = 2, то область асимптотической устойчивости для (VIII, 23) будет областью в четырехмерном пространстве [c.204]

Решение. Для уравнения (VII, 21) модифицированный метод коллокации дает ряд обыкновенных дифференциальных уравнений (VIII, 23а). Индексы при х могут быть упущены, поскольку температурное отклонение является единственной переменной состояния. Для того чтобы определить область асимптотической устойчивости, можно использовать простейшую функцию Ляпунова [c.208]

Пример 1Х-5. Шмеел и Амундсон (1966 г.) изучали изотермический трубчатый реактор с продольным перемешиванием и рециклом для случая реакции первого порядка. Пользуясь линейностью системы, они смогли определить характеристики собственных значений, связанные с откликом на возмущение на входе. Проверить найденное Шмеелом и Амундсоном комплексное собственное значение с помощью модифицированного метода коллокации, принимая гу равными [c.233]

Как и раньше, решение частной задачи требует интегрирования уравнений системы и вспомогательных уравнений. Это уже наблюдалось для случая трубчатого реактора идеального вытеснения, но поскольку в случае трубчатого реактора с поперечным перемешиванием учитывается радиальная составляющая, то уравнения значительно сложнее. Макговин применил метод коллокации, чтобы получить численные выражения аксиальных профилей для совокупности поперечных положений, исходя из уравнений стационарных состояний трубчатого реактора с поперечным перемешиванием дс о /дю, 1 ас я [c.236]

Однако во многих случаях (к ним относятся и общие вопросы описания течения ньютоновских жидкостей) вариационный принцип либо не существует, либо его существование далеко не очевидно, Тем не менее эти проблемы часто могут быть описаны семейством дифференциальных уравнений (например, уравнениями неразрывности, движения и реологическим уравнением состояния) вместе с их граничными условиями. В таких случаях самый простой способ получения уравнений МКЭ состоит в использовании весовых остаточных методов—таких, как метод коллокаций или метод Га-леркина [27]. [c.597]

Наряду с методом сеток для дискретизации задач тепло- и массообмена часто используется и так называемый дштод функциональных представлений. Согласно этому методу искомые функции представляются в виде конечных разложений но заданным функциям с неизвестными числовыми коэффициентами. Алгебраические уравнения для этих числовых неизвестных получаются различными способами (метод Галеркина, метод Галеркина — Петрова, метод коллокации и др.). [c.11]

Одним из наиболее эффективных и применяемых методов решения обыкновенных дифферешщальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих дифференциальный оператор Лапласа, является метод коллокации. [c.114]

Решение системы уравнений (3.105)-(3.109) возможно только численно. Для этого можно использовать разные методы в зависимости от конкретной задачи. В работе [204] был применен модифицированный метод Кранка-Никольсона с изменяющимся шагом. Возможно также использование метода коллокации или других методов [205]. [c.150]

Один из методов определения неизвестных коэффициентов, входящих в (5.1.1), носит название метода фаничньгх коллокаций [350]. Кратко его сущность состоит в том, что по контуру тела, например представленного на рис.5.1.3, выбирается некоторое множество точек, для которых численно задаются уровни нормальных и касательных [c.72]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область [c.104]