Симметрическое преобразование

Первичным преобразованием симметрии является отражение в плоскости [4, с. 57]. Пусть т (рис. II.1, а) — след зеркальной плоскости симметрии, перпендикулярной к плоскости чертежа. При отражении в плоскости т точка 1 преобразуется в точку 2. Следующее отражение преобразует точку 2 в исходную точку 1. Отражение в плоскости — симметрическое преобразование, состоящее из двух элементарных операций отражений. При неограниченном числе отражений точки 1 ж 2 преобразуются друг в друга. Порядок или кратность операции отражения в плоскости равна двум. [c.41]

При учете физических свойств узлов кристаллической решетки-симметрия ее в классическом представлении групп симметрических преобразований понижается, поэтому чтобы отразить симметрию решетки с учетом физических или геометрических свойств. [c.243]

Кристаллическая структура выступает как совокупность частиц или групп частиц, связанных друг с другом различными преобразованиями симметрии отражение, вращение, инверсия, переносы (заметим, что кристаллы могут иметь оси вращения только 1-, 2-, 3-, 4- и 6-го порядков). К основным симметрическим преобразованиям бесконечной кристаллической структуры относится трансляция, т. е. бесконечно повторяющийся перенос точки вдоль прямой на определенное расстояние, называемое периодом трансляции. Кристаллическая решетка, т. е. правильная система узлов, может быть образована путем бесконечного повторения точки тремя некомпланарными трансляциями. Уравнение решетки имеет вид [c.173]

Симметрические преобразования, свойственные только бесконечным по размерам фигурам, называют открытыми операциями симметрии. Таковыми являют- [c.16]

Теорема. Характеристическое уравнение матрицы симметрического преобразования имеет только действительные корни, а собственные векторы ортогональны друг другу [15, 3]. [c.118]

Применение того или иного элемента симметрии есть операция симметрии. В соответствии с этим элементы симметрии также называют операторами симметрии. Результатом операции симметрии является симметрическое преобразование. Строгие определения относятся к геометрической симметрии, но они нам понадобятся только в качестве путеводной нити. В нашем рассмотрении главным образом негеометрических видов симметрии мы будем следовать этим определениям на качественном уровне, т. е. в духе тех идей, которые упоминались во Введении . [c.39]

Иногда в литературе (см., например, [41]) различают симметрические преобразования первого и второго рода. Операции первого рода также называют четными операциями. Например, операция идентичности эквивалентна двум последовательным отражениям в плоскости симметрии. Это есть четная операция, или операция первого рода. Простое вращение также относится к операциям первого рода. Поворот с зеркальным отражением приводит к появлению левых и правых составляющих, и это будет операция второго рода. Простое отражение - тоже операция второго рода, так как ее можно представить в виде зеркально-поворотной операции вокруг оси первого порядка. Простое отражение связано с существованием в фигуре двух энантиоморфных компонент. Некоторые простые примеры, заимствованные у Шубникова [41], приведены на рис. 2-63. В соответствии с вышеупомянутым определением хиральность характеризуется отсутствием элементов симметрии второго рода. [c.74]

Симметричной фигурой называется такая фигура, в которой отдельные части мысленно могут быть совмещены друг с другом посредством симметрического преобразования. [c.19]

Симметрическим преобразованием называется такое преобразование, нри котором равные части фигуры совмещаются друг с другом. Так, отразив левую половину фигуры (рис. 16, а) в плоскости, перпендикулярной чертежу (пунктирная линия), мы совместим ее с правой частью фигуры. Правая часть фигуры, отразившись при этом в той же плоскости, совпадет с левой частью фигуры. В результате такого симметрического преобразования фигура совместится сама с собой. [c.19]

Каждому симметрическому преобразованию соответствует некоторый [c.19]

На рис. 17 показаны различные симметричные фигуры. Равнобедренный треугольник (а) имеет плоскость симметрии такую же, как домик на рис. 16, а. Фигура, изображенная на рис. 17, б, плоскости симметрии не имеет. Однако она тоже симметрична. Если повернуть фигуру на 180° вокруг линии, перпендикулярной чертежу и проходящей через центр фигуры, то нижняя ее часть совместится с верхней и наоборот. Эта линия будет называться осью симметрии. Симметрическому преобразованию — повороту — будет отвечать геометрический образ — ось симметрии. Порядком оси называется число совмещений фигуры нри повороте на 360°. При повороте на 180° фигура 17, б совместится один раз сама с собой. [c.19]

