Симметрия кристаллической структуры. Точечные и пространственные группы

Совокупность операций симметрии, которые можно выполнить на одной и той же фигуре, называют группой симметрии. Группы симметрии, составленные из одних закрытых операций, называются точечными. Точечные группы описывают все возможные случаи симметрии конечных фигур, в частности молекул. Группы симметрии, составленные как из закрытых, так и открытых операций, действующих во всех трех измерениях пространства, называют пространственными. Именно эти группы описывают все возможные случаи симметрии кристаллических структур. [c.20]

Все возможные кристаллические структуры описываются 230 пространственными группами симметрии. Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных бесконечных преобразований симметрии кристаллической структуры. Пространственная группа симметрии характеризует симметрию кристаллической структуры, так же, как точечная группа симметрии характеризует симметрию внешней формы кристалла и симметрию его макроскопических физических свойств. [c.27]

В современной литературе по физике и химии твердого тела при описании структуры кристалла пользуются обозначениями его пространственной группы либо по Шенфлису, либо по интернациональной системе обозначений. В обозначениях по Шенфлису указывают точечную группу кристалла (кристаллический класс), а пространственные группы, происходящие от элементов симметрии этого класса, отмечают номером, указанным справа и сверху от символа класса. [c.41]

Все разрешенные комбинации точечной и пространственной симметрии, которой обладает мотив, приводят к 230 пространственным группам. Удобно ввести понятие асимметричной единицы. Это наименьшая единица, из которой с помощью операций симметрии, присущих пространственной группе, можно получить всю кристаллическую структуру. Асимметричная единица может состоять из нескольких молекул, из одной молекулы или из субъединицы олигомерной молекулы. Кристалл порождается в результате созда- [c.352]

С помощью наборов соответствующих элементов симметрии можно описать- не только идеальную форму кристалла, представив ее в стереографической проекции, но и 7 кристаллических систем, 14 решеток Браве и симметрию структуры кристалла относительно точки, являющейся началом координат элементарной ячейки. Можно показать, что а) путем комбинации элементов симметрии 14 решеток Браве и 32 точечных групп и б) путем введения двух новых элементов симметрии — плоскостей скольжения и винтовых осей — получится 230 так называемых пространственных групп , которые описывают симметрию всех возможных положений эквивалентных точек в кристаллах. [c.18]

Для описания отношений симметрии между внешними гранями кристаллов применимы только кристаллографические операции типа пип. Последние могут быть объединены в 32 кристаллографические точечные группы симметрии, известные как классы кристаллов. Внутреннее периодическое расположение атомов в кристаллической структуре требует применения векторов параллельного переноса, которые также могут сочетаться с осями вращения и плоскостями симметрии, как обсуждалось выше. Включение сложных операций симметрии, таких, как винтовые оси и плоскости скольжения, приводит к 230 пространственным группам симметрии, разрешенным для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке. Они приведены в Международных таблицах кристаллографии [11.2-1]. В этом контексте интересно отметить, что примерно 75% всех органических и металлоорганических соединений образуют кристаллы, принадлежащие всего к 5 пространственным группам, а 12 пространственных групп симметрии, все принадлежащие к триклинным, моноклинным и орторомбическим кристаллическим системам, охватывают 87% таких соединений. Все эти пространственные группы симметрии допускают достаточно хорошую плотную упаковку органических молекул, которые, как правило, имеют низкую симметрию. [c.395]

Любую кристаллическую структуру можно описать при помощи одной из 230 пространственных групп [49]. Пространственная группа наряду с различными операциями симметрии обязательно включает трансляции (Пай, ПъЬ и ПсС) вдоль осей элементарной ячейки, которые переводят одну элементарную ячейку в другую. Можно легко показать, что любая пространственная группа есть произведение группы трансляций (образованной операциями трансляций) и некоторой другой группы, называемой факторгруппой (или группой элементарной ячейки). Факторгруппы всегда изоморфны одной из 32 точечных групп. (Последние определяют различные кристаллические классы.) Таким образом, характеры любой факторгруппы совпадают с характерами соответствующей точечной группы, хотя факторгруппа может содержать такие операции симметрии (плоскости скольжения и винтовые оси), которые не являются операциями точечной группы. [c.368]

В кристаллической решетке ионы или молекулы не могут рассматриваться как изолированные колеблющейся единицей является элементарная ячейка. Если симметрия молекулы, включенной в элементарную ячейку, ниже симметрии изолированной молекулы, т. е. симметрии точечной группы, произойдет изменение правил отбора с последующим усложнением спектра. В частности, полосы вырожденных колебаний могут быть расщепленными в результате снятия вырождения. Кроме того, пространственная структура молекулы в кристаллической решетке может быть несколько искажена, что также приведет к изменению ее точечной группы симметрии и, следовательно, к модификации спектра. [c.128]