Симметрическое преобразование, отвечающее центру симметрии, есть отражение в точке. На рис. 18 изображен косой параллелепипед. Эта фигура обладает центром симметрии — точка С. [c.20]

Симметрические преобразования или элементы симметрии, им соответствующие, являются математическими образами, допускающими [c.22]

В математике вместо термина вид симметрии часто пользуются его синонимом точечная группа симметрии. Происхождение этого термина связано с тем, что при любых симметрических преобразованиях у многогранника по крайней мере одна точка остается на месте (не перемещается). [c.24]

Эта повторяемость схематически может быть описана при помощи трансляций — симметрических преобразований, характеризующих параллельный перенос всей структуры. Элементом симметрии, отвечающим новому симметрическому преобразованию, будет ось трансляции. Для точной характеристики периодичности кристалла необходимо указать направление трансляций и их величину. Надо всегда иметь в виду, что в литературе термин трансляция используется как для обозначения симметрического преобразования, так и элемента симметрии. [c.53]

Эти симметрические преобразования могут быть различных типов. Например, тело может обладать плоскостью симметрии, если одна половина тела по отношению к данной плоскости является отражением другой половины. Эта операция обозначается через т. Далее, моншо выделить различные оси симметрии 2-го, 3-его,. . ., п-го порядка, когда поворот на угол 2л /тг приводит тело к совпадению с самим собой. Эти операции обозначаются символами 1, 2, 3,. . ., тг, где 1 обозна-. чает операцию, которая присуща всем телам. [c.23]

Следует отметить, что имеется два совершенно определенных типа симметрических преобразований только чистое вращение, приводящее к образованию конгруэнтных геометрических фигур, и отражение, приводящее к образованию энантиоморфных тел. [c.23]

Возможные элементы симметрии в кристалле ограничены осями вращения 1-, 2-, 3-, 4- и 6-го порядков. Эти элементы симметрии могут сочетаться с центром симметрии, образуя системы осей вращательной инверсии, а именно 1, 2, 3, 4 и 6. Очевидно, что это ограниченное число симметрических преобразований кристаллов может давать различные комбинации, число которых также ограниченно, т. е. существует онределенное число классов кристаллов, к одному из которых должен принадлежать каждый встречающийся в природе кристалл. [c.24]

Сумма симметрических преобразований, характерных для любого данного кристалла, дает определенную группу симметрии (в математическом смысле). Так, произведение любых двух преобразований или же квадрат любого из этих преобразований эквивалентны некоторому другому члену данного ряда. Если ряд содержит преобразование Л, то он всегда содержит обратное преобразование А , причем произведение АА идентично преобразованию 1. Такие отношения можно проиллюстрировать на примере простой группы 2mi (см. рис. 1), откуда видно, что 2т идентично 1 2-1 — т тпЛ — 2 т 1 Р -и 2 -1. , [c.24]

Таким образом, число возможных симметрических преобразований возрастает, хотя оси симметрии, разумеется, все еще ограничены типами 2-, 3-, 4- или 6-го порядков как для чистого вращения, так и для винтового вращения. Все возможные операции снова [c.27]

Каждому симметрическому преобразованию соответствует некоторый геометрический о браз. Эти геометрические образы называют элементами симметрии. В разобранном примере таким геометрическим образом- будет плоскость симметрии. На рис. 16, а она располагается перпендикулярно чертежу. Ее след показан пунктирной линией. [c.20]

Симметрические преобразования или элементы симметрии им соответствующие являются математическими образами, допускающими проведение с ними опре деленных математических операций или пре- [c.24]

На примере а-Мп можно убедиться в том, что равноценность всех атомов в кристаллической структуре простого вещества не обязательна. В самом деле, 58 атомов Мп, приходящихся на одну ячейку, распадаются на четыре группы, или четыре сорта по 2, 8, 24 и 24 атома. Никакими симметрическими преобразованиями нельзя совместить атомы одного сорта с атомами других сортов. Это обстоятельство позволяет предполагать, что электронное состояние у этих атомов тоже различное. Как ни своеобразен структурный тип а-Мп, все же видно большое сходство его с нормальным и структурами металлов та же высокая симметрия (кубическая), те же большие координационные числа. Структура а-Мп имеет усложненный структурный тип объемноцентрированной кубической решетки. [c.255]

Чтобы совместить точку 1 с точкой 2, надо сначала отразить ее в плоскости (что приведет к перемещению точки 1 в положение Г), а затем заставить ее скользить в плоскости чертежа на величину t = Tj2, где Т есть величина трансляции структуры в данном направлении. Только после этого скольжения произойдет совмещение точки 1 с точкой 2. То же симметрическое преобразование приведет к совмещению точки 2 с точкой 3 и т. д. Точка 1 связана с точкой 3 простой трансляцией. [c.17]

Предположим, что кристалл обладает плоскостью симметрии, параллельной оси вращения, я расположен в исходном положении таким образом, что эта плоскость параллельна, кроме того, первичному пучку лучей. Допустим, что это исходное положение кристалла является средним положением в интервале углов качания. Тогда, если при повороте по часовой стрелке какое-либо семейство плоскостей проходит через отражающее положение, то при последующем обороте на тот же угол против часовой стрелки в отражающем положении окажется семейство плоскостей, связанное с первым симметрическим преобразованием отражения. Таким образом, на рентгенограмме появится пара пятен с координатами ху и ху. Рентгенограмма будет иметь вертикальную (перпендикулярную слоевым линиям) линию симметрии (рис. 129, в). [c.207]

Сказанное можно дополнить еще следующим. Обратное изображение обладает определенной совокупностью элементов симметрии. В отсутствие у кристалла плоскостей скользящего отражения и винтовых осей эта совокупность, как и у всякой решетки, является некоторой пространственной группой. При наличии плоскости скользящего отражения обратное изображение имеет особую плоскость , т. е. плоскость, не переходящую в другие ни при каких симметрических операциях (на рис. 188 плоскость X Y ). Обратное изображение обладает в этом случае симметрией некоторой плоской группы. В присутствии винтовых осей в симметрии кристалла обратное изображение имеет особую прямую и обладает, следовательно, симметрией определенной линейной группы. Если, наконец, кристалл имеет и плоскости скользящего отражения, и перпендикулярные им винтовые оси, то обратное изображение имеет лишь одну точку, не переходящую в другие ни при каких симметрических преобразованиях (а именно начало координат) совокупность элементов симметрии [c.312]

Симметрические преобразования, свойственные только бесконечным по размерам фигурам, называют открытыми операциями симметрии. Таковыми являются простые переносы (трансляции), скользящее отражение и винтовые переносы. Так, например, бесконечная (в одном измерении) фигура, показанная на рис. 6, а, может быть самосовмещена переносами на расстояния t, или 2/, 3/ и т. д., или скользящим отражением (переносом, сопровождаемым отражением в плоскости, параллельной направлению переноса) со скольжением, равным [c.16]

Для молекулярно-орбитального описания пары сближающихся орбиталей п и 71 двух отдельных молекул ие подходят, так как прн отражении в горизонтальной зеркальной плоскости а орбнталь одной молекулы, переходит в орбнталь другой молекулы, что не является симметрическим преобразованием. Молекулярные орбитали должны быть либо симметричны, либо антисимметричны по отношению к любому элементу симметрии нары сближающихся молекул. Следовательно, нам необходимо построить групповые орбитали ансамбля из двух молетсул этилена (см. гл. 2, раздел 2.6.1.6). [c.1878]

Зеркально-поворотная ось шестого порядка Ле показана на рис. 20, в. Точка 1 после поворота на 60° еще не совпадает с точкой 2. Для их совпадения ее необходимо затем отразить в плоскости чертежа, тогда она из верхней части сферы переместится в нижнюю и совпадет там с точкой 2. (Точки, нахопя-щиеся на верхней полусфере, обозначены кружками, на нижней — крестиками.) При этой же операции точка 2 после поворота фигуры на 60° окажется под точкой 5, с которой она совпадает только после отражения в плоскости чертежа. При последующем симметрическом преобразовании точка 3 совпадает с точкой 4, 4с5, 5 биб i. В результате фигура совместится сама с собой. При полном повороте (на 360°) совмещение фигуры самой с собой произойдет 6 раз. Надо обратить внимание, что фигура в не имеет отдельно ни оси 6-го порядка, ни плоскости симметрии она имеет одну зеркально-поворотную ось шестого порядка. Одновременно этот элемент симметрии содержит в себе ось третьего порядка и центр симметрии. Так, при элементарном повороте вокруг оси Ьь и последующей инверсии точка 1 совместится с точкой 6, 6 с 5 и т. д. Следовательно, зеркально-поворотная ось шестого порядка является одновременно инверсионной осью третьего порядка, т. е. Ле = Л. [c.21]