Из этого следут, что асимметричные оптически активные молекулы не могут кристаллизоваться в пространственных группах, содержащих центр силшетрии, зеркальные плоскости, плоскости скольжения или оси 4. (Оси порядка выше шести исключаются, поскольку они запрещены симметрией кристаллической решетки.) Действительно, если бы молекула занимала частное положение, то элемент симметрии пространственной группы являлся бы элементом симметрии ее точечной группы, а значит, она являлась бы лгезо-формой и не была бы асимметричной. Если бы молекула занимала общее положение, то элементы симметрии пространственной группы привели бы к возникновению энантио-морфной молекулы, в результате чего должен был бы образоваться рацемат. Это означает, что из 230 пространственных групп только 65 являются допустимыми для кристаллизации оптически активных веществ. Автор не может отыскать ни одного исключения из этого правила. Если бы оно было обнаружено (а это не кажется невероятным), то естественно было бы объяснить его неупорядоченностью структуры, например вращением молекул в кристалле при этом молекула может имитировать симметрию более высокую, чем ее собственная (см. стр. 57). Большинство оптически активных веществ кристаллизуется в пространственных группах P2j и P2j2i2i. Молекулы одного оптического изомера располагаются вдоль поворотной оси второго порядка (2j). [c.73]

Кристаллы Ь1МЬ0з принадлежат к пространственной группе КЗс, тригональной симметрии, классу точечной симметрии Зт. По строению кристаллической решетки кристаллы ниобата лития напоминают структуру ильменита (РеТ10з), но с другой последовательностью чередующихся рядов вдоль пространственной диагонали, а именно в кристалле LiHbOз металлические ионы образуют последовательность [c.251]

В дополнение к элементам симметрии точечных групп, с которыми мы уже познакомились, Е. С. Федоровым были введены плоскости скользящего отражения и винтовые оси (второго, третьего, четвертого и шестого порядков). Эти элементы, как и трансляция, описывают определенное поступательное движе-шге в пространстве и характеризуют поэтому так называемые пространственные группы симметрии. омбинируя элементы симметрии бесконечных фигур, Е. С. Федоров вывел 230 возможных пространственных групп. Любая кристаллическая структура должна обязателыю принадлежать к одной из них, так как они исчерпывают геометрические законы, по которым располагаются частицы внутри кристаллов. [c.117]

Симметрия кристаллов как континуумов дается 32 классами кристаллов (КК) (кристаллографическими точечными группами). Элементами симметрии могут быть в этом случае только поворотные и инверсионные оси, проходящие через одну и ту же точку. Если рассматривать тонкую структуру кристаллов, то необходимо учитывать еще винтовые оси и плоскости скользящего отражения. Элементы симметрии в дисконтинууме расположены в виде бесконечных семейств параллельных, в совокупности они образуют так называемую пространственную группу (кристаллографическую группу преобразовсшия для дисконтинуума). Элементы симметрии ПГ вызывают совмещение кристаллической структуры и индикатрисы ее свойств самих с собой мы имеем дело с симметрическими преобразованиями совмещения. Математически доказывается, что всего имеется 219 различных ПГ (Федоров, Шёнфлис, Ниггли) [2]. [c.337]

Очевидно, что симметрией пустой решетки обладают и те реальные кристаллические структуры, которые получаются, если в каждый узел абстрактной решетки Браве поместить базис, сохраняющий для кристалла точечную симметрию решетки. Такие кристаллы получили название голоэдрических, а их группы симметрии исчерпываются 14 пространственными группами симметрии абстрактных решеток, рассмотренными в предыдущем параграфе. Примерами голоэдрических кристаллов являются кубические структуры типа КаС1,. многие металлы с ОЦК или ГЦК решеткой. [c.34]

Всего существует 157 неснмморфных трехмерных пространственных групп, структура которых хорошо изучена и приводится в специальных руководствах [12, 13]. При пользовании ими надо иметь в виду, что набор векторов несобственных трансляций а зависит от выбора начала координат операций точечной симметрии кристаллического класса. Так, в случае алмаза помещение начала координат в середину расстояния между атомами, не меняя кристаллического класса Oh, изменяет набор несобственных трансляций все операции группы Td входят в пространственную группу с несобственной трансляцией на вектор = ga — x)l2, а остальные операции группы О/, — с трансляцией на вектор x" = gx+a)l2, где а = [c.40]

Несколько сложнее обстоит дело в кристаллах. Для кристаллов с симморфными пространственными группами, как и в случае молекул, возможные группы локальной точечной симметрии являются подгруппами группы кристаллического класса (включая тривиальные). Так, в структурах типа МаС и сфалерита локальная симметрия всех атомных ядер совпадает с точечной группой кристалла 0 и Та соответственно), а все остальные точки кристалла имеют в качестве локальной группы одну из ее подгрупп. [c.248]

Для несимморфных кристаллов локальная группа всегда является подгруппой точечной группы кристалла С, содержащей лишь те операции группы С, которые входят в пространственную группу без несобственных трансляций. Так, в структуре алмаза (кристаллический класс Он) максимально возможная локальная симметрия — Та (в точках с такой симметрией расположены ядра атомов углерода), а в кристалле корунда (кристаллический класс Йзй)—группа Сз, (в точках с такой группой симметрии расположены ядра атомов А1). [c.248]

Совокупность структур с одинаковой пространственной симметрией и одинаковым размещением молекул по орбитам мы называем структурным классом [14]. Некоторые типичные структурные классы нредставлены на рис. 5.1, где молекулы изображены в виде овалов и обозначены с помощью весьма удобных рациональных символов [15]. В первых трех классах молекулы занимают одну орбиту, в четвертом — две орбиты (две системы центров инверсии) на рис. 5.1, г молекулы, расположенные на второй орбите, изображены двойными овалами. Обозначения структурных классов, приведенные в подрисуноч-ных подписях, содержат запись федоровской группы, число молекул в ячейке Z и точечную симметрию занятых молекулами позиций (в скобках). Примеры конкретных кристаллических [c.141]