В упаковках двух- и трехслойных все шары располагаются по точкам одной федоровской правильной системы, т. е. они кристаллохимически тождественны. Однако для упаковок высоких порядков слойности эта особенность может не соблюдаться. Этот факт легко показать на примере пятислойной упаковки, имеющей федоровскую группу Р3тга1. В примитивном параллелепипеде решетки этой упаковки содержатся 5 атомов, а кратность 5 невозможна ни в одной федоровской группе. В группе Р%т имеются кратности 1, 2, 3, б и 12, Следовательно, шары плотнейшей пятислойной упаковки кристаллохими-чески не могут быть тождественными, они различаются физически, в частности своей симметрией. Такие упаковки следует считать упаковками из двух (или более) типов шаров одного размера. Условно станем считать такие шары окрашенными в разные цвета, а всю упаковку — упаковкой разноцветных шаров. Разноцветные шары не могут быть совмещены друг с другом никакими симметрическими преобразованиями, мыслимыми в данной пространственной группе. Так как шары в п-слош-ных упаковках обязательно нескольких типов цветов , то их, очевидно, можно распределить по местам упаковки разными способами и, в частности, так, что симметрия ее станет [c.154]

Однако инвариантными ко всем симметрическим преобразованиям системы должны быть также матричные элементы любых физических величин. Выполнение этого требования позволяет с помощью теории групп анализировать правила отбора для квантовых переходов, минуя непосредственное вычисление соответствующего интеграла. Такой анализ позволяет однозначно установить равенство или отличие вероятности перехода от нуля и тем самым решить вопрос о раз-решенности или запрешенности соответствующего перехода. С помощью теории групп устанавливаются также направления моментов дипольных переходов. [c.42]

Другой тип симметрических преобразований — отражение через точку, а не через плоскость. Эту точку называют центром симметрии или центром инверсии и обозначают символом 1. В общем случае центры симметрии могут присутг ствовать одновременно с осями вращения, образуя оси вращательной инверсии, которые обозначают символами 1, 2, [c.23]

Структуру можно привести к совпадению с самой собой с помощью перемещений, в том числе и таких, какие еще не рассматривались, а именно путем перемещения (на целое число межплоскостпых расстояний) вдоль решетки в определенном направлении. А так как все элементы решетки, по определению, идентичны, то такое перемещение оставляет структуру неизменной. С помощью комбинации отражений и вращений с перемещениями получаются новые типы симметрических преобразований, которые применимы к решетчатым структурам и, следовательно, к кристаллам. [c.27]

Соответствующую операцию симметрического преобразования можно представит как скольжение в некоторой плоскости, указывающее па отражение, сопровождаемое смещением в некотором направлении на половину межнлоскостного расстояния. Символы, используемые для обозначения плоскости скольжения (а, 6, с, п или d), зависят от направления смещения, которое может быть равно а/2, Ъ/2, с/2, половине или четверти диагональной трансляции. Последний случай имеет место для центрированных решеток. [c.27]

Инверсионная ось содержит в себе центр инверсии, а ось — ПЛОСКОСТЬ симметрии, перпендикулярную к ней. Это обстоятельство иногда подчеркивается тем, что после наименования оси ставится знак С или Р соответственно, как этО и сделано в первом столбце табл. 3. Такая символика является нестрогой, т. е. в других случаях мы аналогичных элементо В симметрии не указываем например, ось 2, содержащуюся в каждой четной поворотной оси Ьл, или Ы). Избежать такой -двойственно сти легко, если в каждом виде симметрии указывать только те симметрические преобразования, которые приводят фигуру к совмещению 1самой с собой. Указание на С и Р при осях и имеет скорее педагогическое значение, так как именно эти элементы симметрии на моделях кристаллов учащиеся будут находить скорее и легче, чем сами инверсионные О си. [c.29]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология